1、江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.一元二次不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由得，解得.故选A【点睛】本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2.设等差数列的前项为，若，则( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质得出，解出，即可求出.【详解】设等差数列的公差为 解得故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.3.已
2、知非零向量，的夹角为，且，则（ ）A B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据模长的性质和向量的数量积公式，即可求解.【详解】，整理得.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4.在ABC中，若，则A=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 即：则 ， ，选C.5.已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）A. 4B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式和对数定义可由得到，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由得到，最后可以求出等比数列的公比.【详解】等比数列中，由等比数列各项正负性的性质可知：同号，故，除以，得：等比数列
3、的公比，故本题选B.【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.6.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解.【详解】对于一切成立，对于一切成立，对于一切成立，在区间上是增函数，故选：C【点睛】本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集，要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件，是基础题7.在中，角，所对的边分别为，若是和的等比中项，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
4、切化弦得，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可【详解】由题意有，.故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题8.若点是的重心，分别是，的对边，且.则等于（ ）A. 90B. 60C. 45D. 30【答案】D【解析】【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得因为不共线,所以,即所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角9.数列满足，则数列的前20项的和为( )A. 100B. -100C. -110D
5、. 110【答案】B【解析】【分析】数列an满足，可得a2k1+a2k（2k1）即可得出【详解】数列an满足，a2k1+a2k（2k1）则数列an的前20项的和（1+3+19）100故选B【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.在锐角中，若，则的范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得=2cosB，ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角，即有 0B， 0C=2B，0-A-B=-3B，解得B，余弦函数在此范围内是减函数故cosB，故选A考点：本题主要考查正弦定理的应用，余弦函数的性质点评：典型题，本题综合考查正弦
6、定理的应用，余弦函数的性质，易因为忽视角的范围，而出错11.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，若，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将两边同时平方可得，令，利用辅助角公式可得，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】是半径为1的扇形圆弧上一点，两边同时平方可得，则令，则，其中，即所求的最大值为.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算性质和三角函数的性质，属于基础题.12.若正实数、满足，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.【
7、详解】设， 所以，因为，当且仅当时取等号.所以.故选：B【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量且则实数_.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标公式、两向量垂直的性质,可得一个方程,解这个方程即可求出实数的值.【详解】因为所以.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标公式,考查了两平面垂直的性质,考查了数学运算能力.14.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后
8、货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，则货轮的速度为_海里/时【答案】20【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案【详解】由题意，如图所示，可知SMN=15+90=105，SNM=45，SM=20，NSM=30，在SMN中，由正弦定理可得：，即，解得：MN=，货轮的速度为=海里/时故答案为【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中根据题设条件画出示意图，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题15.已知为直线上的不同三点，为外一点，存在实数，使得
9、成立，则的最小值为_【答案】16【解析】【分析】由条件可得，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.【详解】为直线上的不同三点，且，又，当且仅当即时等号成立，的最小值为16，故答案为：16【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型.16.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当时，当且仅当时，等号成立，由可得，解得，综上，实数的取值范围是.故
10、答案为：.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，为单位向量，（1）求；（2）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)平方后再求解即可.(2)根据向量夹角的公式求解即可.【详解】（1）由题意得.（2）由题意得与的夹角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了向量的数量积与模长的公式以及向量夹角的运算等.属于基础题型.18.已知等差数列，等比数列满足（1）求，的通项公式；（2）求的前项和【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析
11、】（1）由等差数列通项公式与等比数列通项公式 即可求解（2）利用分组求和即可求解【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，所以；（2）记前项和为.所以【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式以及求和公式，比较基础19.在中，角所对的边分别为，的面积为，若（）求角的大小；（）若，求的值【答案】（）（）3【解析】试题分析：（）由余弦定理及三角形面积公式得，因此，再根据三角形内角范围得（）将条件，代入得，再根据余弦定理得，所以，因此试题解析：（）因为，所以化简得：，又，（），又，即联立可得，又，考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据
12、正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果20.如图，在ABC中，ACB，AC3， BC2，P是ABC内的一点（1）若BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；（2）若BPC，求PBC面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用余弦定理求出的长即可；(2)在三角形中,由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出与
13、,进而表示出三角形面积,利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.【详解】（1）由题设，PCA，PC，在PAC中，由余弦定理得PA2AC2PC22ACPCcos5，于是PA（2）BPC，设PCB，则(0，)PBC中，PBC由正弦定理得，得PBsin，PCsin()所以PBC面积SPBPCsinsin ()sinsin(2)当(0，)时，PBC面积的最大值为【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应
14、用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.已知正项数列的前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若（nN*），求数列的前n项和;（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据与的关系，即可求出的通项公式；（2）由 ，可采用裂项相消法求数列的前n项和；（3）假设存在实数，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，利用作差法得出其单调性，即可求解【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）当n2时，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，a
15、n是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列（2）由（1）得an=n+1，（3）假设存在实数，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，则当故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（5）f（6）当n=3时有最小值，所以【点睛】本题主要考查利用与的关系求通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题22.在中，满足：，M是的中点.（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：（2）若点P是内一点，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，则，根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用向量数量积定义可得，配方即可求最值.（2）设，由题意根据向量数量积的定义可得，将两边平方展开，利用基本不等式即可求解.【详解】（1），设，则，而， ，当且仅当时，的最小值是.（2）设，同理：，当且仅当时， 所以.【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的运算、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.
