1、第八节 函数与方程 【知识梳理】1.函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),把使_的实数x叫做函数y=f(x)的零点.f(x)=0(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是_的 一条曲线,并且有_,那么,函数y=f(x)在 区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_,这个c也就是方程f(x)=0的根.连续不断 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 0=0 0)与x轴的交 点_无交点零点个数_(x1,0),(x2,0)(x1,0)2 1 0【特别提醒】1.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一
2、个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.2.三个等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P88例1改编)函数 的零点个数 为()A.0 B.1 C.2 D.3 1x21f xx2()【解析】选B.函数f(x)=的零点个数是方程 =0的解的个数,即方程 的解的个数,也 就是函数y=与y=的图象的交点个数.在同一坐 标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.1x21x2()1x21x2()1x21x2()12
3、xx12()感悟考题 试一试 2.(2015济南模拟)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1【解题提示】根据偶函数的定义域关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称及函数零点的定义进行判断.【解析】选A.2选项 具体分析 结论 A y=cosx是偶函数且当x=k+,kZ时,cosx=0 正确 B y=sinx不是偶函数 错误 C y=lnx的定义域为x0,故y=lnx不具备奇偶性 错误 D y=x2+1是偶函数,但x2+1=0无解,即不存在零点 错误 3.(2016青岛模拟)若函数f(x)=x2-2mx+m2-1在区间0,1上恰
4、有一个零点,则m的取值范围为()A.-1,01,2 B.-2,-10,1 C.-1,1 D.-2,2【解析】选A.令f(x)=x2-2mx+m2-1=0,可得x1=m-1,x2=m+1,因为函数f(x)=x2-2mx+m2-1在区间0,1上恰有一个零 点,所以0m-11或0m+11.所以1m2或-1m0.4.(2016淄博模拟)若函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .【解析】函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有两个零点,就是函数y=ax(a0且a1)与函数y=x+a的图象有两个交点,由图象可知当0a1时,因为函数y=ax的图象过点(0,1),当直线
5、y=x+a与y轴的交点(0,a)在(0,1)的上方时,一定有两个交点,所以a1.答案：(1,+)考向一 确定函数零点所在区间【典例1】(1)方程log3x+x=3的根所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)(2016济南模拟)设函数y=x3与y=()x-2的图象的 交点为(x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是 .12【解题导引】(1)利用零点存在性定理进行判断.(2)分别画出函数y=x3与y=()x-2的图象,利用函数零点存在性定理进行判断.12【规范解答】(1)选C.方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的
6、零点,由于f(2)=log32+2-3=log32-10且函数f(x)在(0,+)上为单调增函数.所以函数f(x)的零点即方程log3x+x=3的根,所在区间为(2,3).【一题多解】解答本题还有以下方法:选C.方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区 间,两函数图象如图所示.由图知方程log3x+x=3的 根所在区间为(2,3).(2)设f(x)=x3-()x-2,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=()x-2的图象如图所示.因为f(1)=1-()-1=-10,所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2).答案:(1,
7、2)12121212【规律方法】确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【变式训练】函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为 ()1 11 111A.B.C.0 D.14 28 482，【解析】选A.因为 所以 故函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为 211flo
8、g0444()，211flog0222()，11ff042()()，1 1,.4 2【加固训练】1.(2016济宁模拟)已知x0是函数f(x)=2x-的零点,若0 x10 B.f(x1)0与f(x1)0都有可能 13log x【解析】选B.由于f(x)在(0,+)上是增函数,所以f(x1)f(x0)=0,即f(x1)0.2.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是 ()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)2x【解析】选B.因为f(x)在(0,+)上为单调增函数,且f(1)=ln2-20,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2).3.下列函数中在1,2内有零点的是
9、()A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=ln x-3x-6 D.f(x)=ex+3x-6【解析】选D.f(x)=ex+3x-6,f(1)=e-30,函数在1,2内至少有一个零点.4.(2016河南十所名校联考)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间 ,(1,e)内均有零点 B.在区间 ,(1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点 131 1e(，)1 1e(，)1 1e(，)1 1e(，)【解析】选D.方法一:当x 时,函数图象是连续 的,且 所以函数f(x
10、)在 上单调递减.又 f(e)=e-lne0,所以函数有唯一的零点在区间(1,e)内.1ee(，)11x3fx 03x3x，1ee(，)1111fln 0f 10e3ee3()，13方法二:令f(x)=0得 x=lnx.作出函数y=x和y=lnx的 图象,如图,显然y=f(x)在 内无零点,在(1,e)内有 零点.13131 1e(，)5.(2016温州模拟)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选B.由图象知 得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+
11、f(x)=ex+2x-b,则g(-1)=-2-b0,g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0,所以g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是(0,1).1b1221e考向二 函数零点的个数【典例2】(1)(2016德州模拟)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x-1,1时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是()A.9 B.10 C.11 D.18(2)函数f(x)=的零点个数是 .【解题导引】(1)函数F(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的个数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数.(2)画出函数的图象,结合图象确
12、定零点的个数.2ln xx2x,x0,4x1,x0【规范解答】(1)选B.由F(x)=0得f(x)=|lgx|,所以函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lgx|图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:当010时,|lgx|1,所以此时函数y=f(x)与y=|lgx|图象无交点.故函数F(x)=f(x)-|lgx|的零点个数是10.(2)当x0时,作函数y=lnx和y=x2-2x的图象,由图知,当x0时,f(x)有2个零点;当x0时,由f(x)=0得x=-,综上,f(x)有3个零点.答案:3 14【易错警示】解决本例(1)会出现如下错误:(1)不能将问题转化为
13、两个函数的交点问题.(2)函数图象不准确导致失误.【母题变式】1.本例(2)中的函数变为f(x)=|x2-2x|-a2-1(aR+),则零点的个数如何?【解析】因为aR+,所以a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.所以函数f(x)有2个零点.2.若本例(2)函数变为“已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+)内的零点有1003个”,则f(x)的零点的个数有多少个?【解析】因为f(x)为奇函数,且在(0,+)内有1003个零点,所以在(-,0)上也有1003个零点,又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.
14、【规律方法】判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-10,所以有1个零点.3.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是()A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个【解析】选B.由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如
15、图:观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.4.(2016合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x0,1时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=()x在0,上的根的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 110103【解析】选C.因为f(x)为偶函数,所以当x-1,0时,-x0,1,所以f(-x)=x2,即f(x)=x2.又f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f(x+1)+1=f(x+1)-1=f(x),故f(x)是以2为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=()x在0,上的图象如图所示,数形结
16、合得两图象有3个交点,故方程f(x)=()x在0,上有三个根.103103110110考向三 函数零点的应用【考情快递】命题方向命题视角已知函数的零点或方程的根求参数给出函数的零点个数或是方程的根,考查结合函数的图象确定参数的值或取值范围,属中档题利用函数零点比较大小考查利用零点的相关知识比较零点的大小或某些函数值的大小,属中档题【考题例析】命题方向1:已知函数的零点或方程的根求参数【典例3】(2015北京高考改编)设函数 f(x)=若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .x2a,x1,4(xa)(x2a),x1.【解题导引】根据题意,对a进行分类讨论,根据零点个数确定实数a的取值范围
17、.【规范解答】若a0,当x1,f(x)=2x-a恰有一个零点log2a时,有 解得 a1;当x1,f(x)=2x-a无零点时,有 解得a2.若a0,当x1时,f(x)无零点;当x1时,由题意知应恰有两个零点,所以 无解.a2a12a1，12a21a2a，a12a1，综上,a1或a2.答案:a1或a2 1212命题方向2:利用函数零点比较大小【典例4】(2016长沙模拟)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x-x,h(x)=log2x-(0 xx2x3 B.x2x1x3 C.x1x3x2 D.x3x2x1 12logx【解题导引】分别作出函数y=2x,y=-x,y=x,y=x,y=log2x,
18、y=的图象,结合图象确定x1,x2,x3的大小关系.12logx【规范解答】选D.由f(x)=2x+x=0,g(x)=x-x=0,h(x)=log2x-=0得2x=-x,x=x,log2x=.在坐 标系中分别作出y=2x,y=-x,y=x,y=x,y=log2x,y=的图象,由图象可知-1x10,0 x21,所以x3 x2x1.12logx12logx12logx【技法感悟】1.已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤:判断函数的单调性;利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组);解不等式(组),即得参数的取值范围.(2)方法:常利用数形结合法.2.借助函数零点比较大小的思路 要比较
19、f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a),f(b)与0的大小.【题组通关】1.(2016德阳模拟)已知函数f(x)=若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k满足()A.k2 B.-1k0 C.-2k-1 D.k-2 kx2,x0,(kR)ln x,x0，【解析】选D.由于|f(x)|0,故必须-k0,即k0,显然k=0 时两个函数y=|f(x)|和y=-k图 象只有一个公共点,所以k0,要 使y=|f(x)|与y=-k的图象有三个公共点(如图所示),只要-k2,即k-2即可.2.(2016南昌模拟)已知a是函数f(x)=2x-x的零 点,若0 x0a,则f(x0)的值满足()A.f(
20、x0)=0 B.f(x0)0 D.f(x0)的符号不确定 12log【解析】选B.函数f(x)=2x+log2x在(0,+)上是增函数,故零点是唯一的,又0 x0a,则f(x0)f(a)=0.3.(2016泰安模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式成立的是()A.f(a)f(1)f(b)B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b)D.f(b)f(1)f(a)【解析】选A.函数f(x),g(x)均为定义域上的单调递增函数,且f(0)=-10,g(1)=-10,所以a(0,1),b(1,e),即a1b,所以f(a)f(1)f(b).4.(2016滨州模拟)若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),则整数k=.【解析】设f(x)=log3x+x-3,因为f(2)=log32-10,即f(2)f(3)0,所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3),所以k=2.答案:2
