1、第4讲证明不等式的基本方法考纲解读了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点预测2021年将会考查：与基本不等式结合证明不等式；与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型对应学生用书P2161.基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2.比较法作差法依据若a，bR，则ab0a
2、b；ab0ab；ab0a0，b0，则1ab；1ab；1a1，则x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()A.B.(2)已知a，b是不相等的正数，x，y，z(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是()A.xyz Bxyxz Dyzz2，y2x20，y2x2z2，又x0，y0，z0，yxz.(3)设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为_答案ab1或a2解析因为xy(a2b25)(2aba24a)(a2b22
3、ab1)(a24a4)(ab1)2(a2)20，若xy，则实数a，b应满足的条件为ab1或a2.(4)已知x0，则yx2的最小值为_答案3解析因为x0，所以yx2x233，当且仅当x2即x1时等号成立，所以yx2的最小值为3.对应学生用书P216题型 一比较法证明不等式1.已知a，b都是正实数，且ab2，求证：1.证明a0，b0，ab2，1.ab22，ab1.0.2.(2019吉林长春模拟)(1)如果关于x的不等式|x1|x5|m的解集不是空集，求实数m的取值范围；(2)若a，b均为正数，求证：aabbabba.解(1)令y|x1|x5|可知|x1|x5|6，故要使不等式|x1|x5|m的解集
4、不是空集，有m6.(2)证明：由a，b均为正数，则要证aabbabba，只要证aabbba1，整理得ab1.当ab时，ab0，可得ab1；当ab时，ab1.可知a，b均为正数时，ab1，当且仅当ab时等号成立，从而aabbabba成立.结论探究本例中(2)条件不变，求证：aabb(ab).证明ab.当ab时，1；当ab时，1，0，由指数函数的性质知1，当ab时，01，1.所以aabb(ab).1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的四步骤(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法
5、的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法已知函数f(x)|x2|.(1)求不等式f(x1)f(x3)2的解集M；(2)若aM，|b|2，求证：f(ab)|a|f.解(1)由题意，知f(x1)f(x3)|x1|x1|，而|x1|x1|(x1)(x1)|2，当且仅当(x1)(x1)0，即1x1时取等号，因此Mx|x1(2)证明：由f(ab)|a|f，得|ab2|b2a|.因为aM，|b|1，b24，所以(ab2)2(b2a)2a2b24a2b24(a21)(b24)0，因此|ab2|b2a|，故f(ab)0)；2(ab0)；2(ab0)(2019广州模拟)已知定义
6、在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值；(2)若1，1，f()f()4，求证：3.解(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.所以要使不等式|xm|x|2有解，则|m|2，解得2m2.因为mN*，所以m1.(2)证明：因为1，1，所以f()f()21214，即3，所以()5523.当且仅当，即2，1时等号成立，故3.题型 三分析法证明不等式(2019泉州模拟)已知函数f(x)xx，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)求证：当a，bM时，2ab.解(1)f(x)xx当x时，2x2，解得x1，1x.当x时，不等式成立，x0，b0没有直接联系，较
7、难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有只需证明命题B2为真，从而有只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真某同学在一次研究性学习中发现以下五个不等关系式子：12；2；2；2；2.(1)上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式；(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明解(1)23(答案不唯一)(2).证明：要证原不等式，只需证，因为不等式两边都大于0，只需证2a322a32，只需证，只需证
8、a23a2a23a，只需证20，显然成立，所以原不等式成立对应学生用书P299组基础关1设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1，得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0，故ab1ab.2(2019长春模拟)设不等式|x1|x1|1.解(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2得1x1，即Ax|1x1，只需证|1abc|abc|，只需证1a2b2c2a2b2c2，只需证1a2b2c2(1a2b2)，只需证(1a2b2)(1c2)0，由a，b，cA，得1ab1，c20恒
9、成立综上，1.3设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd；由(1)得，即必要性成立；若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|0，b0，c0，函数f(x)|ax|xb|c.(1)当abc2时，求不等式f(x)8的解集；(2)若函数f(x)的最小值为1，求证：a2b2c2.解(1)当abc2时，f(x)|x2|x2|2当x2时，f(x)8即为22x3，所以3
10、x2.当2x2时，f(x)8即为68，不等式恒成立，所以2x2.当x2时，f(x)8即为2x28，解得x3，所以2x3.综上所述，不等式f(x)8的解集为x|3x0，b0，c0，所以f(x)|ax|xb|c|axxb|c|ab|cabc.因为f(x)的最小值为1，所以abc1.所以(abc)2a2b2c22ab2ac2bc1.因为2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以1a2b2c22ab2ac2bc3(a2b2c2)，所以a2b2c2.组能力关1已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论求函数y(0x0，b0，所以0，当且仅当ab时等号成立所以ab.(2)因为0x
11、0，由(1)的结论，函数y(1x)x1.当且仅当1xx即x时等号成立所以函数y(0x6；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且，求证：a2b3c9.解(1)f(x)|x1|x5|6，则有或或解得x6.综上所述，不等式f(x)6的解集为(，0)(6，)(2)证明：由f(x)|x1|x5|x1(x5)|4(x3时取等号)f(x)min4.即m4，从而1，a2b3c(a2b3c)39.3已知a0，b0，且a2b22.(1)若|2x1|x1|恒成立，求x的取值范围；(2)证明：(a5b5)4.解(1)设y|2x1|x1|由a2b22，得(a2b2)1，故(a2b2)14142
12、，当且仅当a2，b2时取等号，所以|2x1|x1|.当x1时，x，得1x；当x1时，3x2，解得x，故x1；当x时，x，解得x，故x，综上可知，x.(2)证明：(a5b5)a4b4(a2b2)22a2b2(a2b2)222a2b2(a2b2)24，当且仅当ab1时取等号4(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.
