1、2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列函数中x=0是极值点的函数是（）Af（x）=|x|Bf（x）=x3Cf（x）=sinxxDf（x）=2函数f（x）=3x4x3（x1，0）的最小值是（）AB1C0D13已知曲线y=2lnx+1的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）A1B2C1或2D4函数f（x）=x4x2有（）A极小值，极大值0B极小值0，极大值C极小值，极大值0D极小值0，极大值5曲y=cosx （0x）与坐标轴所围图形的面积是（）A2BC3D6已知直线
2、y=kx是曲线y=ex的切线，则k的值为（）ABC1De7函数f（x）=ax3x+1在x（，+）内是减函数，则（）Aa0Ba0Ca0Da18已知函数f（x）=cosx+ex+x2016，令f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1=fn（x），则f2017（x）=（）Asinx+exBcosxexCsinxexDcosx+ex9若a=xdx，b=dx，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系为（）AacbBbcaCcabDcba10在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n条抛物线至多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）
3、f（n）=（）A2n+3B2n+1C3n+2D4n+111设h（x）=，g（x）=lnx，ba0，M=g（b）g（a），N=（ba）（h（a）+h（b），则以下关系一定正确的是（）AM2NBM2NCMNDMN12已知定义在（0，+）上的函数y=f（x）满足f（x）=f（x）1x，且f（1）=0则函数y=f（x）的最小值为（）AB1CeD0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x2（取细棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为a，则细棒的质量为14若函数f（x）=xacosx在R上递增，则实数a的取值范围为15已知函数f（x）=x2+（
4、2a3a2）lnx（a2+2a1）x，x=1为其极值点，则实数a=16已知：（1）若a1，a2，a3R，则a12+a22+a32a1a2+a2a3+a1a3），（2）若a1，a2，a3，a4R，则a12+a22+a32+a42（a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4），即：三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和；四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为：若a1，a2，anR，则a12+a22+an2M（a1a2+a1a3+a1an+a2a3+a2a4+an1an）（nN，n3），则M=三、解答题：解答应写
5、出文字说明，证明过程或演算步骤.17极坐标系中，已知曲线C1：=2cos，曲线C2：=2cos（）（1）求C1与C2交点的直角坐标（2）若曲线C3：=（R，0）分别与C1，C2相交于A，B，求|AB|18在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值19已知函数f（x）=ln（x+1）+ln（1x）+a（x+1）（a0）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（1，0上的最大值为1，求实数a的值20用数学归纳法证明（122232）+（342452）+（2
6、n1）（2n）22n（2n+1）2=n（n+1）（4n+3）21已知函数g（x）=x3+3ax2（1）当a为何值时，x轴为曲线y=g（x）的切线；（2）求a的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；（3）设f（x）=g（x）axexx2，若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围22在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好比如，当|x|很小时，可以用y=x+1近似替代y=ex（1）求证：x0时，用x+1替代ex的误差小于x2，即：x0时，|exx1|x2
7、；（2）若x0时，用x替代sinx的误差小于ax3，求正数a的最小值2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列函数中x=0是极值点的函数是（）Af（x）=|x|Bf（x）=x3Cf（x）=sinxxDf（x）=【考点】利用导数研究函数的极值【分析】利用极值的定义，分析四个选项，即可得出结论【解答】解：Af（x）=|x|在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，x=0是极值点，正确B函数f（x）=x3在R上单调递减，无极值，不正确；Cf（x）=co
8、sx10，函数y=sinxx在R上单调递减，无极值；Df（x）=在x=0时无意义，因此无极值故选：A2函数f（x）=3x4x3（x1，0）的最小值是（）AB1C0D1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由f（x）=3x4x3，知f（x）=312x2，令f（x）=312x2=0，得x=由此能求出函数f（x）=3x4x3，x1，0的最小值【解答】解：f（x）=3x4x3，f（x）=312x2，令f（x）=312x2=0，得x=x=1，0，x=（舍）f（0）=0，f（）=4（）3=1，f（1）=3+4=1函数f（x）=3x4x3，x1，0的最小值是1故选：B3已知曲线y=2lnx+1的一条切
9、线的斜率为1，则切点的横坐标为（）A1B2C1或2D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出切点坐标，求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，注意函数的定义域【解答】解：设切点坐标为（m，n），（m0），y=2lnx+1的导数为y=x，可得切线的斜率为m=1，解方程可得m=2，（1舍去）则切点的横坐标为2故选：B4函数f（x）=x4x2有（）A极小值，极大值0B极小值0，极大值C极小值，极大值0D极小值0，极大值【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求导，令f（x）=0，解方程，分析导函数的变化，从而可知函数的极值【解答】解：由已知得f（x）=4x32x=4x
10、（x+）（x）x变化时，f（x）的变化情况如下：当x0，x时，f（x）0函数f（x）是增函数，当x，0x时，f（x）0函数f（x）是减函数，所以当x=0时，函数f（x）取得极大值为 0；当x=时，函数f（x）取得极小值为故选：A5曲y=cosx （0x）与坐标轴所围图形的面积是（）A2BC3D【考点】余弦函数的图象【分析】由余弦函数的图象特征，利用定积分的意义，可得曲线与坐标轴所围图形的面积是cosxdx+（cosx）dx，计算求得结果【解答】解：曲线y=cosx （0x）与坐标轴所围图形的面积是cosxdx+（cosx）dx=sinxsinx=（ sinsin0）（sinsin）=1（11）
11、=3，故选：C6已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则k的值为（）ABC1De【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出曲线y=ex的导数，设出切点坐标，将切点坐标分别代入直线y=kx和曲线y=ex，以及导数，联立方程，解出k【解答】解：曲线y=ex的导数为y=ex，设切点为（x0，y0），=k，y0=kx0，kx0=k（x00，k0），x0=1，k=e故选：D7函数f（x）=ax3x+1在x（，+）内是减函数，则（）Aa0Ba0Ca0Da1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求导数，得f（x）=3ax21由题意f（x）0在（，+）内恒成立，即不等式3ax21在（，+）内恒成立，
12、因此对a的正负加以讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围【解答】解：求导数，得f（x）=3ax21，f（x）=ax3x+1在（，+）内是减函数，f（x）0在，+）内恒成立，即3ax210在（，+）内恒成立，变形得3ax21，当a0时，3ax2没有最大值，3ax21不能恒成立，当a0时，3ax20，可得3ax21恒成立，因此实数a的取值范围是（，0，故选：B8已知函数f（x）=cosx+ex+x2016，令f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1=fn（x），则f2017（x）=（）Asinx+exBcosxexCsinxexDcosx+ex【考点】导数的
13、运算【分析】利用基本初等函数：三角函数，指数函数，幂函数的导数运算法则求出各阶导数，找规律【解答】解：f1（x）=f（x）=sinxex+2016x2015f2（x）=f1（x）=cosx+ex+20162015x2014f3（x）=f2（x）=sinxex+201620152014x2013f4（x）=f3（x）=cosx+ex+2016201520142013x2012f2016（x）=f2015（x）=cosx+ex+20162015201420131f2017（x）=sinxex，故选C9若a=xdx，b=dx，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系为（）AacbBbcaCcabDc
14、ba【考点】定积分【分析】分别根据定积分的计算法则计算再比较即可【解答】解：a=xdx=|=，b=dx=|=，c=sinxdx=cosx|=（cos1cos0）=1cos11cos=，abc，故选：D10在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n条抛物线至多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）f（n）=（）A2n+3B2n+1C3n+2D4n+1【考点】归纳推理【分析】根据增加的这条抛物线，与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线，所以每两条抛物线至多有4个交点，与直线至多一个交点不同），这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段，这4
15、n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二，即比原来增加了4n+1个区域，即可得出结论【解答】解：一条抛物线将平面至多分为2部分，两条抛物线将平面至多分为7部分，设第n条抛物线将平面至多分为f（n）部分，则第n+1条抛物线的情况如下：增加的这条抛物线，与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线，所以每两条抛物线至多有4个交点，与直线至多一个交点不同），这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段，这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二，即比原来增加了4n+1个区域，所以f（n+1）f（n）=4n+1故选：D11设h（x）=，g（x）=lnx，ba0，M=g（b）g（a），N=（
16、ba）（h（a）+h（b），则以下关系一定正确的是（）AM2NBM2NCMNDMN【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】分别求出M，N，作差得到MN=lnblna（），令t=，（t1），令g（t）=lnt（t），（t1），根据函数的单调性求出g（x）0即可判断M、N的大小【解答】解：h（x）=，g（x）=lnx，ba0，M=g（b）g（a）=lnblna，N=（ba）（h（a）+h（b）=（ba）（+）=（），MN=lnblna（），令t=，（t1），令g（t）=lnt（t），（t1），则g（t）=（1+），g（t）=0，g（t）在（1，+）递减，g（t）g（1）=0，g（t）在（1，+）递
17、减，g（t）g（1）0，MN0，即MN，故选：D12已知定义在（0，+）上的函数y=f（x）满足f（x）=f（x）1x，且f（1）=0则函数y=f（x）的最小值为（）AB1CeD0【考点】函数的最值及其几何意义【分析】利用条件求出f（x）=xlnx，根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值【解答】解：f（x）=f（x）1x，且f（1）=0，f（1）=1又f（x）=f（x）x+f（x）1，f（x）=，f（x）=lnx+C，联立可求得C=1，f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1（x0），令f（x）=0，得x=当x（0， ） 时，f（x）0；当x（，
18、+） 时，f（x）0，当x= 时，f（x）min=故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x2（取细棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为a，则细棒的质量为【考点】定积分【分析】利用定积分的物理意义将所求利用定积分表示，然后计算【解答】解：由题意细棒的质量为：；故答案为：14若函数f（x）=xacosx在R上递增，则实数a的取值范围为1，1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，则1+asinx0在R恒成立，根据三角函数的性质求出a的范围即可【解答】解：f（x）=xacosx，f（x）=1+asinx，若函数f
19、（x）=xacosx在R上递增，则1+asinx0在R恒成立，则实数a的范围是1，1，故答案为：1，115已知函数f（x）=x2+（2a3a2）lnx（a2+2a1）x，x=1为其极值点，则实数a=1【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由于函数f（x）=x2+（2a3a2）lnx（a2+2a1）x，x=1为其极值点，可得f（1）=0，解出并验证即可【解答】解：f（x）=x+（2a3a2）（a2+2a1）（x0）x=1为其极值点，f（1）=1+（2a3a2）（a2+2a1）=0，（a+1）（a1）2=0，解得a=1a=1，f（x）=x+2=，x=1不是其极值点；a=1，f（x）=x+2=，x=
20、1为其极值点，故答案为：a=116已知：（1）若a1，a2，a3R，则a12+a22+a32a1a2+a2a3+a1a3），（2）若a1，a2，a3，a4R，则a12+a22+a32+a42（a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4），即：三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和；四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为：若a1，a2，anR，则a12+a22+an2M（a1a2+a1a3+a1an+a2a3+a2a4+an1an）（nN，n3），则M=【考点】类比推理【分析】根据题目条件，由取等的条件的取得
21、，进行判断，求解，即可解得答案【解答】解：由已知：（1）若a1，a2，a3R，则a12+a22+a32a1a2+a2a3+a1a3，（2）若a1，a2，a3，a4R，则a12+a22+a32+a42（a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4），可知取等的条件是各个值都相等时取得，不妨设ai=1，（i=1，2，3），即可得知，M=，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17极坐标系中，已知曲线C1：=2cos，曲线C2：=2cos（）（1）求C1与C2交点的直角坐标（2）若曲线C3：=（R，0）分别与C1，C2相交于A，B，求|AB|【考点】简单曲线的极
22、坐标方程【分析】（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，分别代入曲线C1：=2cos，曲线C2：=2cos（）化简即可得到所求直角坐标方程，联立解方程可得两交点；（2）联立曲线C3与曲线C1，曲线C2，求得A，B的极坐标，即可得到所求弦长|AB|【解答】解：（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，可得曲线C1：=2cos，即为x2+y22x=0；曲线C2：=2cos（），即=2（cos+sin），即2=cos+sin，即为x2+y2xy=0，联立解得交点为（0，0），（，）；（2）由，得A（1，），由，得B（1，），则|AB|=|1（1）|=218在平面直角坐标系xOy中，直线
23、l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）由曲线C的参数方程为（为参数），利用倍角公式可得y=cos2=2cos21=1，化简整理可得曲线C的普通方程，注意x的取值范围（2）直线l的普通方程为xy+3=0，利用点到直线的距离公式可得：曲线C上的点到l的距离d=，即可得出【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），y=cos2=2cos21=1，化为y=1，cos1，1，可得x1，1曲线C的普通方程为：y=1，x1，1（2）直线l的普通方程为xy+3=0，曲
24、线C上的点到l的距离d=3，当cos=1时，d取得最大值319已知函数f（x）=ln（x+1）+ln（1x）+a（x+1）（a0）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（1，0上的最大值为1，求实数a的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据x和a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可【解答】解：（1）函数定义域为（1，1），a=1时，f（x）=+1=，由f（x）0，得x（1，1），由f（x）0，得x1，1），f（x）的单增区
25、间为（1，1，单减区间为1，1）；（2）当x（1，0时，a0，f（x）0，函数f（x）在x（1，0上单增，f（x）的最大值是f（0）=a=1，a=120用数学归纳法证明（122232）+（342452）+（2n1）（2n）22n（2n+1）2=n（n+1）（4n+3）【考点】数学归纳法【分析】用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误【解答】证明：当n=1时，左边=14，右边=127=14，等式成立假设当n=k时等式成立，即有（122232）+（34245
26、2）+（2k1）（2k）22k（2k+1）2=k（k+1）（4k+3）那么当n=k+1时，（122232）+（342452）+（2k1）（2k）22k（2k+1）2+（2k+1）（2k+2）2（2k+2）（2k+3）2=k（k+1）（4k+3）2（k+1）4k2+12k+94k26k2=（k+1）4k2+3k+2（6k+7）=（k+1）4k2+15k+14=（k+1）（k+2）（4k+7）=（k+1）（k+1）+14（k+1）+3这就是说，当n=k+1时等式也成立根据以上论证可知等式对任何nN都成立21已知函数g（x）=x3+3ax2（1）当a为何值时，x轴为曲线y=g（x）的切线；（2）求a
27、的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；（3）设f（x）=g（x）axexx2，若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）设切点为（m，0），则，即可求出a；（2）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可得出a的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；（3）h（x）=x+2，在（，+）上单调递增，其值域为R则存在唯一x0R，使得h（x0）=a，分类讨论，利用函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（1）设切点为（m，0），则，解得a=1时，x轴为曲线y=g（x）的切线 （2
28、）g（x）=3x2+3a当a0时，g（x）0成立，函数y=g（x）无极值a0，由g（x）0，y=g（x）在（，和，+）上单增由g（x）0，y=g（x）在，上单减g（x）极大=g（），g（x）极小=g（），g（x）极大+g（x）极小=g（）+g（）=4，a0时，函数y=g（x）有极值，g（x）极大+g（x）极小=4 （3）f（x）=（x2ax+a）exx2，f（x）=x（x+2a）ex2，xR，令f（x）=0，则x=0或x+2a=0，即x=0或h（x）=a，h（x）=x+2，在（，+）上单调递增，其值域为R存在唯一x0R，使得h（x0）=a，若x00，当x（，0）时，h（x）a，f（x）0；当x
29、（0，x0）时，h（x）a，f（x）0；f（x）在x=0处取得极大值，这与题设矛盾；若x0=0，当x（，0）时，h（x）a，f（x）0；当x（0，+）时，h（x）a，f（x）0；f（x）在x=0处不取极值，这与题设矛盾；若x00，当x（x0，0）时，h（x）a，f（x）0；当x（0，+）时，h（x）a，f（x）0；f（x）在x=0处取得极小值；综上所述，x00，a=h（x0）h（0）=0a的取值范围是（，0） 22在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好比如，当|x|很
30、小时，可以用y=x+1近似替代y=ex（1）求证：x0时，用x+1替代ex的误差小于x2，即：x0时，|exx1|x2；（2）若x0时，用x替代sinx的误差小于ax3，求正数a的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】（1）求出函数的导数，得到exx10，设h（x）=exx1x2，根据函数的单调性判断出结论即可；（2）设（x）=xsinx，求出函数的导数，问题只需xsinxax30恒成立，设g（x）=xsinxax3，通过讨论a的范围结合函数的单调性判断即可【解答】解：（1）设f（x）=exx1，f（x）=ex1，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，f（x）
31、在（，0）递减，x0时，f（x）f（0）=0，即exx10，设h（x）=exx1x2，x0时，h（x）=ex1x0，h（x）在（，0递增，x0时，h（x）h（0）=0，即exx1x20，x0时，|exx1|x2；（2）即求使x0时，|xsinx|ax3恒成立的最小正数a，设（x）=xsinx，（x）=1cosx0，（x）在0，+）递增，x0时，（x）（）=0，xsinx0，只需xsinxax30恒成立，设g（x）=xsinxax3，当a时，g（x）=1cosx3ax2，g（x）=sinx6ax，x0时，sinxx，g（x）x6ax0，g（x）在0，+）递减，x0时，g（x）g（0）=0，g（x）在0，+）递减，x0时，g（x）g（0）=0，即xsinxax3，a时，|xsinx|ax3恒成立，当0a时，g（x）=cosx6a，x0（0，），使得cosx06a=0，且x0，x0时，g（x）0，g（x）在0，x0上单增，x0，x0时，g（x）g（0）=0，g（x）在0，x0上单增，x0，x0时，g（x）g（0）=0，g（x）在0，x0上单增，x（0，x0时，g（x）g（0）=0，即xsinxax30，这与题意不符，综上，所求正数a的最小值为2016年9月4日
