1、全章素养整合构网络提素养链高考类型一 导数几何意义的应用题型特点 导数的几何意义是近几年高考的重点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现，在解答题中往往涉及函数的单调性、最值等问题，所以要把握好此部分知识 方法归纳 解答此类问题的关键是明确导数的几何意义，正确判断所给出的点是否为切点，若不是切点，则需要先设出切点的坐标后通过斜率相等建立方程(组)求解 例 1 已知函数 f(x)x3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标解析(1)f(2)232166，点(2，6)
2、在曲线 yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)322113，切线的方程为 y13(x2)(6)，即 y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x201，直线 l 的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016.又直线 l 过点(0,0)，0(3x201)(x0)x30 x016，整理，得 x308，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)跟踪训练 1.已知函数 f(x)x2ln x.(1)求函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程
3、；(2)在函数 f(x)x2ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间12，1 上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1)由题意可得 f(1)1，且 f(x)2x1x，f(1)211，则所求切线方程为 y11(x1)，即 yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x212，1，不妨设 x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1 1x1)(2x2 1x2)1，又函数 f(x)2x1x在区间12，1上单调递增，函数的值域为1,1，故12x1 1x10 时为增函数；f(x)
4、0 时为减函数2已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解例 2 已知函数 f(x)x2ex113x3x2.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 g(x)23x3x2，试比较 f(x)与 g(x)的大小解析(1)f(x)x(x2)(ex11)，令 f(x)0，得 x12，x20，x31.当2x1 时，f(x)0；当 x2 或 0 x1 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(2,0)，(1，)上
5、是单调递增的，在(，2)，(0,1)上是单调递减的(2)f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)因为对任意实数 x 总有 x20，所以设 h(x)ex1x，xR.h(x)ex11，令 h(x)0，得 x1.当 x1 时，h(x)0，即函数 h(x)在(，1)上单调递减，因此当 xh(1)0；当 x1 时，h(x)0，即函数 h(x)在(1，)上单调递增，因此当 x1 时，h(x)h(1)0；当 x1 时，h(1)0.综上可知，对任意实数 x 都有 h(x)0，即 f(x)g(x)0，故对任意实数 x，恒有 f(x)g(x)跟踪训练 2.已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，
6、且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解析：(1)对 f(x)求导得 f(x)14 ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知，f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调递增区间为(5，)，单调递减区间为(0,5)类型三 利用导数研究函数的极
7、值和最值题型特点 利用导数研究函数的极值和最值问题是高考的热点，既有选择题、填空题，也有解答题选择题和填空题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数的单调性或方程、不等式的综合应用方法归纳 解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值例 3 已知函数 f(x)x33ax22bx 在 x1 处有极小值1.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求函数 f(x)在闭区间2,2上的最大值
8、和最小值解析(1)f(x)3x26ax2b，f(x)在点 x1 处有极小值1，f10，f11，即36a2b0，13a2b1，解得a13，b12.f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.令 f(x)0，即 3x22x10，解得 x13或 1.当 x1 或 x0；当13x1 时，f(x)0.函数 f(x)的单调递增区间是，13，(1，)，单调递减区间是13，1.(2)由(1)可知，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x22，131313，11(1,2)2f(x)00f(x)10 527 1 2由表中数据知，函数 f(x)在 x2 处取得最大值 2，在 x2 处取得最小值10，
9、函数 f(x)在闭区间2,2上的最大值为 2，最小值为10.跟踪训练 3.已知 a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点(1)求 a 和 b 的值；(2)求 f(x)在0，t上的最小值解析：(1)由 f(x)x3ax2bx 得，f(x)3x22axb.又因为 1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点，所以 3x22axb0 的两个根为 1 和1.由根与系数的关系，得1(1)2a3 a0，1(1)b3b3，故 a0，b3.(2)由(1)知 f(x)x33x，所以 f(x)3x233(x1)(x1)，由 f(x)0 得，x1 或 1.当 t1 时，在0，
10、t上，f(x)1 时，在0,1上，f(x)0，故 f(x)minf(1)2.综合得，当 t1 时，f(x)的最小值为 t33t；当 t1 时，f(x)的最小值为2.类型四 导数在实际问题中的应用题型特点 以实际生活为出题背景，通过求利润最大、用料最省、体积(容积或面积)最大等问题考查分析、解决问题及建模的能力，题型有小题也有大题，属中等难度 方法归纳 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值
11、点 例 4 统计显示，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)与行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y1128 000 x3 380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米(1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了 10040 2.5(小时)，要耗油1128 000403 380408 2.517.5(升)即当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升(2)当速度为 x 千米/时时
12、，汽车从甲地到乙地行驶了100 x 小时，设耗油量为 h(x)升，依题意，得 h(x)1128 000 x3 380 x8 100 x11 280 x2800 x 154(0 x120)，则 h(x)x640800 x2 x3803640 x2(0 x120)令 h(x)0，得 x80，当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数当 x80 时，h(x)取到极小值 h(80)11.25，也是最小值即当汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升跟踪训练 4.如图，四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过
13、的路线是以 AB 中点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)某公司准备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN，试求游乐园的最大面积解析：如图，以 M 点为原点，AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 D(4,2)设抛物线方程为 y22px.点 D 在抛物线上，228p.解得 p12.抛物线方程为 y2x(0 x4,0y2)设 P(y2，y)(0y2)是曲线 MD 上任一点，则|PQ|2y，|PN|4y2.矩形游乐园面积为 S|PQ|PN|(2y)(4y2)8y32y24y.求导得，S3y24y4，令 S0，得 3y24y40，解得 y23或 y2(舍)当 y0，23 时，S0，函数
14、为增函数；当 y23，2 时，S0，当 x(2，2)时，f(x)0，因此 x1 2，x2 2分别为 f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知 yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线 ya 与 yf(x)的图象有 3 个不同交点需 54 2f(2)af(2)54 2.则方程 f(x)a 有 3 个不同实根时，所求实数 a 的取值范围为(54 2，54 2)跟踪训练 5.已知函数 f(x)axaex(a0)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范围解析：(1)当 a1 时，f(x)x1ex，f(x)x2ex.由
15、 f(x)0，得 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值 所以，函数 f(x)的极小值为 f(2)1e2，函数 f(x)无极大值(2)F(x)f(x)aexaxaexe2xax2ex.当 a0，解得 ae2，所以此时e2a0.故实数 a 的取值范围为(e2,0)类型六 利用导数解决不等式问题题型特点 利用导数解决不等式问题是近几年高考的热点，主要有以下两个考查角度：一是证明不等式；二是由不等式恒成立问题求参数的取值范围通常以解答题形式作为最后一题的(2)(3)问考查，难度较大，属高档题方法归纳 对于不等式的证明问题，可以从所证不等
16、式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题例 6 设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln x x.解析(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令 f(x)0 解得
17、x1.当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0，所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln1x1x1，即 1x1ln x 1，f(0)4，则不等式 f(x)3ex1(e 为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(0，)D(3，)解析：由 f(x)3ex1，得 exf(x)3ex.构造函数 F(x)exf(x)ex3，得 F(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由 f(x)f(x)1，ex0，可知 F(x)0，即
18、F(x)在 R 上单调递增又因为 F(0)e0f(0)e03f(0)40，所以 F(x)0 的解集为(0，)答案：A7已知函数 f(x)ax2bxln x(a0，bR)(1)当 a1，b1 时，求 f(x)的单调区间；(2)若对任意的 x0，f(x)f(1)，试比较 ln a 与2b 的大小解析：(1)由 f(x)ax2bxln x，x(0，)，得 f(x)2ax2bx1x.a1，b1，f(x)2x2x1x2x1x1x(x0)令 f(x)0，得 x1(负值舍去)当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0,1)，f(x)的单调递增区间是(1，)(2
19、)由题意可知，f(x)在 x1 处取得最小值，即 x1 是 f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即 b12a.令 g(x)24xln x(x0)，则 g(x)14xx.令 g(x)0，得 x14.当 0 x0，g(x)单调递增；当 x14时，g(x)0，g(x)单调递减g(x)g14 1ln 141ln 40，g(a)0，即 24aln a2bln a0，故 ln a1 时，f(x)23x3.解析：(1)f(x)xax，因为 x2 是一个极值点，所以 2a20，则 a4.此时 f(x)x4xx2x2x，因为 f(x)的定义域是(0，)，所以当 x(0,2)时，f(x)0，所以当 a4 时，
20、x2 是一个极小值点，则 a4.(2)因为 f(x)xaxx2ax，所以当 a0 时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)当 a0 时，f(x)xaxx2axx ax ax，所以函数 f(x)的单调递增区间(a，)；递减区间为(0，a)(3)证明：当 a1 时，f(x)12x2ln x.设 g(x)23 x3 12 x2 ln x，则 g(x)2x2 x 1x.因 为 当 x1 时，g(x)x12x2x1x0，所以 g(x)在 x(1，)上为增函数，所以 g(x)g(1)160，所以当 x1 时，12x2ln x23x3，即 f(x)23x3.1(2018高考全国卷)设函数 f(x)x
21、3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2xDyx解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即(x)3(a1)(x)2axx3(a1)x2ax，解得 a1，f(x)x3x，f(x)3x21，f(0)1，f(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx.答案：D2(2017高考江苏卷)已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)3x22exex3x222 exex0，f(x)在定义域内为单调递增函数又 f(x)x32x1exexf(x)，f(
22、x)为奇函数f(a1)f(2a2)0，f(a1)f(2a2)，即 f(a1)f(2a2)又f(x)为单调递增函数，a12a2，即 2a2a10，a1，12.答案：1，123(2018高考北京卷)设函数 f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 0，求 a.(2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围解析：(1)由题意得 f(x)(2ax3a1)exax2(3a1)x3a2exax2(a1)x1ex，f(2)4a2(a1)1e2(2a1)e2，又f(2)0，a12.(2)由(1)得 f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex，若 a0；当 x(1，)时，f(x)1，当 x1a，1 时，f(x)0，此时 x1 是 f(x)的极小值若 0a0；当 x1，1a 时，f(x)0，x1 是 f(x)极大值点a1，f(x)(x1)2ex0 恒成立，f(x)为增函数，f(x)无极值综上，a 的取值范围是(1，)
