1、午间半小时(十八)(30分钟 50分)一、单选题1已知在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ac2 3,B30,则角 C 的大小是()A75 B45 C30 D60【解析】选 D.因为 ac2 3,所以可设 a2k,c 3 k,又 B30,所以 cos 30()2k 2()3k 2b222k 3k 32,解得 bk,所以 a2b2c2,所以 A90,所以 C60.2在 ABC 中,角 B34,BC 边上的高恰为 BC 边长的一半,则 cos A()A2 55 B 55 C23 D 53【解析】选 A.作 AHBC,交 CB 延长线于 H,则 AHB 为等腰直角三角形,设
2、 BC2a,则 AB 2 a,AHa,CH3a,由勾股定理得 AC 10 a,由余弦定理得cos A2a210a24a22 2a 10a2 55.3已知 ABC 中 BC 边上的中线 AD3,BC4,BAC60,则 ABC 的周长为()A 46 4 B4 3 4 C5 2 4 D2 13 4【解析】选 A.在 ABD 和 ADC 中,由余弦定理,可知AB2AD2BD22ADBDcos ADB1312cos ADB,AC2AD2CD22ADCDcos ADC1312cos ADC,所以 AB2AC226,在 ABC 中,由余弦定理可知,BC2AB2AC22ABACcos BAC26ABAC16,
3、所以 ABAC10,所以(ABAC)2AB2AC22ABAC262046,所以 ABC 的周长为 ABACBC 46 4.4在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 abc432,则2ab2c cos C()A37 B57 C97 D107【解析】选 D.abc432,设 a4k,b3k,c2k,由余弦定理可得:cos C1694 k2243k278,所以2ab2c cos C 83 k478k107.5已知 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a10,b15,C60,则 cos B()A 714 B5 714 C 714 D5 714【解析】选 A.
4、由余弦定理得 c2a2b22ab cos C1002252101512 175,故 c5 7,所以 cos Ba2c2b22ac1001752252105 7 714.6 ABC 中,若 a4b4c42c2(a2b2),则角 C 的度数是()A45或 135 B60或 135C120 D30【解析】选 A.因为 a4b4c42c2(a2b2),所以(a2b2)22c2(a2b2)c42a2b2,即(a2b2c2)22a2b2,即有 a2b2c2 2 ab,由余弦定理可得 cos Ca2b2c22ab 22,由 0C0,即 a22a30,解得 a3 或a0,则 C 是锐角B在 ABC 中,若 a
5、2BCC在 ABC 中,若 4sin A cos A0,则 ABC 一定是直角三角形D任何三角形的三边之比不可能是 123【解析】选 ACD.A.由余弦定理可得 cos Ca2b2c22ab0,又 C(0,),所以C0,2,所以角 C 是锐角,故 A 正确;B.由余弦定理可得 cos Ab2c2a22bc0,又 A(0,),所以 A0,2,所以角 A 是锐角,所以 BC2 A,故 B 错误;C因为 4sin A cos A0,A(0,),所以 sin A0,所以 cos A0,则 A2,所以 ABC 一定是直角三角形,故 C 正确;D.若三角形三边之比是 123,不妨设三边为 a,2a,3a,
6、则两短边之和为 3a,不满足三角形两边之和大于第三边,故任何三角形的三边之比不可能是 123,D 正确三、填空题9a,b,c 分别为 ABC 内角 A,B,C 的对边已知 a217 bcb2c2,则 cos A_【解析】因为 a217 bcb2c2,且 a2b2c22bc cos A,所以 cos A 114.答案:11410在 ABC 中,若a3b3c3abcc2,则C_【解析】由a3b3c3abcc2 得,a3b3c3c2(abc)(ab)c2c3,所以 a3b3(ab)c2,所以(ab)(a2b2ab)(ab)c2,所以(ab)(a2b2c2ab)0,而 ab0,故 a2b2c2ab0,即 a2b2c2ab,所以 cos Ca2b2c22ab ab2ab 12,而 ABC 中,C(0,),故C3.答案:3