1、同角三角函数的基本关系学习目标：1【知识目标】（1）掌握同角三角函数的基本关系式.（2）能准确应用同角三角函数基本关系进行求值、化简、证明.3.【突破方法】（1）循序渐进，层层深入.（2）练习认识再练习.2.重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用.难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养上.一：温故知新M问题2.图1中的三角函数线是：正弦线；余弦线；正切线.yxxy)0(x)0,1(ATcos；tansin；问题3.问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题1.如图1，设是一个任意角，它的终边 与单
2、位圆交于，那么由三角函数的定义可知：),(yxPOxyP图1MPOMAT（x,y）MPOMOPOP1P 角 的正弦线，余弦线，半径三者构成直角三角形，且，由勾股定理得，用 点坐标可以表示为，即可以写成二、探究新知：问题当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？1、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2当角的终边在轴上时,x110cossin22101cossin22y当角的终边在轴上时,问题当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）222OPOMMP122 xy1cossin2212cos2sin(），都有结论：对于任意角R平方关系 sin,cos2.观察任意角的三角函数
3、的定义,siny,cosx)0(,tanxxytancossin商的关系sincostan,有什么样的关系呢？思考：cossintan,1cossin22 这两个公式的前提是“同角”，因此注：商的关系不是对任意角都成立，是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立),2(Zkk2222sinsinsinsinsin写成的平方，不能将的简写，读作是三、例题互动类型一：应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题解：53)54(1sin1cos22得由1cossin22所以是第二象限角因为,0cos,53cossin454tan()cos533 07全国1 41sin,5 例、已知且 是第二象限角
4、，求角 的余弦值和正切值.的值，求、已知变式tan,cos54sin1解：当是第一象限角时，0cos3cos5 343554cossintan当是第二象限角时，0cos3cos5 34)35(54cossintan自我反思：24sin53cos1 sin5sin4tancos3 解：由得得所得结果的符号由角所在象限决定得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角角的值，求、已知变式cos,sin3tan2为第二或第四象限角 0tan3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为
5、第二象限角时当1cossin22tancossin方程(组)思想解：cossintan讨论交流：各自的特点公式tancossin,1cossin22移项变形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解.注：在开方时，由角所在的象限来确定开方后的符号.即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1sin221 sin,1 sincos 当 在一、四象限时，当 在二、三象限时sintancos 公式的特点变形：tansincos由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切注：所得三角函数值的符号是由另外两个
6、三角函数值的符号确定的.0052sincos,180270,tan5 例、已知求的值.1cossin55cossin22恒等式，得到方程组解：依题意和基本三角55cos552cos02cos5cos5,sin2或由方程解得得消去55cos,0cos27018000所以，因为.2cossintan,552sin,于是代入原方程组得sincos3 tan1例、化简类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式解题思想：统一消元的思想,常用化简方法“切化弦”.1cossincossin解：原式coscossincossincos tancos)1(跟踪练习：化简下列各式：22cos)tan1)(2
7、(sin)1(答案：1)2(答案：20 1-sin 80例4 化简000280cos80cos80cos解：原式解题思路：公式变形例6xxxxcossin1sin1cos求证证法一：证法二：0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(22xxxxxx且因为所以xxxxcossin1sin1cos发散思维提问：本题还有其他证明方法吗？交流总结证明一个三角恒等式的方法注意选择最优解法类型三应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式cosx1 sin x1-sin xcosx因为xxxxcos)sin1(coscos22xxxxcos)sin1()sin1(cos220所以，原式成立可知
8、，由0sin10cosxx左边右边xxcossin1所以原式成立证法三：)sin1)(sin1()sin1(cosxxxxxxx2sin1)sin1(cosxxx2cos)sin1(cos三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系：利用作差法证明等式两边之差为零.注：要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）.（3）证明左、右两边等于同一式子.四、归纳总结：（2）三种基本题型:三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限 进行分类讨论.化简题：一定要在有意义的前提下进行.证明问题.（1）同角三角函数的基本关系式R,1cossin22),2(,tancossinZkk本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法五、练习11sin xcosx,tan x3sincos2tan2sincos 、已知，求的值.、已知，求的值.223(cos1)sin22cos.、求证
