1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题 理(含解析)第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分共60分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,并将正确选项的序号填涂在答题卷1.已知,则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项.【详解】=所以A选项是错误的.=所以B选项是错误的.=所以C选项是错误的.=所以D选项是正确的.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小,常用包括比差和比商两种
2、方法.比差的一般步骤是:作差变形(配方、因式分解、通分等)与零比下结论;比商的一般步骤是:作商变形(配方、因式分解、通分等)与1比下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差.2.在等比数列中,则( )A. 14B. 28C. 32D. 64【答案】C【解析】,所以,所以故选C3.已知直线的倾斜角为,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求得的值,再利用两角和的正切公式求得的值【详解】解:直线的倾斜角为,则,故选:A【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,两角和的正切公式的应用,属于基础题4.ABC中,如果,那么ABC是( )A. 直角
3、三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理边化角得,根据同角公式可得,根据余弦函数的单调性可得.【详解】因为,所以由正弦定理可得,所以,又函数在上为递减函数,且,所以,所以为等边三角形,故选:B【点睛】本题考查了正弦定理边化角,考查了同角公式,考查了余弦函数的单调性,属于基础题.5.已知等差数列中,前n项和满足,则的值是( )A 3B. 6C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】根据前项和的定义可得,再根据等差数列的性质可得结果.【详解】因为,所以,又为等差数列,根据等差数列的性质可得,所以;故选:B【点睛】本题考查了数列的前项和的概念,
4、考查了等差数列的性质,属于基础题.6.等比数列的前项和为,若,则( )A. 18B. 10C. -14D. -22【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于和的值,再代入求和公式可得.【详解】解:设等比数列的公比为,显然,由求和公式可得,可得,解得,代回可得,故选D【点睛】本题考查等比数列的求和公式,属基础题 7.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,则该图形可以完成的无字证明为( )A. B. C. D. 【答案
5、】C【解析】【分析】由图形可知,在中,由勾股定理可求,结合即可得解【详解】由图形可知:,在中,由勾股定理可得,所以故选:C.【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系,考查了推理能力与计算能力,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平8.在中,分别为的对边,这个三角形的面积为,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意,解得,由余弦定理得.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式,考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边,还给了三角形的面积,由此建立方程可求出边的长,再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时,主要根据题目所给
6、的条件选择恰当的公式解列方程.9.已知数列为等差数列,为前项和,公差为,若,则的值为( )A. B. C. 10D. 20【答案】B【解析】【分析】可证数列为等差数列,公差为根据,即可得出【详解】由题得,所以,所以数列为等差数列,公差为,解得故选:B【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的应用,考查等差数列的判定和等差数列的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.设当时,函数取得最大值,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简已知得f(x)=,再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时的值.【详解】由题得f(x)=,其中当,即时,函数取到最大值.所以.故选D
7、【点睛】本题主要考查三角恒等变换,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.设直线与两坐标轴围成的三角形面积为,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出直线与两坐标轴的交点,即,则,然后分别代入1,2,2020,最后求和即可【详解】分别令和,得到直线与两坐标轴的交点,则,然后分别代入1,2,2020,则有故选:D.【点睛】本题主要考查直线方程的应用,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.在锐角中, ,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知求出的范围,即得
8、,再利用正弦定理求出,即得解.【详解】由题得因为三角形是锐角三角形,所以.由正弦定理得所以.故选:B【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质,考查正弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.计算_【答案】【解析】【分析】根据两角差的正弦公式变形为,化简求值.【详解】 .故答案为:【点睛】本题考查两角差的正弦公式,属于基础题型.14.等比数列的前项和为,则_【答案】【解析】分析】根据公式,分别求,根据,求.【详解】当时, ,因为数列是等比数列,解得:.故答案为:【点睛】本题考查等比数列的性质,已知等比数列的前项和,求参数,属于
9、基础题型.15.已知直线恒过定点,且点在直线上,则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】首先求定点,代入直线得,再利用基本不等式求的最大值.【详解】直线 则,解得:,所以定点;则,且 那么,等号成立的条件是.故答案为:1【点睛】本题考查直线过定点,基本不等式求乘积的最大值,属于基础题型,本题的关键是定点问题.16.若对于,不等式恒成立,则正实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立,转化为的最小值大于9,构造,利用基本不等式求 的最小值.【详解】 , ,当时,等号成立,若不等式恒成立,则,即,即.故答案为:【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围,重点考查利用”1”的变形,利
10、用基本不等式求最小值,属于中档题型,本题的关键是根据,已知变形为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知三角形三顶点,求:()过点且平行于的直线方程()边上的高所在的直线方程【答案】()()【解析】【分析】(1)利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出;(2)利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.【详解】(1)设所求直线的方程为,由题意得:,所以所求方程:,即.(2)设直线的方程为,由题意得:,所以所求方程:即.18.中,且()求的值; ()求的大小【答案】();()【解析】【分析】()通过正弦定理易得,代入即可()三边长知道通过余弦定理即可求得的大小【详解】()因为
11、,所以由正弦定理可得因为, 所以 ()由余弦定理 因为三角形内角,所以【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理,记住公式很容易求解,属于简单题目19.已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)根据公式,求数列的通项公式;(2)由(1)可知,代入后转化为分组求和,求数列的前项的和.【详解】(1)当, 当时,验证当时,成立,所以;(2), 【点睛】本题考查数列已知求,和分组求和,重点考查基本公式和方法,属于基础题型.20.已知函数.(1)求函数的最小正周期和对称轴;(2)当时,求函数的值域.【答案】(1)最小正周期,对称轴为:,(2)【解
12、析】【分析】(1)利用和差角、二倍角、降幂公式将函数化简成的格式,再求解.(2)当时,设时,即求在上的值域.【详解】解:(1).最小正周期.又由,所以对称轴方程为:,.(2)时,.值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换将表达式化简,三角函数的性质,三角函数的值域,属于中档题.21.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.(1)求角A;(2)若的外接圆半径为1,求的面积S的最大值【答案】(1) ;(2) 【解析】【分析】(1)化简,再用余弦定理和三角形内角和,即可求出角A.(2)根据正弦定理求出a,根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可【详解】解:(1)由化简得, 由
13、余弦定理得又因为, 所以(2)由正弦定理得所以,当且仅当时取等号故(时取等号)即面积S的最大值为【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式的性质在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题22.已知等比数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列为递增数列,数列满足,求数列的前n项和.(3)在条件(2)下,若不等式对任意正整数n都成立,求的取值范围.【答案】(1)当时: ;当时:(2)(3)【解析】【分析】(1)直接利用等比数列公式得到答案.(2)利用错位相减法得到答案.(3)将不等式转化为,根据双勾函数求数列的最大值得到答案.【详解】(1)当时: 当时:(2)数列为递增数列,两式相加,化简得到 (3)设 原式 (为奇数)根据双勾函数知:或时有最大值.时,原式 时,原式 故【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,错位相减法求前N项和,恒成立问题,将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键,此题综合性强,计算量大,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.