1、新余一中宜春一中2021届高二联考数学试卷一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则（ ）A. B. C.D.2.是虚数单位，若，则的值是（ ）A B. C. D.3.对大于或等于的正整数的幂运算有如下分解方式:,，根据上述分解规律,则,的分解中最小的正整数是,则（ ）A.9B.10C.11 D.124.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（ ）A.B.C.D.5.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B C D6.已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,
2、则的值为( )A. B. C. D. 7.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点， 是的中点，则直线的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直8. 在中，以为焦点，经过点的椭圆与双曲线的离心率分别为，则( )A.B.C.D.9. 在等比数列中, ,则能使不等式成立的最大正整数是( )A.5B.6C.7D.810.已知定义在上的函数满足恒成立(其中为函数的导函数)，对于任意实数，下列不等式一定正确的是( )A.B.C.D. 11.已知点，曲线，直线 (且)与曲线C交于两点，若周长 的最小值为2，则p的值为( )A.8B.6C.4D.212.已知函数在处的导数相等，则
3、不等式恒成立时的取值范围为( )A.B.C.D.二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知直线 与抛物线 相切，则 14.记为等差数列的前n项和，则_.15.已知三棱锥的各顶点均在一个半径为的球面上,球心在上, 平面,则三棱锥与球的体积之比为_.16.已知函数，给出以下命题:若函数不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是;过点且与曲线相切的直线有三条;方程的所有实数的和为16.其中真命题的序号是_.三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.(10分)已知函数.(1).当时,解不等式；(2).若的解集为 ,求证: .18.(12分)已知
4、的内角的对边分别为，满足有三个条件：； ； 其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积19.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”80使用其他理财产品120合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”
5、的人多200名.(1).求频数分布表中的值；(2).已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.20.(12分)如图，在四棱锥中， . 分别为棱的中点，.(1)证明:平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线
6、与平面所成角的正弦值21.(12分)已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线与椭圆相交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.22.(12分)己知函数（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；（2）若方程的两个根分别为，求证：.新余一中、宜春一中2021届高二联考数学试卷答案题号123456789101112答案BCCABDCACDBC1、已知集合，则( )A.B.C.D.1答案及解析：答案：B解析：依题意，知，故，故选B. 2是虚数单位，若，则的值是A、 B、 C、 D、2【答案】C【解析】因为，所以由复数相等的定义
7、可知，所以，故应选3、对大于或等于的正整数的幂运算有如下分解方式:,，根据上述分解规律,则,的分解中最小的正整数是,则 ( )A.9B.10C.11D.123答案及解析：答案：C解析：已知,.的分解中最小的正整数是,分析正整数的3次幂运算的分解式,可知最小的正整数为,故.故选C.4、“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是( )A.B.C.D.4答案及解析：答案：A解析：方程表示双曲线的充要条件是，解得.根据四个选项可知，充分不必要条件是A.故选A 5、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）BA. B C D6、已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数
8、列的前项和为,则的值为( )A. B. C. D. 6答案及解析：答案：D解析：由已知得,函数的图象在点处的切线的斜率为,故,所以,此时直线与直线不重合,满足题意,则,所以,故.7、如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是( )A. 平行 B.相交C.异面垂直D.异面不垂直7答案及解析：答案：C解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则，,则直线的位置关系是异面垂直.8、在中，以为焦点，经过点的椭圆与双曲线的离心率分别为，则( )A.B.C.D.8答案及解析：答案：A解析：如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为，焦距为，则，.点在椭圆上，,
9、即.又点在双曲线上，即，得，则.9、在等比数列中, ,则能使不等式成立的最大正整数是( )A.5B.6C.7D.8答案：C解析：本题综合考查了数列与不等式的知识.在等比数列中, ,公比,时, ;时, .,又当时, ,使不等式成立的的最大值为. 10、已知定义在上的函数满足恒成立(其中为函数的导函数)，对于任意实数，下列不等式一定正确的是( )A.B.C.D.10答案及解析：答案：D解析：因为在上恒成立，设，有，故在上单调递增.因为，所以，所以，即，所以，两式相加，得，C错，D对；取，则A不对；取，则B不对. 11、已知点，曲线，直线 (且)与曲线C交于两点，若周长 的最小值为2，则p的值为(
10、)A.8B.6C.4D.212、已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时m的取值范围为( )A.B.C.D.11答案及解析：答案：B解析：易知曲线C是由两抛物线和构成，如图，设MN与y轴的交点为D，抛物线的焦点为F，连接.即，则，的周长，当且仅当M，R，F三点共线时取等号，故，所以.12答案及解析：答案：C解析：由题得.由函数在，处的导数相等，得.恒成立，恒成立.令，则.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增，.故选C.13、已知直线 与抛物线 相切，则 12答案及解析：答案：14、记为等差数列的前n项和，则_.14答案及解析：答案：4解析：因，所以，即，所以15、已知三棱锥的各顶点均在一
11、个半径为的球面上,球心在上, 平面,则三棱锥与球的体积之比为_.15答案及解析：答案：解析：如图:依题意, ,又,因此,.而,因此.16、已知函数，给出以下命题:若函数不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是;过点且与曲线相切的直线有三条;方程的所有实数的和为16.其中真命题的序号是_.16答案及解析：答案：解析：因为，所以，若函数不存在单调递减区间，则有，解得，所以错误;设过点的直线与曲线相切于点，则有，又点在曲线上，所以，代入上式，得，解得或或，所以过点且与曲线相切的直线有三条，正确;计算得函数的图象关于点成中心对称，且函数的图象也关于点成中心对称，所以方程的所有实数根的和为，错误.综上所
12、述，真命题的序号为.17、已知函数.(1).当时,解不等式;(2).若的解集为,求证: .答案：1.当时,不等式为,或或,不等式的解集为.2. ,即,解得,而,解集是,解得,所以,.当且仅当时等号成立.18、已知的内角的对边分别为，满足有三个条件：；其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求c；（2）设D为边上一点，且，求的面积18答案：（1）因为，所以，即， A为钝角，与矛盾，故中仅有一个正确，正确； 显然，得； 当正确时，由，得（无解）,当正确时，由于，得； （2）因为，则,则， 故的面积为19、随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金
13、管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”80使用其他理财产品120合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.1.求频数分布表中的值；2.已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后
14、从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息. 19答案及解析：答案：1.据题意，得，所以. 2.据，得这被抽取的5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人.10000元使用“余额宝”的利息为（元）.10000元使用“财富通”的利息为（元）.所有可能的取值为500（元），700（元），900（元）.，.所以的分布列为：500700900（元）. 20、如图，在四棱锥中， .分别为棱
15、的中点，.(1)证明:平面平面;(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值20答案及解析：答案：解：（1）证明：因为点为的中点，所以四边形为平行四边形，即. 因为分别为棱的中点， ，所以平面平面（2）如图所示，因为为相交直线，所以平面.不防设则以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系设，从而，而的法向量记为，则可得，令则又面的法向量为，二面角的大小为.，解得 所以，所以，设平面的法向量为，则，可得.令则，所以设直与平面所成角为，则. 21、已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.21答案及解析：答案：（1）因为椭圆C的左右焦点分别为，所以.由椭圆定义可得，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为，由得，即，解得，设，则，由于，设线段MN的中点为E，则，所以又，所以，解得.当时，不满足.所以不存在满足条件的直线l.解析：22、己知函数（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；（2）若方程的两个根分别为，求证：.22答案及解析：答案：（1）在上递减，对恒成立.即对恒成立，所以只需.，当且仅当时取“=”，.（2）由已知，得，两式相减，得.由知，设，则.在上递增，.，.即.
