1、1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【知识提炼】正弦函数、余弦函数的图象 函数 y=sin x y=cos x 图象 图象画法“五点法”“五点法”关键五点(0，0)，_，(，0)，_，(2，0)(0，1)，_，(，-1)，_，(2，1)(1)2，3(,1)2(0)2，3(,0)2【即时小测】1.判断(1)函数y=cosx，x2k，2(k+1)，kZ且k0的图象与函数y=cosx，x0，2)的图象的形状完全一致.()(2)函数y=sinx，x 的图象与函数y=cosx，x0，2 的图象的形状完全一致.()(3)五点法画函数y=1-cosx，x0，2 的图象时，五个关
2、键点坐标依次为(0，0)，()，(，0)，(2，0).()522，12，3(1)2，提示：(1)正确.将函数y=cosx，x0，2)的图象向右(或左)平移2k，k0(或k0的解集为_.【解析】观察y=cosx，x0，2的图象可知，当x 时，cosx0.故cosx0的解集为 答案：30)(2 22，30)(2.22，30)(2 22，【知识探究】知识点 正弦函数、余弦函数的图象 观察图形，回答下列问题：问题1：由y=sinx，x0，2 的图象如何得到y=sinx，xR的图象？问题2：正弦曲线和余弦曲线形状一致吗？位置上有什么关系？【总结提升】1.函数y=sinx，x0，2 与y=sinx，xR的
3、图象的关系(1)函数y=sinx，x0，2 的图象是函数y=sinx，xR的 图象的一部分.(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx，x2k，2(k+1)，kZ且k0的图象与函数y=sinx，x0，2 的图象形状完全一致，因此将y=sinx，x0，2 的图象向左、右平行移动(每次移动2 个单位长度)，就可得到函数y=sinx，xR的图象.2.正弦曲线和余弦曲线的关系 3.“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图较精确，但较为烦琐.(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精
4、度不高的情况下常用此法.【题型探究】类型一 用“五点法”画三角函数的简图【典例】用“五点法”画出函数y=+sinx，x0，2 的图象.【解题探究】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A0)，x0，2 的图象时，五个关键点的横坐标依次是什么？提示：依次是0，2.12322【解析】按五个关键点列表：x 0 2 sinx 0 1 0-1 0 1sinx2 2321232121212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)【延伸探究】1.(变换条件)将本例中“x0，2”改为“x ”，如何画函数图象.【解析】(1)列表：5766，x 0 sinx-1 0 1 0 0 0 56227612121si
5、nx2 12123212(2)描点，并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：2.(改变问法)用本例画图方法画出函数y=-1-cosx(0 x2)的图象.【解析】列表：x 0 2 cosx 1 0-1 0 1-1-cosx-2-1 0-1-2 232描点作图，如图所示：【方法技巧】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A0)或y=Acosx+b(A0)在0，2 上简图的步骤(1)列表：x 0 2 sinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或-1)-1(或0)0(或1)y b(或A+b)A+b(或b)b(或-A+b)-A+b(或b)b(或A+b)232(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点
6、：(0，y)，(，y)，(2，y)，这里的y是通过函数式计算得到的.(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接.(y)2，3(y)2，【补偿训练】(2015上饶高一检测)用“五点法”画出y=sinx+2，x0，2 的简图.【解析】(1)列表：x 0 2 sinx+2 2 3 2 1 2 232(2)描点：在坐标系内描出点(0，2)，(，2)，(2，2).(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来(实线).(3)2，3(1)2，【延伸探究】1.(变换条件)将本题中x0，2 改为x 试画函数的简图.【解析】列表：4233，x-0 sinx 0-1 0 1 sinx+2
7、2 1 2 3 4322233232322 322 描点作图如图所示 2.(改变问法)将本例函数改为y=-sinx-1，x0，2，试画其简图.【解析】(1)按五个关键点列表：x 0 2-sinx-1-1-2-1 0-1 232(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示.类型二 正弦函数、余弦函数图象的应用【典例】1.使不等式 -2sinx0成立的x的取值集合是()23A.x|2kx2kkZ447B.x|2kx2kkZ445C.x|2kx2kkZ4457D.x|2kx2kkZ44 ，2.如果直线y=a与函数y=sinx，x 的图象有且只有一个交点，则a的取值范围是_.3.根据函数图象解不等式
8、：sinxcosx，x0，2.30 2，【解题探究】1.典例1中，不等式应首先变形为什么形式？如何利用正弦曲线解此不等式？提示：先变形为sinx ，正弦曲线在直线y=下方的点的横坐标的取值范围.2.典例2中，画函数y=sinx，x 有哪几个关键点？提示：222230 2，3(0 0)(1)(0)(1).22，3.典例3中，满足不等式sinxcosx，x0，2 的x的几何意义是什么？提示：y=sinx，x0，2的图象在y=cosx，x0，2上方的点的横坐标的取值.【解析】1.选C.不等式可化为sinx .方法一：作图，正弦曲线及直线y=如图所示.由图知，不等式的解集为 22225x|2kx2kk
9、Z.44，方法二：如图所示不等式的解集为x|2k-x2k+，kZ.5442.画出函数y=sinx，x 及y=a的图象，如图所示，观察图象可知，-1acosx，x0，2的解集为x|x .454【延伸探究】若把本例1中不等式改为 sinx ，试求x的取值集合.【解析】首先作出y=sinx在0，2上的图象.如图所示，1232作直线y=，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y=sin x，x0，2的交点横坐标为 和 ；作直线y=，该直线与y=sin x，x0，2的交点横坐标为 和 .观察图象可知，在0，2上，当 或 时，不等式 sin x 成立.所以 sin x 的解集为x|+2kx +2k，或 +2kx
10、a(或cosxa)的方法(1)作出直线y=a，作出y=sinx(或y=cosx)的图象.(2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值.(3)确定sinxa(或cosxa)的解集.2.利用三角函数线解sinxa(或cosxa)的方法(1)找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.【变式训练】求函数y=的定义域.【解题指南】解logax0型不等式，先将不等式化为logaxloga1，再根据a1，或0a1得到x与1的大小关系.【解析】由log3sinx0，得log3sinxlog31 所以sinx1，又因为sinx1，所以sinx=1，所
11、以x=2k+，kZ，所以原函数的定义域为xR|x=2k+，kZ.3log sinx22【补偿训练】若sinx=2m+1且xR，则m的取值范围是_.【解析】由正弦函数图象得-1sinx1，所以-12m+11，所以m-1，0.答案：-1，0 易错案例 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数【典例】方程sinx=lgx的解有_个.【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是y=lgx的图象所过特殊点，找错，y=sinx的图象，分布区域找错，实际上，y=lgx过点(10，1).y=sinx的图象在y=-1和y=1之间.【自我矫正】如图所示，y=sinx与y=lgx的图象有3个交点，故方程有3个解.答案：3【防范措施】1.关注数形结合思想的应用 方程f(x)=g(x)根的个数问题可转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象交点个数问题.2.重视函数图象中关键点和线 画函数图象一方面要注意其变化趋势，另一方面要注意关键点(与坐标轴交点，最高、低点等)，关键线，如y=sinx，xR图象，在y=-1与y=1之间，y=lgx过点(1，0)和(10，1).
