1、东北三省四城市联考2021届高三数学质量监测试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1已知复数z（12i）i（i为虚数单位），则|z|（）AB2CD12已知集合A0，1，2，4，Bx|x2n，nA，则AB（）A1，2B1，4C2，4D1，2，43已知数列an为等差数列，且a11，a59，则数列an的前5项和是（）A15B20C25D354历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，
2、平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点设抛物线C：y2x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A（5，2），被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）5若tan，则（）AB3CD36某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排1人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）A5040种B1260种C210种D630种7已知向量，满足|1，|2，（），则|2|（）ABC2D28已知点F1、F2分别是双曲线C：x21（b0）的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F15，
3、则双曲线C的离心率的取值范围为（）A（1，B（1，C（1，D（1，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9以下关于概率与统计的说法中，正确的为（）A某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则应从高二年级中抽取20名学生B10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为C若随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则
4、P（2）0.42D设某学校女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n）用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，若该学校某姓身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg10以下有关三角函数f（x）sinxcos2x的说法正确的为（）AxR，f（x）f（x）0BT0，使得f（x+T）f（x）Cf（x）在定义域内有偶数个零点DxR，f（x）f（x）011如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，所在棱长均为1，点E为棱B1C1上任意一点，则下列结论正确的是（）A直线AA1与直线BE所成角的范围是0，B在棱B1C1上存在一点E
5、，使AB1平面A1BEC若E为棱B1C1的中点，则平面ABE截三棱柱ABCA1B1C1所得截面面积为D若F为棱A1B1上的动点，则三棱锥FABE体积的最大值为12若实数t2，则下列不等式中一定成立的是（）A（t+3）ln（t+2）（t+2）ln（t+3）B（t+1）t+2（t+2）t+1C1+logt（t+1）Dlg（t+1）（t+2）log（t+2）（t+3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（x+1）n的展开式中，x2的系数为15，则n 14若“x，2，使得2x2x+10成立”是假命题，则实数的取值范围为 15过圆O：x2+y2r2（r0）外一点（2，0）引直线l与圆O相
6、交于A，B两点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于，则r的值为 16已知函数f（x）ex+2ex，g（x）xa，若关于x的不等式f（x）1|g（x）+1|在R上恒成立，求实数a的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S若4Sb2+c2a2，b（1）求A；（2）若_，求ABC的面积S的大小（在2cos2B+cos2B0，bcosA+acosB+1这两个条件中任选一个，补充在横线上）18已知数列an的前n项和为Sn，且满足2anSn+n（nN*）（1）求证：数列an+1
7、是等比数列；（2）记cn，求证：数列cn的前n项和Tn19如图，三棱锥PABC的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB平面ABC，点E为线段PA中点，点F为AB上的动点（1）若平面CEF平面ABC，求线段AF的长；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值20在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调在发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两
8、者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率21已知点F（，0）为椭圆C：（ab0）的右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A、B的任意一点P与A、B两点连线的斜率之积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（1，0）的两条弦PQ，MN相互垂直，若，求证：直线ST过定点22已
9、知函数f（x）xlnx+a，a0（1）证明：f（x）有且仅有一个零点；（2）当a（2e2，0）时，试判断函数g（x）x2lnx+ax是否有最小值？若有，设最小值为h（a），求h（a）的值域；若没有，请说明理由参考答案一、单项选择题（共8小题）.1已知复数z（12i）i（i为虚数单位），则|z|（）AB2CD1【解答】解法1：.；解法2：故选：A2已知集合A0，1，2，4，Bx|x2n，nA，则AB（）A1，2B1，4C2，4D1，2，4解：A0，1，2，4，B1，2，4，16，AB1，2，4故选：D3已知数列an为等差数列，且a11，a59，则数列an的前5项和是（）A15B20C25D35解
10、：数列an为等差数列，且a11，a59，数列an的前5项和是：25故选：C4历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点设抛物线C：y2x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A（5，2），被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）解：设光线被抛物线反射的反射点为B，则ABx
11、轴，把y2代入y2x，得x4，B（4，2），设抛物线y2x的焦点为F，则F（，0），直线BF的方程为y（x），即y（x），又y2x，解得x4，y2或x，y，Q （，）故选：D5若tan，则（）AB3CD3解：tan，故选：A6某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排1人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）A5040种B1260种C210种D630种解：7天分成2天，2天，3天3组，3人各选1组值班，共有630种故选：D7已知向量，满足|1，|2，（），则|2|（）ABC2D2解：由已知得：；故选：C8已知点F1、F2分别是双曲线C：x21（b0）的左，右焦点，O为坐标原点，点P在
12、双曲线C的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F15，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A（1，B（1，C（1，D（1，解：如图：由|F1F2|2|OP|，可知PF1PF2，设PF2m，则PF1m+2，在PF1F2中，tanPF2F5，4c2m2+（m+2）2，c，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9以下关于概率与统计的说法中，正确的为（）A某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该
13、校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则应从高二年级中抽取20名学生B10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为C若随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则P（2）0.42D设某学校女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n）用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，若该学校某姓身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解：对于A：已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4，则设高一，高二，高三的人数为6x，5x，4x，所以6x+5x+4x6
14、0，解得x4，高二中抽取的人数为20，故A正确；对于B：10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为P，故B正确；对于C：随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）1P（4）0.21，故P（2）0.21故C错误；对于D：回归方程为0.85x85.71，若该学校某姓身高为170cm，则，故D错误故选：AB10以下有关三角函数f（x）sinxcos2x的说法正确的为（）AxR，f（x）f（x）0BT0，使得f（x+T）f（x）Cf（x）在定义域内有偶数个零点DxR，f（x）f（x）0解：函数f（x）sinxcos2x，满足f（x）sin（x）cos（2x
15、）sinxcos2xf（x），所以函数为奇函数，故f（x）+f（x）0，故A错误；对于B：由于函数f（x）sinxcos2x，函数ysinx的最小正周期为2，函数ycos2x的最小正周期为，所以函数f（x）的最小正周期为2，故T0，使得f（x+2）f（x），故B正确；对于C：由于函数为奇函数，在原点处有定义，故函数零点的个数为奇数个，故C错误；对于D：函数f（x）sinxcos2x，故f（x）f（x）0，故D正确故选：BD11如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，所在棱长均为1，点E为棱B1C1上任意一点，则下列结论正确的是（）A直线AA1与直线BE所成角的范围是0，B在棱B1C1上存在一点E，
16、使AB1平面A1BEC若E为棱B1C1的中点，则平面ABE截三棱柱ABCA1B1C1所得截面面积为D若F为棱A1B1上的动点，则三棱锥FABE体积的最大值为解：AA1BB1，直线AA1与直线BE所成角的范围可转化为直线AA1与直线BB1所成角的范围，又点E为棱B1C1上任意一点且BB1C1是等腰直角三角形，直线AA1与直线BE所成角的范围是0，A对；作EOCC1交BC于点O，连接AO可知四边形A1AOE是平行四边形，A1EAO假设AB1平面A1BE成立，则AB1AOAOB1中B1O对的角是直角最大，B1OAB这与B1OCB1AB1矛盾，假设不成立，B错；作EGAB交A1C1于点G，连接GA，得
17、截面四边形ABEG是等腰梯形，直三棱柱ABCA1B1C1中，所在棱长均为1且若E为棱B1C1的中点，得AGBE，GE，AB1，梯形高h，梯形面积即截面积为：（1+），C对；三棱锥FABE体积可转化为求三棱锥EABF的体积，由图可知点E到棱A1B1的距离即为点E到底面ABF的距离点E为棱B1C1上任意一点，点E到棱A1B1的距离的最大值是点C1到A1B1的距离，底面ABF的面积是定值11，三棱锥FABE体积的最大值为，D错故选：AC12若实数t2，则下列不等式中一定成立的是（）A（t+3）ln（t+2）（t+2）ln（t+3）B（t+1）t+2（t+2）t+1C1+logt（t+1）Dlg（t+
18、1）（t+2）log（t+2）（t+3）解：令f（x），则，易得，当xe时，f（x）0，函数单调递减，当0xe时，f（x）0，函数单调递增，因为t2，t+3t+3e，所以，所以（t+2）ln（t+3）（t+3）ln（t+2）同理，所以（t+2）ln（t+1）（t+1）ln（t+2），所以（t+1）t+2（t+2）t+1，B正确；所以（t+2）ln（t+1）（t+1）ln（t+2），A正确；令g（x），x2，则g（x）0，故g（x）在2，+）上单调递减，g（t+1）g（t+2），所以，故logt+1（t+2）logt+2（t+3），D正确；对于C，1+logt（t+1），结合选项A的讨论，t与e
19、的大小不确定，故D错误故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（x+1）n的展开式中，x2的系数为15，则n6解：（x+1）n的展开式中，x2的系数为15，n6，故答案为：614若“x，2，使得2x2x+10成立”是假命题，则实数的取值范围为（，2解：若“x，2，使得2x2x+10成立”是假命题，即“x，2，使得2x+成立”是假命题，由x，2，当x时，函数y2x+22，取最小值2；所以实数的取值范围为（，2故答案为：（，215过圆O：x2+y2r2（r0）外一点（2，0）引直线l与圆O相交于A，B两点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于，则r的值为解：，当AOB
20、90时，AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d，设直线AB的方程为yk（x2），则d，将代入，解得r故答案为：16已知函数f（x）ex+2ex，g（x）xa，若关于x的不等式f（x）1|g（x）+1|在R上恒成立，求实数a的取值范围是ln21，3解：令h（x）f（x）1，则h（x）ex2ex，令h（x）0，解得：xln，当x（，ln）时，h（x）0，h（x）递减，当x（ln，+）时，h（x）0，h（x）递增，当直线yxa+1与yh（x）相切时，设切点为（x1，x1a+1），则h（x1）21，解得：x1ln2，又h（x1）+21x1a+1，故eln2+2eln21ln2a+1，化简得：al
21、n21，当直线yx+a1与yh（x）相切时，设切点为（x2，x2+a1），则h（x2）21，解得：x20，又h（x2）+21x2+a1，故e0+2e010+a1，解得：a3，若f（x）1|g（x）+1|在R上恒成立，则ln21a3，故a的取值范围是ln21，3，故答案为：ln21，3四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S若4Sb2+c2a2，b（1）求A；（2）若_，求ABC的面积S的大小（在2cos2B+cos2B0，bcosA+acosB+1这两个条件中任选一个，补充在横线上）解
22、：（1）4Sb2+c2a2，b，4csinA2ccosA，sinAcosA，可得tanA1，由A为锐角，可得A（2）若选：2cos2B+cos2B2cos2B+2cos2B10，可得4cos2B1，因为B为锐角，可得cosB，可得B，由正弦定理，可得，解得a2，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得64+c22c，解方程可得c1+，（负值舍去），所以SABCacsinB若选，bcosA+acosB+1，又b，A，可得+acosB+1，解得acosB1，又由正弦定理，可得asinB，由可得tanB，结合B为锐角，可得B，由正弦定理，可得，解得a2，由余弦定理b2a2+c22accosB，可
23、得64+c22c，解方程可得c1+，（负值舍去），所以SABCacsinB18已知数列an的前n项和为Sn，且满足2anSn+n（nN*）（1）求证：数列an+1是等比数列；（2）记cn，求证：数列cn的前n项和Tn【解答】证明：（1）当n1时，2a1S1+1a1+1，解得a11，当n2时，2an1Sn1+n1，又2anSn+n，两式相减可得2an2an1SnSn1+nn+1an+1，即有an2an1+1，可得an+12（an1+1），所以数列an+1是首项和公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得an+12n，an+2+12n+2，则cn（），Tn（1+）（1+）（+）19如图，三棱锥PAB
24、C的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB平面ABC，点E为线段PA中点，点F为AB上的动点（1）若平面CEF平面ABC，求线段AF的长；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值解：（1）取AB的中点O，连接OP，OC，ABC和PAB都是等边三角形，OCAB，OPAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，OP平面PAB，OP平面ABC，故以O为原点，OA，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AFt，则F（2t，0，0），C（0，2，0），E（1，0，），B（2，0，0），P（0，0，2），（2t，2，0），（1，2，），设平面
25、CEF的法向量为（x，y，z），则，即，令x，则y，z1t，（，1t），OP平面ABC，平面ABC的一个法向量为（0，0，1），平面CEF平面ABC，0，即1t0，t1，故线段AF的长为1（2）由（1）知，（1，2，），（2，0，2），（2，2，0），设平面PBC的法向量为（a，b，c），则，即，令a，则b1，c1，（，1，1），设直线CE与平面PBC所成角为，则sin|cos，|，故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为20在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点”某农户计
26、划于2021年初开始种植新型农作物已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调在发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率解：（1）由题意知：90030200025000，120030200034000，900402
27、00034000，120040200046000，X的所有可能取值为：25000，34000，46000，设A表示事件“作物亩产量为900kg”，则P（A）0.5，B表示事件“作物市场价格为30元/kg”，则P（B）0.4，则P（X25000）P（AB）0.50.40.2，P（X34000）P（）+P（A）（10.5）0.4+0.5（10.4）0.5，P（X46000）P（）（10.4）（10.5）0.3，X的分布列为： X 25000 34000 46000 P 0.2 0.5 0.3（2）设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于3000元”，则P（C）P（X30000）P（X340
28、00）+P（X46000）0.5+0.30.8，设这三年中有Y年有纯收入不少于30000元，则有YB（3，0.8），这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率为：P（Y2）P（Y2）+P（X3）0.89621已知点F（，0）为椭圆C：（ab0）的右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A、B的任意一点P与A、B两点连线的斜率之积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（1，0）的两条弦PQ，MN相互垂直，若，求证：直线ST过定点解：（1）由已知可得c，A（a，0），B（a，0），设点P的坐标为（m，n），则，解得a24，b22，所以椭圆的方程为；（2）证明：因
29、为，所以S，T分别是PQ，MN的中点，当两条弦所在直线的斜率存在且不为0时，设直线PQ的方程为yk（x1），则直线MN的方程为y（x1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程，整理可得：（1+2k2）x24k2x+2k240，所以x，则y，所以PQ的中点T的坐标为（），同理可得，MN的中点S的坐标为（），当，即k21时，所以k，所以直线ST的方程为y+，即y，所以直线ST过定点（），当k21时，直线ST的方程为x，也过点（，0），当两条弦的斜率分别为0和不存在时，直线ST的方程为y0，也过点（，0），综上，直线ST过定点（，0）22已知函数f（x）
30、xlnx+a，a0（1）证明：f（x）有且仅有一个零点；（2）当a（2e2，0）时，试判断函数g（x）x2lnx+ax是否有最小值？若有，设最小值为h（a），求h（a）的值域；若没有，请说明理由【解答】（1）证明：因为a0，所以x（0，1）时，f（x）xlnx+a0，函数f（x）无零点；又因为f（x）1+lnx，所以x1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，又f（1）a0，ea1，f（ea）aea+aa（1ea）0，即f（1）f（ea）0，故存在唯一x0（1，ea），使f（x）0，综上可知，函数f（x）有且仅有一个零点（2）解：g（x）xlnx+a，x（0，1，g（x）f（x）0，x（1，+），g（x）f（x）单调递增，又g（1）a0，g（e2）2e2+a0，故存在唯一x1（1，e2），使g（x1）0，即x1lnx1+a0，x（0，x1），g（x）0，g（x）单调递减；x（x1，+），g（x）0，g（x）单调递增，因此g（x）x2lnx+ax有最小值，h（a）g（x）ming（x1）x12lnx1x12+（x1lnx1）x1x12lnx1x12，令（x）x2lnxx2，x（1，e2），（x）xlnxx0，故（x）单调递减，进而（x）（e2），（1）（，），即h（a）的值域为（，）
