1、5.1 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有又有的量；向量的大小叫做向量的_(或称)平面向量是自由向量 大小方向长度模2.向量的线性运算 3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线
2、段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()ba【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)ABC 中，D 是 BC 中点，则AD 12(ACAB)()(5)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(6)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2D3【解析】向量是既有大小又有方向的量，a
3、与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.【答案】D【答案】A2已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2ACCB0，则OC 等于()A2OA OBBOA 2OBC.23OA 13OBD13OA 23OB【解析】由 2ACCB0 得 2OC 2OA OB OC 0，故OC 2OA OB.【答案】23已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足PABPCP0，AP PD，则实数 的值为_【解析】如图所示，由APPD，且P
4、ABPCP0，则 P 是以 AB、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP2PD，则 2.4在ABCD 中，ABa，AD b，AN3NC，M 为 BC 的中点，则MN _(用 a，b 表示)【解析】由AN3NC 得AN34AC34(ab)，AM a12b，所以MN ANAM 34(ab)a12b 14a14b.【答案】14a14b题型一 平面向量的概念【例 1】给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是_【解析】
5、不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确ABDC，|AB|DC|且ABDC，又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC 且|AB|DC|，因此，ABDC.故“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是.【答案】【思维升华】
6、(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是 a 方向上的单位向量跟踪训练 1 下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；向量AB与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线；如果 ab，bc，那么 ac；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也
7、不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0，则a与c不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小【答案】题型二 平面向量的线性运算【例 2】(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么EF等于()A.12AB13AD B.14AB12ADC.13AB12DAD.12AB23AD(2)在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD 2DC，则AD 等于()A.23b13cB.53c
8、23bC.23b13cD.13b23c【解析】(1)在CEF 中，有EFECCF.因为点 E 为 DC 的中点，所以EC12DC.因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以CF23CB.【答案】(1)D(2)A所以EF12DC 23CB12AB23DA 12AB23AD，故选 D.(2)BD 2DC，AD ABBD 2DC 2(ACAD)，3AD 2ACAB，AD 23AC13AB23b13c.【思维升华】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系
9、；化简结果 跟踪训练 2(1)如图，在正六边形 ABCDEF 中，BACD EF等于()A0B.BEC.ADD.CF(2)(2015辽宁大连双基)若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|a|，则向量 ab 与 ab 的夹角为()A.6B.3C.56D.23 【解析】(1)如图，在正六边形 ABCDEF 中，CD AF，BFCE，BACD EFBAAFEFBFEF CEEFCF.(2)由|ab|ab|可知 ab，设ABb，AD a，作矩形 ABCD，可知ACab，BD ab，设 AC 与 BD 的交点为 O，结合题意可知 OAODAD，AOD3，DOC23，又向量 ab 与 ab 的夹角为
10、AC与BD 的夹角，故所求夹角为23，选 D.【答案】(1)D(2)D 题型三 共线定理的应用【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线【解析】(1)证明：ABab，BC 2a8b，CD 3(ab)，BD BCCD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD 共线，又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)kab 和 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb.(k)a(k1)b.a，b 是两个不共线的非零向量，kk10
11、，k210.k1.【思维升华】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线 跟踪训练 3(1)(2015珠海 9 月摸底)如图，在ABC 中，点 D是 BC 边上靠近 B 的三等分点，则AD 等于()A.23AB13ACB.13AB23ACC.23AB13ACD.13AB23AC(2)已知平面上不共线的四点 O，A，B，C，若OA 4OB 3OC0，则|AB|BC|等于()A3B4C5D6【解析】
12、(1)由平面向量的三角形法则，得AD ABBD.又因为点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点，所以AD AB13BCAB13(ACAB)23AB13AC.【答案】(1)C(2)A(2)OA 4OB 3OC 0OA OB 3(OB OC)0BA3CB，所以|AB|BC|3.思想与方法系列 7方程思想在平面向量的线性运算中的应用【典例】(12 分)如图所示，在ABO 中，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OA a，OB b.试用 a 和 b 表示向量OM.【思维点拨】(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(
13、2)既然OM 能用 a，b 表示，那我们不妨设出OM manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解【规范解答】设OM manb，则AM OM OA manba(m1)anb.AD OD OA 12OB OA a12b.(3 分)又A，M，D 三点共线，AM 与AD 共线 存在实数 t，使得AM tAD，即(m1)anbta12b.(5 分)(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去 t 得，m12n，即 m2n1.(7 分)又CM OM OC manb14a m14 anb，CBOB OC b14a14ab.又C，M，B 三点共线，CM 与CB共线(10 分)存在实数 t1，使
14、得CM t1CB，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1.消去 t1 得，4mn1.由得 m17，n37，OM 17a37b.(12 分)【温馨提醒】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会 方法与技巧 1向量
15、的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O，OA，OB 不共线，满足OP xOA yOB(x，yR)，则 P，A，B 共线xy1.失误与防范 1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误
