1、武威六中2020届高三第六次诊断考试数学（理）第卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式，得，然后再求两集合的交集.【详解】解：由，得，所以，所以故选：D【点睛】此题考查了对数不等式的解法，集合的交集运算等，属于基础题.2. 已知复数z满足，则A. B. 1C. D. 5【答案】C【解析】试题分析：由题意，考点：复数的运算3. 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与201
2、8年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ）A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【答案】D【解析】【分析】根据统计图，逐项分析即可.【详解】对于A，由柱状图可得五月出货量最高，故A正确;对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确; 对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年，且明显总出货量低于2018年，故C正确;对于
3、D，可计算的2018年12月出货量为，8月出货量为，故12月更高，故D错误,故选：D【点睛】本题主要考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于容易题.4. 已知向量，则实数的值为（ ）A. 1B. C. D. -1【答案】C【解析】分析】求出向量的坐标，由，根据向量数量积的坐标表示，即求实数的值.【详解】.，解得.故选：.【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.5. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，为的一个靠近点的三等分点，若在整个扇形区域
4、内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，扇形的圆心角为，求出整个扇形的面积和扇环的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设，扇形的圆心角为，则整个扇形的面积为，扇环的面积为，由几何概型的概率公式得.故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键在于计算出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于基础题.6. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.【详
5、解】因为，由题意得，解得，所以，则，则.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,所以,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象8. 已知，为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题序号为( )A. B. C. D. 【答案】C【
6、解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，则，故正确；若，平面可能相交，故错误；若，则可能平行，故错误；由线面垂直的性质可得，正确；故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 设双曲线的左、右焦点分别为、，与圆相切的直线交双曲线于点（在第一象限），且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设PF1与圆相切于点M,利用|PF2|= |F1F2|,及直线PF1与圆x2 + y2 = a2相切，可得a，c之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】
7、设PF1与圆相切于点M,如图，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，所以 ，又 ， ，由可得，即为，即，解得，故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题.10. 已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 的图象关于点对称C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据函数图象相邻的最高点之间的距离为，得到，易得.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得，再根据是奇函数，得到，然后逐项验证即可.【详解】因为函数图象相邻的最高点之间的
8、距离为，所以其最小正周期为，则.所以.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，又因为是奇函数，令，所以.又，所以.故.当时，故的图象不关于点对称，故A错误；当时，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；在上，单调递增，故C正确；在上，单调递减，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 已知三棱锥中，侧面底面，是边长为3的正三角形，是直角三角形，且，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中点，中点，连接、，过点作直线垂直平面，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为
9、，过点作于，连接、，设，由勾股定理可得、，利用即可得，进而可得外接球半径，即可得解.【详解】取的中点，中点，连接、，由题意可得为的外心，平面，过点作直线垂直平面，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为，过点作于，连接、，可知四边形为矩形，是边长为3，设，则，由可得，解得，三棱锥外接球的半径，此三棱锥外接球的体积.故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.12. 已知是函数的所有零点之和，则的值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】D【解析】【详解】因为 所以关于对称由图知,有8个零点,所以所有零点之和为12,
10、选D点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线在处的切线斜率为_【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义即可解决.【详解】，由导数的几何意义知曲线在处的切线斜率为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14. 已知抛物线过点，则抛物线的准线方程为_.【答案】【解析】【分析】代入求解抛物线,再化简成标准
11、形式求解准线方程即可.【详解】由题, ,故.故抛物线的准线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题.15. 已知下列命题：命题“”的否定是“”；已知为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；在中，“”是“”的既不充分也不必要条件；“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中，所有真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定的求解，或且非命题真假的判断，正弦定理以及逆否命题的求解，对选项进行逐一分析，则问题得解.【详解】对：“”的否定是“”，故是假命题；对：若“”为假命题，则均为假命题，故“为真命题”；对：在中，“
12、”等价于，由正弦定理，其又等价于，故“”是“”的充要条件，故是假命题；对：“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故其逆否命题也是假命题，故错误；综上所述，真命题的序号是.故答案为：.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的否定的求解，复合命题真假的判断，充要条件的求解，属综合基础题.16. 天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起
13、，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是_；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an9（n1）99n，所以，a27927243，前27项和为：3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学
14、生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，角的平分线交于点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把已知条件中角的关系化为边的关系后可用余弦定理求角；（2）在（1）基础上得，从而由可得，在中应用正弦定理可求得，从而可得面积【详解】（1）由及正弦定理知， 又，由余弦定理得.，.（2）由（1）知， 又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，解得， 故【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解题时注意边角关系的互化18. 如图，四棱锥的底面为直角梯
15、形，为的中点（）求证：平面（）若平面平面，异面直线与所成角为60，且是钝角三角形，求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）【解析】【分析】（）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，得到即可（）由条件得出，然后证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可.【详解】（）证明：取的中点，连接，因为为的中点，则，且，又，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面（）由题意可知，所以或其补角为异面直线与所成角，又，为钝角三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，则，向量，设平面的
16、法向量为由得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为设二面角的平面角为，则则故二面角的正弦值为【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.19. 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元/件）及相应月销量（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计，得到如下表数据：月销售单价（元/件）91011月销售量（万件）1110865（）建立关于的回归直线方程；（）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过
17、万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（）中得到的回归直线方程是否理想？（）根据（）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：，【答案】（）（）可以认为所得到的回归直线方程是理想的（）该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润【解析】分析】（）根据参考数据由回归系数公式计算，再由计算，即可写出回归直线方程；（）由回归直线方程预测时的估计值，检测即可知是否理想；（）写出销售利润，利用二次函数求最值即可.【详解】（）因为，所以，所以，所以关于的回归直线方程为：（）当时，则，所以可以认为所得
18、到的回归直线方程是理想的（）设销售利润为，则，所以时，取最大值，所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题.20. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】
19、(1)由题意可得，又， 解得，.所以，椭圆的方程为 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，定点.(依题意则由韦达定理可得，. 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. 所以，即得. 又，所以，整理得，.从而可得， 即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.21. 已知函数（）（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取
20、得极值，（0，），恒成立，求实数的最大值【答案】（1）时，在（0，）上没有极值点；当时，在（0，）上有一个极值点.（2）【解析】【分析】（1）首先求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况，讨论的极值点个数.（2）利用求得的值，将不等式分离常数，转化为，构造函数利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得实数的最大值.【详解】（1）的定义域为（0，），.当时，在（0，）上恒成立，函数在（0，）上单调递减.在（0，）上没有极值点.当时，由，得；由，得，在（0，）上递减，在（，）上递增，即在处有极小值.综上，当时，在（0，）上没有极值点；当时，在（0，）上有一个极值点.（2）函数在处取得极值
21、，则，从而.因此，令，则，令，得，则在（0，）上递减，在（，）上递增，即.故实数的最大值是.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修44；坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，
22、N两点，若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，根据，转换为极坐标方程为，即或（包含），所以曲线C的极坐标方程为（2）直线的参数方程为转换为直线的标准参数式为为参数）代入圆的直角坐标方程为，设方程两根为，所以，所以【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线标准参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题选修45：不等式选讲23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 （）求不等式f(x)0的解集；（）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不等式即可详解：（1），当时，得；当时，得；当时，得，综上可得不等式的解集为.（2）依题意，令 ，解得或，即实数的取值范围是.点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：（1）“能成立”：存在使不等式成立，存在使不等式成立；（2）“恒成立”：对任意的不等式恒成立，对任意的不等式恒成立
