1、活页作业(二十)间接证明：反证法1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”答案：B2设a，b，c是正数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于零”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：必要性显然成立充分性：若PQR0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负的一个正的不妨设P0，Q0，R0.P0，Q0，即abc，bca，abbcca.b0.这与a，b，c都是正数矛盾故P，Q，R
2、同时大于零答案：C3设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：对于C，可用反证法证明如下：假设a2，b2，c2同时成立，则6.这与6矛盾答案：C4已知x10，x11，且xn1(n1,2，)试证：数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn1，或者对任意的正整数n都满足xnxn1.当此题用反证法否定结论时，应为()A对任意的正整数n，有xnxn1B存在正整数n，使xnxn1C存在正整数n，使xnxn1且xnxn1D存在正整数n，使(xnxn1)(xnxn1)0解析：证明结论的含义是数列an为单调数列，因此对它的否定是数列an不为单调数
3、列，即为常数数列或存在不具备单调的项，故选D.答案：D5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案：A6对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点已知函数f(x)x22ax1不存在好点，那么a的取值范围是_.解析：假设函数f(x)存在好点x，则x22ax1x，即x2(2a1)
4、x10.(2a1)240.解得a或a.f(x)不存在好点时，a.答案：7用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_.解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：8在ABC中，若ABAC，P是ABC内一点，APBAPC，求证：BAPCAP.用反证法证明时，假设应分_和_两类解析：“BAPCAP”的否定为“BAPCAP”，因此假设应分两类：BAPCAP和BAPCAP.答案：BAPCAPBAPCAP9用反证法证明：已知a，b
5、均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数证明：假设为有理数，则()()ab.由a0，b0，得0.a，b为有理数，且为有理数，为有理数，即为有理数()()为有理数，即2为有理数从而应为有理数，这与已知为无理数矛盾一定为无理数10已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明：假设，都不小于2，则2，2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2，与已知xy2矛盾故假设错误，原命题正确，中至少有一个小于2.11用反证法证明命题“a，bN，如果ab能被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，
6、b有一个不能被5整除解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”答案：B12若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为_.解析：假设三个方程均无实根，则有解得a1.当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根答案：1，)13设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，若关于x的不等式f(x1)0的解集为0,1，则关于x的不等式f(x1)0的解集为_.解析：将函数yf(x1)的图象向左平移2个单位长度得到函数yf(x1)的图象，不等式f(x1)0的解集为0,1，所以yf(x1)的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为(0,0)，(1
7、,0)所以不等式f(x1)0的解集为(，21，)答案：(，21，)14已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2，b2，c0，有且只有一个正确，则100a10bc等于_.解析：若正确，则不正确，由不正确得c0，由正确得a1，所以b2，与不正确矛盾，故不正确若正确，则不正确，由不正确得a2，与正确矛盾，故不正确若正确，则不正确，则不正确得a2，由不正确及正确得b0，c1，此时100a10bc10021001201.答案：20115设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根证明：假设f(x)0有一个整数根k，则ak2b
8、kc.又f(0)c，f(1)abc均为奇数，ab为偶数当k为偶数时，显然与式矛盾；当k为奇数时，设k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为偶数，也与式矛盾故假设不成立方程f(x)0无整数根16已知函数f(x)在区间1，)上是增函数，且当x01，f(x0)1时，有ff(x0)x0，求证：f(x0)x0. 证明：假设f(x0)x0，则必有f(x0)x0或f(x0)x0.若f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，得ff(x0)f(x0)又ff(x0)x0，f(x0)x0，与假设矛盾若x0f(x0)1，同理，得f(x0)ff(x0)又ff(x0)x0，x0f(x0)，也与假设矛盾综上所述，当x01，f(x0)1，且ff(x0)x0时，f(x0)x0.