1、7-2 基本不等式1.(2010茂名市模拟)“a”是“对任意的正数x，均有x1”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件来源:高&考%资(源#网 wxc答案A解析a，x0时，x21，等号在x时成立，又a4时，xx24也满足x1，故选A.2(2011兰州一模)已知pa，q()x22，其中a2，xR，则p、q的大小关系为()Apq BpqCp0，直线(b21)xay20与直线xb2y10互相垂直，则ab的最小值等于()A1 B2C2 D2答案B解析由条件知(b21)ab20，a，abb2，等号在b1，a2时成立(理)(2011太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足
2、ab1，则()A.有最大值4Bab有最小值C.有最大值Da2b2有最小值答案C解析由基本不等式，得abab，所以ab，故B错；4，故A错；由基本不等式得，即，故C正确；a2b2(ab)22ab12ab12，故D错故选C.4(文)(2011湖北八校第一次联考)若0x0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2B3C4D5答案D解析为a、b的等差中项，ab1.ab111，ab.当ab时取等号1145.的最小值为5.故选D.5(文)(2011沈阳模拟)若实数x，y满足1，则x22y2有()A最大值32 B最小值32C最大值6 D最小值6答案B解析x22y2(x22y2)()332，等
3、号在，即x22y2时成立(理)(2011厦门二检)若直线axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C. D.2答案C解析圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故ab1，(ab)()，当且仅当，即a2(1)，b2时取等号，故选C.6(2011北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COMA60件 B80件C100件 D120件答案B解析由题意知仓
4、储x件需要的仓储费为元，所以平均费用为y220，当且仅当x80等号成立7已知c是椭圆1(ab0)的半焦距，则的取值范围是_答案(1，解析由题设条件知，a1，a2b2c2，2，.8(文)(2011温州一检)已知直线x2y2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_ 答案解析由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为y1，x0,2，又动点P(a，b)在线段AB上，所以b1，a0,2，又b2，所以12，解得0ab，当且仅当b，即P(1，)时，ab取得最大值.(理)(2010江苏无锡市调研)设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于
5、点A，B，则AB的最小值为_答案2解析由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为1，则1，a2b2a2b22ab，切线与两轴交于点A(a, 0)和(0，b)，不妨设a0，b0，ab2，则AB|AB|2.9(文)(2011山东日照调研)在等式“1”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_答案4和12解析设两个括号中的正整数分别为x，y，则x0，y0，1，xy(xy)()1010216，等号在，即y3x时成立，由解得(理)(2010山东平度一中一模)设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_答案8解析(
6、a1,1)，(b1,2)，与共线，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，()(2ab)4428，当且仅当，即b，a时等号成立10(文)(2011洛阳模拟)若直线axby10(a0，b0)平分圆x2y28x2y10，求的最小值解析由x2y28x2y10得(x4)2(y1)216，圆的圆心坐标为(4，1)，4ab10，即4ab1，由14ab24，得ab，16，的最小值为16.(理)(2010江苏盐城调研)如上图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB30米，AD20米记三角形花园A
7、PQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？解析(1)设DQx米(x0)，则AQx20，AP，则SAPAQ15(x40)1200，当且仅当x20时取等号(2)S1600，3x2200x12000，0x或x60答：(1)当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米；(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0DQ或DQ60.11.已知1a0，A1a2，B1a2，C，比较A、B、C的大小结果为()AABC BBACCACB DBCA答案B解析不妨设a，则A，B，C2，由此猜想BAC.由1a0
8、，AB(1a2)(1a2)2a20得AB，CA(1a2)0，得CA，BA0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9答案D解析f (x)12x22ax2b0的一根为x1，即122a2b0.ab6，ab()29，当且仅当ab3时“”号成立13(文)(2011湛江调研)已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2m4 D4m0，y0，28，由条件知m22m8，解得4m0，a7a62a5，设an的公比为q，则a6qa6，q2q20，q0，q2，4a1，aqmn216a，mn24，mn6，(mn)，等号在
9、，即n2m4时成立14(2011荆州二检)函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_答案8解析函数yloga(x3)1的图象经过的定点为A(2，1)，点A在直线mxny10上，2mn1.(2mn)4.mn0，0，0，24，当且仅当，即时等号成立于是，448，即的最小值为8.15(文)(2011安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133千米假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可
10、变部分组成；固定部分为200元；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(千米/时)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？解析(1)依题意488200k1202k0.02.f(v)(2000.02v2)133(0.02v)(60v120)(2)f(v)133(0.02v)1332532，当且仅当0.02v，即v100时，“”成立，即汽车以100千米/时的速度行驶，全程运输成本最小为532元(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(
11、万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为150%50%，年销售收入为(150%50%)Q(32Q3)x，年利润W(32Q3)x(32Q3)x(32Q3x)(x0)(2)令x1t(t1)，则W50.t1，28，即W42，当且仅当，即t8时，W
12、有最大值42，此时x7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元16已知、都是锐角，且sinsincos()(1)当，求tan的值；(2)当tan取最大值时，求tan()的值解析(1)由条件知，sinsin，整理得sincos0，为锐角，tan.(2)由已知得sinsincoscossin2sin，tansincossin2tan，tan.当且仅当2tan时，取“”号，tan时，tan取得最大值，此时，tan().1若a、b、c、d、x、y是正实数，且P，Q，则()APQ BPQCPQ DPQ答案C解析QP.点评可用特值法求解，令所有字母全为1，则P2，Q2，PQ，排除D；令ab
13、cd1，x1，y4，则P4，Q5，P0，b0，1，所以(2ab)1(2ab)()228，当且仅当，即2ab4时等号成立，所以(4a2b2)(11)(2ab)264.所以4a2b232，当且仅当4时等号成立所以(4a2b2)min32.3若不等式x2ax10对一切x成立，则a的最小值为()A0B2CD3答案C分析将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x的代数式ax，x，a只要大于或等于yx，x的最大值就满足题设要求解析若x2ax10，x恒成立，则ax，x恒成立令yx，x，则y1，当x时y0，yx，x为增函数，ymaxy|，当a时，ax恒成立，即x2ax10，x恒成立，选C.4(20
14、10广东揭阳一模)若函数f(x)logmx的反函数的图象过点(1，n)，则3nm的最小值是()A2 B2C2 D.答案C解析函数f(x)logmx的反函数为ymx，该函数图象过点(1，n)，n.m0，且m1，n0且n1.3nm3n2，当且仅当n时等号成立5(2010广东省高考调研)如下图在等腰直角ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的最大值为()来源:高&考%资(源#网 wxcA.B1C2D3答案B解析以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，m，n，M、N，直线MN的方程为1，直线MN过点P(1,1)，1，mn2，mn2，mn1，当且仅当mn1时取等号，mn的最大值为1.来源:K
