1、1(2012山东聊城)函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是() A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)0，且开口向下，a0，f(1)2ab0，也满足条件；选项D中，对称轴x0，b2a，f(1)2ab2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0个根 B1个根C2个根 D3个根答案B解析设f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)14a0，f(x)0在(0,2)上恰好有1个根5设f(x)x
2、3ax25x6在区间1,3上为单调函数，则实数a的取值范围为_解析f(x)x22ax5，当f(x)在1,3上单调减时，由得a3；当f(x)在1,3上单调增时，f(x)0中，4a2450，或得a，(，)综上：a的取值范围为(，3，)6(2012深圳第一次调研)已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表f(x)的导函数yf(x)的图像如图所示x1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题：函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数有()A4个 B3个C2个
3、 D1个答案D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此不正确；当x(0,2)时，f(x)0，因此函数f(x)在0,2上是减函数，正确；当x1，t时，f(x)的最大值是2，依题意，结合函数f(x)的可能图像形状分析可知，此时t的最大值是5，因此不正确；注意到f(2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f(x)的图像向下平移a(1a2)个单位后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此不正确综上所述，选D.7(2011北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析当x0，说明函数在(，2上单调递增，函数的值域是(，1)，函数在2，)上单调
4、递减，函数的值域是(0,1因此要使方程f(x)k有两个不同的实根，则0k0，设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)解析(1)设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x)，依题意得，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2lnaa23a2lna.令h(t)t23t2lnt(t0)，则h(t)2t(13lnt)，由h(t)0得te或t0(舍去)列表如下：t(0，e)e(e，)h(t)0h(t)极大值于是函数h(t)在(0，)上的最大值为h
5、(e)e，即b的最大值为e.(2)设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2lnxb(x0)，则F(x)x2a(x0)，由F(x)0得xa或x3a(舍去)列表如下：x(0，a)a(a，)F(x)0F(x)极小值于是函数F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)10已知函数f(x)x28lnx，g(x)x214x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)g(x)m有唯一解，试求实数m的值解析(1)
6、因为f(x)2x，所以切线的斜率kf(1)6.又f(1)1，故所求的切线方程为y16(x1)即y6x7.(2)因为f(x)，又x0，所以当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0时原方程有唯一解，所以函数yh(x)与ym的图像在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14，且x0，所以当x4时，h(x)0；当0x4时，h(x)0时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.11(2011山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米
7、建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0r3，所以c20，当r30时，r.令m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0,2)时，y0，函
8、数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r.12(2012衡水调研)设函数f(x)x22x2ln(1x)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x1，e1时，是否存在整数m，使不等式m0得函数f(x)的定义域为(1，)f(x)2x2.由f(x)0，得x0；由f(x)0，得1x1，x1，e1时，f(x)maxe2e.不等式mf(x)m22me2恒成立，即1m0.m是整数，m1.存在整数m1，使不等式m；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由解析(1)f(x)xln(x)，f(x)1，当ex1时，f(x)0，此时f(
9、x)单调递减；当1x0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)由(1)知f(x)在区间e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间e,0)上的最小值为1，即f(x)min1.所证不等式即f(x)，令h(x)， 则h(x)，当ex0时，h(x)0，故h(x)在e,0)上单调递减，h(x)maxh(e).(3)假设存在实数a，使f(x)axln(x)的最小值为3.f(x)a(xe,0)若a，由于xe,0)，则f(x)a0，函数f(x)axln(x)在e,0)上是增函数，f(x)minf(e)ae13，解得a，与a矛盾，舍去若a，则当ex时，f(x)a0，此时f(x)axln(x)
10、是减函数当x0，此时f(x)axln(x)是增函数f(x)minf()1ln()3，解得ae2.由知，存在实数ae2，使f(x)的最小值为3.2(2011天津文)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点解析(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt
11、或x.因为t0，以下分两种情况讨论：若t0，则0，则t0时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，)内单调递增以下分两种情况讨论：当1，即t2时，f(x)在(0,1)内单调递减f(0)t10，f(1)6t24t3644230.所以对任意t2，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点当01，即0t2时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，1)内单调递增若t(0,1，f()t3t1t30，所以f(x)在(，1)内存在零点若t(1,2)，f()t3(t1)t310.所以f(x)在(0，)内存在零点所以，对任意t(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点综上，对任意t(0，)，f(x)在区间(0,
12、1)内均存在零点3(2011江西文)设f(x)x3mx2nx.(1)如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2)如果mn0即m2n.不妨设为x1，x2，则|x2x1|2为正整数故m2时才可能有符合条件的m，n，当m2时，只有n3符合要求，当m3时，只有n5符合要求，当m4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m2，n3或m3，n5满足上述要求4(2011山东潍坊)已知函数f(x)exax，g(x)exlnx.(e2.718 28)(1)设曲线yf(x)在x1处的切线与直线x(e1)y1垂直，求a的值；(2)若对于任意实数x0，f(x)0恒成立，试确定实数a的取值范围
13、；(3)当a1时，是否存在实数x01，e，使曲线C：yg(x)f(x)在点xx0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由解析(1)由题知，f(x)exa.因此曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线l的斜率为ea，又直线x(e1)y1的斜率为，(ea)1.a1.(2)当x0时，f(x)exax0恒成立，若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成立若x0，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立设Q(x).Q(x).当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，Q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，)(3)依题意，曲线C的方程为：y
14、exlnxexx，令M(x)exlnxexx，M(x)exlnxex1(lnx1)ex1.设h(x)lnx1，则h(x)，当x1，e时，h(x)0.故h(x)在1，e上为增函数，因此h(x)在区间1，e上的最小值为h(1)ln10，所以h(x)lnx10，当x01，e时，ex00，lnx010，M(x0)(lnx01) ex010，曲线yexlnxexx在点xx0处的切线与y轴垂直等价于方程M(x0)0在x1，e上有实数解而M(x0)0，即方程M(x0)0无实数解故不存在实数x01，e，使曲线yM(x)在点xx0处的切线与y轴垂直5(2012河南郑州质测)已知x，函数f(x)x2，h(x)2e
15、lnx(e为自然常数)(1)求证：f(x)h(x)；(2)若f(x)h(x)且g(x)h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”已知函数g(x)4x2pxq(p，qR)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由解析(1)证明：记u(x)f(x)h(x)x22elnx，则u(x)2x，令u(x)0，因为x，所以x，所以函数u(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增u(x)minu()f()h()ee0，即u(x)0，所以f(x)h(x)(2)由(1)知，f(x)h(x)对x恒成立，当且仅当x时等号成立，记v(x)h(x)g(x)2elnx4x2pxq，则“v(x)0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)0对x恒成立，当且仅当x时等号成立，所以函数v(x)在x时取极小值，注意到v(x)8xp，由v()0，解得p10，此时v(x)，由x知，函数v(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，即v(x)minv()h()g()5eq0，q5e，综上，两个条件能同时成立，此时p10，q5e.高考资源网w w 高 考 资源 网
