1、高考导航 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形.该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图像变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一 三角函数的图像和性质(规范解答)注意对基本三角函数ysin x，ycos x的图像与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图像的平移、由图像求解析式、周期、单调区间、最
2、值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例 1】(满分 13 分)(2015北京卷)已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，23 上的最小值.满分解答(1)解 因为 f(x)sin x 3cos x 3.2 分2sinx3 3.4 分所以 f(x)的最小正周期为 2.6 分(2)解 因为 0 x23，所以3x3.8 分当 x3，即 x23 时，f(x)取得最小值.11 分所以 f(x)在区间0，23 上的最小值为 f23 3.13 分将f(x)化为asin xbco
3、s xc形式得2分.将f(x)化为Asin(x)h形式得2分.求出最小正周期得2分.写出x的取值范围得2分.利用单调性分析最值得3分.求出最值得2分.求函数 yAsin(x)B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成 yAsin(x)h 或yAcos(x)h 的形式；第二步：由 T2|求最小正周期；第三步：确定 f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【训练 1】设函数 f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求 的值；(2)求 f(x)在区间，32 上的最大
4、值和最小值.解(1)f(x)32 3sin2xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x 32 cos 2x12sin 2xsin2x3.因为 yf(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期 T44.又 0，所以22，因此 1.(2)由(1)知 f(x)sin2x3.设 t2x3，则函数 f(x)可转化为ysin t.当 x32 时，53 t2x3 83，如图所示，作出函数 ysin t 在53，83上的图像，由图像可知，当 t53，83 时，sin t 32，1，故1sin t 32，因此1f(x)sin2x3 32.故 f(x)在区间，32 上的
5、最大值和最小值分别为 32，1.热点二 解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例 2】(2016四川卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cos Aacos Bbsin Cc.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若 b2c2a265bc，求 tan
6、 B.(1)证明 在ABC 中，根据正弦定理，可设 asin A bsin Bcsin Ck(k0).则 aksin A，bksin B，cksin C.代入cos Aacos Bbsin Cc中，有cos Aksin Acos Bksin B sin Cksin C，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C，所以 sin Asin Bsin C.(2)解 由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有cos Ab2c2a22bc35.所以 sin A 1cos2A45.由(1)知，s
7、in Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以45sin B45cos B35sin B，故 tan Bsin Bcos B4.探究提高(1)在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【训练2】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB1，BC3，CDDA2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设 BDx，在ABD 中，由余弦定理，得 cos A14x2221，在BCD 中，由余弦定理，得 cos C94x22
8、23，AC，cos Acos C0.联立上式，解得 x 7，cos C12.由于 C(0，).C3，BD 7.(2)AC，C3，sin Asin C 32.又四边形 ABCD 的面积 SABCDSABDSBCD12ABADsin A12CBCDsin C 32(13)2 3，四边形 ABCD 的面积为 2 3.热点三 三角函数与平面向量结合 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例 3】(2017贵州适应
9、性考试)已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 3，求 ac 的范围.解(1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn，(2ac)cos Bbcos C0，cos B(2sin Asin C)sin Bcos C0，2cos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C0.即 2cos Bsin Asin(BC)sin A.A(0，)，sin A0，cos B12.0B，B23.(2)由余弦定理得b2a2c22accos23a2c2ac(ac)2a
10、c(ac)2ac2234(ac)2，当且仅当 ac 时取等号.(ac)24，故 ac2.又 acb 3，ac(3，2.即 ac 的取值范围是(3，2.探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【训练 3】已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)ab，且 yf(x)的图像过点12，3 和点23，2.(1)求 m，n 的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若 yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间.解(1)由题意知 f(x)
11、abmsin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图像过点12，3 和23，2，所以 3msin6 ncos6，2msin43 ncos43，即 312m 32 n，2 32 m12n，解得m 3，n1.(2)由(1)知 f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6.由题意知 g(x)f(x)2sin2x26.设 yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知 x2011，所以 x00，即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2).将其代入 yg(x)得 sin26 1，因为 0，所以 6，因此 g(x)2sin2x2 2cos 2x.由 2k2x2k，kZ 得 k2 xk，kZ.所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k，kZ.
