1、6.4 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法 1求数列的前n项和的方法(1)公式法 等差数列的前n项和公式(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求
2、和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2常见的裂项公式(1)1n（n1）1n 1n1；(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1；(3)1n n1 n1 n.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n21121n1 1n1.()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)数列12n2n1 的前 n
3、 项和为 n2 12n.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(5)若数列 a1，a2a1，anan1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5.()1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1 的前 100 项和为()A.100101 B.99101C.99100D.101100【解析】利用裂项相消法求和 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，a14d5
4、，5a15（51）2d15，a11，d1，ana1(n1)dn.1anan11n（n1）1n 1n1，数列1anan1 的前 100 项和为 1121213 1100 11011 1101100101.【答案】A2数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200B200 C400D400【解析】S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.【答案】B 3(2014广东)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_【解析】因为a10a11a9a1
5、22a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.【答案】50 4321422523(n2)2n_【解析】设 S3124 1225123(n2)12n，则12S3 12241235 124(n2)12n1.两式相减得12S312122 123 12n n22n1.S312 122 12n1 n22n312112n1112n22n 4n42n.【答案】4n42n题型一 分组转化法求和【例1】(2015湖南)设数列an
6、的前n项和为Sn.已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.【思维点拨】(1)依据已知等式再构造一个类似的等式然后两式相减，将和Sn消掉进行证明(2)利用(1)中得到的关系求出该数列的通项公式，然后分组求和.【解析】(1)证明：由条件，对任意nN*，有 an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有 an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1.故对一切nN*，an23an.(2)由(1)知，an0，所以an2an 3.于是数列a2n1是首项
7、 a11，公比为 3 的等比数列；数列a2n是首项 a22，公比为 3 的等比数列 因此 a2n13n1，a2n23n1.于是 S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)3（3n1）2，从而 S2n1S2na2n3（3n1）223n1 32(53n21)综上所述，Sn32（53n32 1），n是奇数，32（3n21），n是偶数.【思维升华】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论 跟踪训练
8、1(1)(2016济南模拟)数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an前12项和等于()A76 B78 C80D82(2)已知数列an的前n项是321，641，981，12161，则数列an的通项公式an_，其前n项和Sn_【解析】(1)由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1，由得an2an(1)n(2n1)(2n1)，取n1，5，9及n2，6，10，结果相加可得 S12a1a2a3a4a11a1278.(2)由已知得数列an的通项公式为 an3n2n13n12n，Sna1a2an(253n1)(2222n)n（23n1）22（12n）1212n(3n1)2n12
9、.【答案】(1)B(2)3n12n 12n(3n1)2n12题型二 错位相减法求和【例2】(2015天津)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和【思维点拨】(1)利用方程思想先求解数列的公差与公比，再写出相应的通项公式；(2)利用错位相减法直接求解数列的前n项和【解析】(1)设数列an的公比为 q，数列bn的公差为 d，由题意知 q0.由已知，有2q23d2，q43d10，消去 d，整理得 q42q280，解得 q24.又因为 q0，所以 q2，所以 d2.所
10、以数列an的通项公式为 an2n1，nN*；数列bn的通项公式为 bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得 Sn122232n(2n1)2n 2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.【思维升华】(1)错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即anbncn的前n项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围 跟
11、踪训练 2(2016绵阳市诊断性考试)已知首项为12的等比数列an是递减数列，其前 n 项和为 Sn，且 S1a1，S2a2，S3a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanlog2an，数列bn的前 n 项和为 Tn，求满足不等式Tn2n2 116的最大 n 值【解析】(1)设等比数列an的公比为 q，由题意知 a112，又S1a1，S2a2，S3a3 成等差数列，2(S2a2)S1a1S3a3，变形得 S2S12a2a1S3S2a3，即得 3a2a12a3，32q12q2，解得 q1 或 q12，又由an为递减数列，于是 q12，ana1qn112n.(2)由于 bnanl
12、og2ann12n，Tn1122122（n1）12n1n12n，于是12Tn1122（n1）12nn12n1，两式相减得：12Tn1212212nn12n1 12112n112n12n1，Tn(n2)12n2.Tn2n2 12n 116，解得 n4，n 的最大值为 4.题型三 裂项相消法求和【例 3】(2014山东)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n1 4nanan1，求数列bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)因为 S1a1，S22a1212 22a12，S44a1432 24a112，故题
13、意得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11，所以 an2n1.(2)bn(1)n1 4nanan1(1)n14n（2n1）（2n1）(1)n112n112n1.当 n 为偶数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1112n1 2n2n1.当 n 为奇数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1112n12n22n1.所以 Tn2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.或Tn2n1（1）n12n1【思维升华】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前
14、面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 跟踪训练 3 在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和Sn 满足 S2nanSn12.(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bnSn2n1，求bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)S2nanSn12，anSnSn1(n2)，S2n(SnSn1)Sn12，即 2Sn1SnSn1Sn，由题意得 Sn1Sn0，式两边同除以 Sn1Sn，得 1Sn 1Sn12，数列1Sn 是首项为 1S1 1a11，公差为 2 的等差数列 1Sn12(n1)2n1，Sn12n1.(2)bnSn2n11（2n1）（2n1）1212n112n1，Tnb1b2
15、bn 12113 1315 12n112n1 12112n1 n2n1.审题路线图系列 4四审结构定方案【典例】(12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn12n2kn(其中 kN*)，且 Sn 的最大值为 8.(1)确定常数 k，并求 an；(2)求数列92an2n的前 n 项和 Tn.【审题路线图】【温馨提醒】(1)根据数列前 n 项和的结构特征和最值确定 k和 Sn，求出 an 后再根据92an2n的结构特征确定利用错位相减法求 Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案(2)利用 Sn 求 an 时不要忽视 n1 的情况；错位相减时不要漏项或算错项数(3)可以通过 n1，2 时的特殊情况对结论进行验证方法与技巧 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 失误与防范 1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论 2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并 3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项
