1、课时作业(三十)1(2012温州十校)若 Sn 是等差数列an的前 n 项和，a2a104，则 S11 的值为()A12 B18C22 D44答案 C解析 由题可知 S1111a1a11211a2a102114222，故选C.2在等差数列an中，a2a632，则 sin(2a43)()A.32 B.12C 32D12答案 D解析 a2a632，2a432，sin(2a43)sin(32 3)cos312，选 D.3设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 a49，S315，则数列an的通项 an()A2n3 B2n1C2n1 D2n3答案 C解析 由a49S315 a13d93a13d15
2、a13d2，所以通项 an2n1.4等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 am1am12a2m0，S2m139，则 m()A38 B39C20 D19答案 C解析 am1am12a2m，又am1am12am，am1 或 0(舍去)S2m12m1a1a2m12(2m1)am，(2m1)am39，2m139，m20.5(2012湖南师大附中)若等差数列an的前 5 项和 S525，且 a23，则 a7 等于()A12 B13C14 D15答案 B解析 由 S5a2a452253a452a47，所以 732dd2，所以 a7a43d73213，故选 B.6已知数列an中，a32，a51，若11a
3、n 是等差数列，则 a11等于()A0 B.16C.13D.12答案 A解析 记 bn11an，则 b313，b512，数列bn的公差为12(1213)112，b116，bnn112，即11ann112，an11nn1，故 a110.7若两个等差数列an和bn的前 n 项和分别是 Sn，Tn，已知SnTn7nn3，则a5b5等于()A7 B.23C.278D.214答案 D解析 a5b52a52b5a1a9b1b992a1a992b1b9S9T9214.8(2011湖北文)九章算术“竹九节”问题：现在一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的
4、容积共 4 升，则第 5 节的容积为()A1 升B.6766升C.4744D.3733升答案 B解析 设最上面一节的容积为 a1，公差为 d，则有a1a2a3a43a7a8a94，即4a16d33a121d4，解得a11322d 766，则 a56766，故第 5 节的容积为6766升，选 B.9已知 Sn 是等差数列an的前 n 项和，且 a415，S555，则过点 P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是_答案 4解析 设数列an的公差为 d，则依题意，得a4a13d15S55a110d55 a13d4，故直线 PQ 的斜率为a4a343 d14.10已知数列an是等差数列，且 a1a
5、2a1010，a11a12a2020，则 a41a42a50_.答案 50解析(1)解法一(方程组法)设数列an的公差为 d，则 a1a2a1010a145d，a11a12a2010a1145d.即10a145d10，10a1145d20，解得d 110，a11120.a41a42a5010a1445d50.解法二(整体替换)设数列an的公差为 d，记 b1a1a2a10，b2a11a12a20，b3a41a42a50，由等差数列的定义，可知 an1and，故 b2b1(a11a1)(a12a2)(a20a10)10d10d10d100d，所以 100d2010，解得 d 110.而 b3b1
6、(a41a1)(a42a2)(a50a10)40d40d40d400d，即 b3b1400 11040.所以 b3b140104050.11等差数列an中，Sn 是其前 n 项和，a12010，S20092009S200720072，则 S2010 的值为_答案 2010解析 在等差数列an中，设公差为 d，则Snn na1n2n1dna1d2(n1)，S20092009S20072007a1d22008a1d22006d2，S201020102010201020092220102010201020092010.12方程(x2xm)(x2xn)0 有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列
7、，则 mn 的值为_答案 15256解析 设四个根组成的等差数列为 x1，x2，x3，x4，根据等差数列的性质，则有 x1x4x2x31，2x13d1，又 d12，x114.x214，x334，x454.mn(x1x4)(x2x3)15256.13(2010浙江文)设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6150.(1)若 S55，求 S6 及 a1；(2)求 d 的取值范围答案(1)S63，a17(2)d2 2或 d2 2解析(1)由题意知 S615S53，a6S6S58，所以5a110d5，a15d8.解得 a17，所以 S63，a
8、17.(2)因为 S5S6150，所以(5a110d)(6a115d)150，即 2a219da110d210，故(4a19d)2d28，所以 d28.故 d 的取值范围为 d2 2或 d2 2.14设等差数列an的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.(1)若 a110，S1498，求数列an的通项公式；(2)若 a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式答案(1)an222n(2)an12n 和 an13n解(1)由 S1498 得 2a113d14，又 a11a110d0，故解得 d2，a120.因此an的通项公式是 an222n，n1,2,3，.(2
9、)由S1477a110a16，得2a113d11a110d0a16，即2a113d11 2a120d0，2a112 由得7d117.由得 13d1，即 d 113.于是117 d 113.又 dZ，故 d1.将代入得 100，前 n 项和为 Sn，a2a345，a1a518.(1)求数列an的通项公式(2)令 bn Snnc(nN*)，是否存在一个非零常数 c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由分析 本题第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项 a1 和公差 d 的值，由条件 a2a345，a1a518 建立方程组不难求得；本题第(2)问是构造一个等差数
10、列bn，可考虑利用等差数列的定义，研究使 bn1bn(nN*)为一个常数时需要满足的条件解析(1)由题设，知an是等差数列，且公差 d0，则由a2a345，a1a518，得a1da12d45，a1a14d18.解得a11，d4.an4n3(nN*)(2)由 bn Snncn14n32nc2nn12nc，c0，可令 c12，得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c12，使数列bn也为等差数列1在数列an中，a115,3an13an2(nN*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()Aa21a22 Ba22a23Ca23a24 D
11、a24a25答案 C解析 由 3an13an2，得 an1an23，即数列an是以 a115为首项，23为公差的等差数列，所以 an1523(n1)472n3，可得a230，a240，即得 a23a240，故选 C.2设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8 等于()A31 B32C33 D34答案 B解析 由已知可得a15d25a110d30，解得a1263d43，所以 S88a1872 d32.3已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 S11，S4S24，则S6S4的值为()A.94B.32C.54D4答案 A解析 设数列an的公差为 d.依题
12、意得 S441432 d46d，S22d，且 S44S2，即 46d4(2d)，d2，S661652 d36，S416，S6S4361694，选 A.4(2011天津文)已知an是等差数列，Sn 为其前 n 项和，nN*.若 a316，S2020，则 S10 的值为_答案 110解析 设an的首项，公差分别是 a1，d，则a12d1620a1202012d20，解得 a120，d2，S1010201092(2)110.5(2011高考调研原创题)已知 Anx|2nx2n1 且 x7m1，m，nN，则 A6 中各元素的和为()A792 B890C891 D990答案 C解析 A6x|26x0，a
13、2003a20040，a2003a20040 成立的最大自然数 n 是()A4005 B4006C4007 D4008答案 B解析 解法一：S40064006a1a400622003(a2003a2004)0.a20030，a20040.S40074007a20040 的最大自然数解法二：a10，a2003a20040 且 a2003a20040 且 a20040 中最大的自然数是 4006.4设an是公差为正数的等差数列，若 a1a2a315，a1a2a380，则 a11a12a13()A120 B105C90 D75答案 B解析 设公差为 d 且 d0.由已知a1a2a315a1a2a38
14、0，得a1d5a1a1da12d80.解得 a12，d3(d0)a11a12a133a123(a111d)105.5在等差数列an中，满足 3a47a7，且 a10，Sn 是数列an前 n项的和若 Sn 取得最大值，则 n_.答案 9解析 设公差为 d，由题设，3(a13d)7(a16d)，解得 d 433a10，即 a1(n1)(433a1)0，得 n0.同理，可得当 n10 时，an0，a1S1a1124，a11.又 2 Snan1，可整理为 Snan124，则 n2 时，Sn1an1124，两式相减得 anan124an1124，即an12an11240，可知(anan1)(anan12
15、)0，anan10，故 anan12(n2)，an是以 a1 为首项，公差 d2 的等差数列，an2n1.8已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Snanan12，nN*.求证：数列an是等差数列证明 Snanan12，nN*，n1 时，a1S1a1a112，a11.当 n2 时，由2Sna2nan，2Sn1a2n1an1，2an2(SnSn1)a2na2n1anan1，即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)，所以数列an是等差数列9设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a10，S20090.(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；(2)求
16、 n 的取值集合，使 anSn.解析 方法一(1)设公差为 d，则由 S200902009a1200920082d0a11004d0，d 11004a1，a1an2009n1004 a1，Snn2(a1an)n22009n1004 a1 a12008(2009nn2)a10，nN*，当 n1004 或 1005 时，Sn 取最小值10052 a1.(2)an1005n1004 a1，Snan a12008(2009nn2)1005n1004 a1a10，n22011n20100，即(n1)(n2010)0，解得：1n2010.故所求 n 的取值集合为n|1n2010，nN*方法二(1)设公差为
17、 d，则 Snna1nn12dd2n2(a1d2)n，d2，a1d2是常数，Sn 是 n 的二次函数(d0 时)S20090，S00，顶点的横坐标为020092100412.又由 a10，又 nN*.故当 n1004 或 1005 时，Sn 取最小值 S100410052 a1.(2)ana1(n1)ddn(a1d)，d0，d 和 a1d 均为常数，an 是 n 的一次函数又由 S20090a2010S2009a2010 即 S2010a2010.故方程 Snan，有两个实数解 n1 和 n2010.由图可知，anSn 的解集为n|1n2010，nN*10(2012荷泽阶段检测)已知数列an中
18、，a135，an2 1an1(n2，nN*)，数列bn满足 bn1an1(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由解析(1)证明 因为 an2 1an1(n2，nN*)，bn1an1.所以当 n2 时，bnbn11an11an1112 1an1 11an11 an1an111an111.又 b11a1152.所以，数列bn是以52为首项，以 1 为公差的等差数列(2)解 由(1)知，bnn72，则 an1 1bn122n7.设函数 f(x)122x7，易知 f(x)在区间，72 和72，内为减函数所以，当 n3 时，an 取得最小值1；当 n4 时
19、，an 取得最大值 3.11已知数列an中，a15 且 an2an12n1(n2 且 nN*)(1)求 a2，a3 的值；(2)是否存在实数，使得数列an2n为等差数列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解析(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)方法一 假设存在实数，使得数列an2n为等差数列，设 bnan2n，由bn为等差数列，则有 2b2b1b3，2a222 a12a323，13252 338，解得 1.事实上，bn1bnan112n1 an12n 12n1(an12an)1 12n1(2n11)11.综上可知，存在实数 1，使得数列an2n为等差数列方法二 假设存在实数，使得an2n为等差数列设 bnan2n，由bn为等差数列，则有 2bn1bnbn2(nN*)，2an12n1 an2n an22n2，4an14anan22(an12an)(an22an1)2(2n11)(2n21)1，综上可知，存在实数 1，使得数列an2n为等差数列高考资源网w w 高 考 资源网
