1、活页作业(二十)间接证明:反证法1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析:“至多有一个”的否定是“至少有两个”答案:B2设a,b,c是正数,Pabc,Qbca,Rcab,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于零”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:必要性显然成立充分性:若PQR0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负的一个正的不妨设P0,Q0,R0.P0,Q0,即abc,bca,abbcca.b0.这与a,b,c都是正数矛盾故P,Q,R
2、同时大于零答案:C3设a,b,c(,0),则a,b,c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析:对于C,可用反证法证明如下:假设a2,b2,c2同时成立,则6.这与6矛盾答案:C4已知x10,x11,且xn1(n1,2,)试证:数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn1,或者对任意的正整数n都满足xnxn1.当此题用反证法否定结论时,应为()A对任意的正整数n,有xnxn1B存在正整数n,使xnxn1C存在正整数n,使xnxn1且xnxn1D存在正整数n,使(xnxn1)(xnxn1)0解析:证明结论的含义是数列an为单调数列,因此对它的否定是数列an不为单调数
3、列,即为常数数列或存在不具备单调的项,故选D.答案:D5用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析:“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案:A6对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)x0,那么x0叫作函数f(x)的一个好点已知函数f(x)x22ax1不存在好点,那么a的取值范围是_.解析:假设函数f(x)存在好点x,则x22ax1x,即x2(2a1)
4、x10.(2a1)240.解得a或a.f(x)不存在好点时,a.答案:7用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:ABC9090C180,这与三角形内角和为180矛盾,故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角,不妨设A90,B90.上述步骤的正确顺序为_.解析:由反证法的一般步骤可知,正确的顺序应为.答案:8在ABC中,若ABAC,P是ABC内一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时,假设应分_和_两类解析:“BAPCAP”的否定为“BAPCAP”,因此假设应分两类:BAPCAP和BAPCAP.答案:BAPCAPBAPCAP9用反证法证明:已知a,b
5、均为有理数,且和都是无理数,求证:是无理数证明:假设为有理数,则()()ab.由a0,b0,得0.a,b为有理数,且为有理数,为有理数,即为有理数()()为有理数,即2为有理数从而应为有理数,这与已知为无理数矛盾一定为无理数10已知x,y0,且xy2.求证:,中至少有一个小于2.证明:假设,都不小于2,则2,2.x,y0,1x2y,1y2x.2xy2(xy),即xy2,与已知xy2矛盾故假设错误,原命题正确,中至少有一个小于2.11用反证法证明命题“a,bN,如果ab能被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是()Aa,b都能被5整除Ba,b都不能被5整除Ca不能被5整除Da,
6、b有一个不能被5整除解析:“至少有一个”的反面是“一个也没有”答案:B12若下列方程:x24ax4a30,x2(a1)xa20,x22ax2a0,至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围为_.解析:假设三个方程均无实根,则有解得a1.当a1或a时,三个方程至少有一个方程有实根答案:1,)13设二次函数f(x)ax2bxc(a0),若关于x的不等式f(x1)0的解集为0,1,则关于x的不等式f(x1)0的解集为_.解析:将函数yf(x1)的图象向左平移2个单位长度得到函数yf(x1)的图象,不等式f(x1)0的解集为0,1,所以yf(x1)的图象是开口向下的抛物线,与x轴的交点为(0,0),(1
7、,0)所以不等式f(x1)0的解集为(,21,)答案:(,21,)14已知集合a,b,c0,1,2,且下列三个关系:a2,b2,c0,有且只有一个正确,则100a10bc等于_.解析:若正确,则不正确,由不正确得c0,由正确得a1,所以b2,与不正确矛盾,故不正确若正确,则不正确,由不正确得a2,与正确矛盾,故不正确若正确,则不正确,则不正确得a2,由不正确及正确得b0,c1,此时100a10bc10021001201.答案:20115设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数求证:f(x)0无整数根证明:假设f(x)0有一个整数根k,则ak2b
8、kc.又f(0)c,f(1)abc均为奇数,ab为偶数当k为偶数时,显然与式矛盾;当k为奇数时,设k2n1(nZ),则ak2bk(2n1)(2naab)为偶数,也与式矛盾故假设不成立方程f(x)0无整数根16已知函数f(x)在区间1,)上是增函数,且当x01,f(x0)1时,有ff(x0)x0,求证:f(x0)x0. 证明:假设f(x0)x0,则必有f(x0)x0或f(x0)x0.若f(x0)x01,由f(x)在1,)上为增函数,得ff(x0)f(x0)又ff(x0)x0,f(x0)x0,与假设矛盾若x0f(x0)1,同理,得f(x0)ff(x0)又ff(x0)x0,x0f(x0),也与假设矛盾综上所述,当x01,f(x0)1,且ff(x0)x0时,f(x0)x0.