1、高二数学（文科）2022-04 阶考第 1页共 2 页树德中学高 2020 级高二下学期 4 月阶段性测试数学（文科）试题命题人、审题人：高二数学备课组考试时间：120 分钟；满分：150 分第 I 卷（选择题）一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得 5 分，共 60 分）1已知,Rx y，i 为虚数单位，且2 i2yyx ，则 xy的值为（）A1B2C3D42函数2()4.9f xx 在区间1,2上的平均变化率等于（）A 4.9B 9.8C 14.7D 19.63设函数()yf x在 R 上可导，则0(2)(2)limxfxfx 等于（）A(2)f B(2)f C(2)f D以上都不对4
2、设函数1xye 在0 x 处的切线斜率为（）A1B eC 1eD 45吹气球时，气球的半径 r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是133()4Vr V（05V ），则气球在1V 时的瞬时膨胀率为（）A23133 4B2334C13133 4D13346若 22xxyyee，则（）A.ln(1)0yxB.ln(1)0yxC.ln|0 xyD.ln|0 xy7已知函数21()cos4f xxx，则()f x 的导函数()fx的图象大致是（）ABCD8已知函数()f x 满足121()(1)(0)2xf xfefxx，则(1)f 的值为（）A eB 1eC1D 09已知2ln 2a，e
3、b，5ln5c，则以下不等式正确的是（）A cabB cbaCbacDbca10若函数 2xxf xxeme有两个极值点，则实数 m 的取值范围是（）A10,4B,0C1,02 D10,211 f x 是定义在 R 上的函数，fx是 f x 的导函数，已知 f xfx，且 1ef，32ef，则不等式221e21e0 xfx的解集为（）A 3,2B1,C3,2 D,1 12已知函数 e1exxf xxaa，.aZ若存在00 x，使得00f x，则实数 a 的最小值为（）A 2B 3C 4D 5第 II 卷（非选择题）二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13函数()sinf xxx，(0,)
4、x的单调递减区间为_.14把复数 z 的共轭复数记作_z，已知_12i43iz（其中i 是虚数单位），则 z _.15已知在 R 上可导的函数()f x 的图象如图所示，则不等式()0()fxf x的解集为_.16已知0 x 是函数 22ln 12xf xxmxx的极大值点，则 m 的值为_高二数学（文科）2022-04 阶考第 2页共 2 页三、解答题（17 题满分 10 分，18-22 题，每题满分 12 分，共 70 分）17已知函数 32112132f xxxx.（1）写出函数 f x 的单调区间；（2）讨论函数 f x 的极大值和极小值是否存在.如果存在，求出极值.18已知sin()
5、xf xx（1）求曲线()yf x在 x处切线的方程；（2）求函数()f x 在区间,2 上的最值19已知函数 lnRf xaxex a.（1）当1a 时，求函数 f x 的最小值；（2）若 1(1)xg xf xeaxe，求 g x 的最小值.20.已知函数()xef xax（1）若()()f xag xx，当(0,1)x时，试比较()g x 与(2)gx的大小；（2）若()f x 的两个不同零点分别为1212,()x x xx，求证：122xx21已知函数21()ln2f xxxaxx.（1）若函数()()g xfx，且()g x 最大值为 1，求实数 a 的值；（2）若不等式1()exg
6、 xxa 在,)1x 上恒成立，求实数 a 的取值范围.22已知函数 2(2)ln22f xxaxa xa，其中2a.（1）求 f x 的单调区间；（2）讨论函数 f x 的零点个数.高二数学（文科）2022-04 阶考第 3页共 2 页树德中学高 2020 级高二下学期 4 月阶段性测试数学（文科）试题参考答案1B【源自】人教 2003A 版选修 2-2P104 练习 3（人教 2019A 版必修第二册 P70 练习 3）.2C【源自】人教 2003A 版选修 2-2P3 问题 2（人教 2019A 版选择性必修第二册 P59 问题 1）改编.3A【源自】人教 2003A 版选修 2-2P6
7、 例 1（人教 2019A 版选择性必修第二册 P65 例 2）改编.4C【源自】人教 2003A 版选修 2-2P19B 组第 2 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P81 第 7 题）改编.5C【源自】人教 2003A 版选修 2-2P9 练习（人教 2019A 版选择性必修第二册 P70 练习 4）改编.6B【源自】人教 2003A 版选修 2-2P65 第 2 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P103 第 2 题）改编.7A【源自】人教 2003A 版选修 2-2P10 习题 1.1A 组第 6 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P71 第 10题）改编.8A
8、【源自】人教 2003A 版选修 2-2P26 练习第 1 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P99 第 2 题）改编.9A【源自】人教 2003A 版选修 2-2P26 练习第 1 题第（2）小题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P89例 4）改编.10D【源自】人教 2003A 版选修 2-2P26 练习第 1 题、P32 第 4 小题（人教 2019A 版选择性必修第二册P89 例 4、P92 练习第 1 题）改编.11B【源自】人教 2003A 版选修 2-2P18 习题 1.2A 组第 4 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P81 习题 5.2 复习巩固第 1
9、题）改编.12C【源自】人教 2003A 版选修 2-2P32 B 组第 1 题、第 2 小题等（人教 2019A 版选择性必修第二册 P99第 12、13 题）改编.13(0,)【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P24 例 2 第（3）题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P86 例1 第（2）题）.142i【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P116 复习参考 B 组第 1 题（人教 2019A 版必修第二册 P95 第7 题）.15(2,1)(0,)【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P24 例 1（人教 2019A 版选择性必修第二册 P86-87例 2）改编.
10、16 16【源自】2018 年全国 III 卷压轴题改编.17【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P28 例 4 改编（人教 2019A 版选择性必修第二册 P87 例 3）.【解析】(1)22(1)(2)fxxxxx.令 0fx，得1x 或2x.易知，在区间,1上，0fx，f x 单调递增；在区间1,2上，0fx，f x 单调递减；在区间2,上，0fx，f x 单调递增.故函数的增区间为,1和2,；减区间为1,2.-6 分(2)易知当1x 时，f x 有极大值13(1)6f；当2x 时，f x 有极小值7(2)3f.-4 分18【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P18 习题 1
11、.2A 组第 7 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P81 习题5.2 复习巩固第 5 题）改编.【解析】解：（1）2cossin()xxxfxx当 x时，0y，即切点坐标为,0，切线斜率为1k，故所求切线方程为1()yx，即0 xy；-6 分（2）当,2x 时，cossin0 xxx，所以()0fx.故函数()f x 在区间,2 上单调递减.所以max2()()2f xf，min()()0f xf.-6 分19【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P32B 组第 1 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P99 第 12 题）改编.【解析】(1)当1a 时，ln1f xxx，
12、其定义域为0,，111xfxxx，当(0,1)x时，0fx，f x 单调递减，1,x 时，0fx，f x 单调递增，综上所述，min01f xf.-5 分(2)方法 1：隐零点 1ln1xg xxexxe，0 x 又 1(1)1xgxxex，0 x 所以 gx为0,上的增函数.又2222221(1)1(1)10egeeeeeee ，1220ge所以存在20,1xe，使得00gx，即001xex，也即00lnxx.又 gx为0,上的增函数，所以00,xx时，00gxgx，g x 在00,x上为减函数；0,xx 时，00gxgx，g x 在0,x 上为增函数；因而，0000000min111ln1
13、11xg xg xx exxxxeee .-7 分方法 2：同构（此法建议也给满分）高二数学（文科）2022-04 阶考第 4页共 2 页由（1）知 ln1x x，所以有 ln1xxee，即1xex.因为lnxx xxee，所以lnln1xx xxeexx，当且仅当 ln0 xx时取等.所以 11ln1xg xxexxee.因而当00lnxx 时，g x 有最小值 1e.20.【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P18 习题 1.2A 组第 7 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P81 习题5.2 复习巩固第 5 题）和高考题的改编.【解析】（1）2()xeg xx，3(2)()
14、xxeg xx，当(0,1)x时，2(1,2)x，且2xx又当(,2)x 时，()0g x，所以()(2)g xgx.-4 分（2）2(1)()xxefxx()f x 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增所以min()(1)f xfea又()f x 有两个不同零点，所以 ae.此时)0(aaaaeefeaeae，20()aeafaaaaa，所以存在12(,1),(1,)axxae，符合题意.-6 分方法 1：分析法要证122xx，即证212xx因为211,122xx，且()f x 在(1,)上单调递增，所以只需证212f xfx因为 21f xf x，所以即证 112f xfx令()()
15、(2)F xf xfx，(0,1)x222()()(2)(1)(1)()(2)(2)xxeeF xfxfxxxg xgxxx，(0,1)x由（1）知，()(2)g xgx所以222()()(2)(1)(1)()(2)0(2)xxeeF xfxfxxxg xgxxx所以()F x 在(0,1)上为减函数，故()(1)0F xF，得证.-12 分方法 2：对数平均值不等式（需补证）由题知12120 xxeexx，取对数有1212lnlnxxxx，即12121lnlnxxxx又121212lnln2xxxxxx（要补证），所以122xx.方法 3：差变量代换由题知12210,0,xxeaxeax得1
16、2121()xxxxa ee，要证122xx，即证212xxaee又1212xxeaexx，即证2112122xxxxeeexex，也即证21212112121221xxxxxxxxxxeeeeee记12txx，则0,01tte，因此只要证明：2(1)01ttete，再次换元令(0,1),lntextx，即证2(1)ln0,(0,1)1xxxx构造新 函数2(1)()ln1xF xxx，(1)0F求导22214(1)()0(1)(1)xF xxxx x，得()F x 在(1,)上递增，所以()(1)0F xF，得证.21【源自】人教 2003A 版选修 2-2 P18 习题 1.2A 组第 6
17、 题、P26 练习 1 第 1 题（人教 2019A 版选择性必修第二册 P81 习题 5.2 复习巩固第 4 题和 P87 练习第 1 题）改编.【解析】(1)解：ln()()()gxax axfxR，其定义域为(0,)，且1()g xax.若0a，则()g x 在(0,)上递增，此时(1)0fa ，不合题意，舍去.若0a，则()g x 在10,a上递增，()f x 在 1,a 上递减.所以max1ln1()faxag，令ln11a ，得1a .综上得：1a .-4 分(2)方法 1：分离参数高二数学（文科）2022-04 阶考第 5页共 2 页由题知1lne0 xxaxxa 在,)1x 上
18、恒成立，也即1(1)lnexa xxx在,)1x 上恒成立.当1x 时，aR；当1x 时，1lne1xxxax；-7 分令1lne()1xxxxx，则121(2)eln()(1)xxxxxx再令11()(2)elnxm xxxx，则121()(1)(e)0 xm xxx所以()(1)0m xm,故()0 x，()x在(1,)上单减.又111 1111lnelne(ln1e1)lim()limlim11xxxxxxxxxxxx11111(lne)|(e1)|1xxxxxxx（导数的定义）故1a，综上实数 a 的取值范围为1,).-12 分方法 2：直接分类讨论因为不等式1(e)xxag x 在1
19、,)x 上恒成立，所以不等式1lne0 xxaxxa 在1,)x 上恒成立.令1()lnexF xxaxxa，则11()e1xF xax，令11()e1xh xax，则121()e0 xh xx，所以()h x 在1,)上递减.-7 分若1a，则()(1)10h xha ，即()0F x，所以()F x 在1,)上递减，所以()(1)0F xF符合题意.注：也可以通过11e0 xx，10a 得到()0F x-9 分若1a ，则 21a，1ln(2)1a，11(1ln(2)(2)1101ln(2)1ln(2)haaaaa ，注：“取点”方法不唯一，例如(2)0ha又(1)10ha，()h x 在
20、1,)上单调递减，所以存在唯一实数0(1,1ln(2)xa，使得 00h x.当01,xx时，()0h x，即()0F x，所以()F x 在01,x上递增，所以()(1)0F xF，不合题意.综上，实数 a 的取值范围是1,).-12 分22【源自】2016、2017 年全国卷高考试题的改编.【解析】(1)(2)2(2)axxafxxaxxx(1)当0a 时，f x 在(0,1 为减函数，在(1,)为增函数；当 02a时，f x 在(0,)2a 和(1,)上为增函数；f x 在(,1)2a为减函数；当2a 时，f x 在(0,)上为增函数.-4 分(2)当0a 时，min11f xfa若 1
21、0a ，则 min10f xf xa，此时函数 f x 无零点；若1a ，min011f xfa，此时函数 f x 有且仅有一个零点；若1a ，min011f xfa，又 2422422(2)ln2222(4)0f eeaeaeaeee a2422422422(2)ln2222220f eeaeaeaeeaeeee（零点的存在性，若用极限 0limxf x 刻画建议扣 2 分，只要找到，合理就给分）所以函数 f x 在2(,1)e和2(1,)e各有一个零点，共两个零点；-8 分当 02a 时，011f xfa 极小值，011f xfa 极大值所以函数 f x 在(1)无零点，而当 01x 时，(2)ln22ln22f xx xaa xaa xa只需取2201aaxe，则有00f x，故函数 f x 在22(,1)aae上有一个零点.综上，当 10a 时，函数 f x 无零点；当1a 或 02a 时，函数 f x 有唯一零点；当1a 时，函数 f x 有两个零点.-12 分
