1、辽宁省沈阳市郊联体2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：（本大题共12个小题，每道小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分.）1.复数（i为虚数单位）虚部是( )A. -1B. 1C. -iD. i【答案】A【解析】【分析】先对复数化简可求得结果.【详解】解：因为，所以复数的虚部为，故选：A【点睛】此题考查的是复数的运算和概念，属于基础题.2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合，集合，故选【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本
2、分析求解能力，属基础题.3.若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由垂直关系可得，因为，所以，求解即可.【详解】设与的夹角为，由已知得：，则，解得.故选：C【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及垂直关系的向量表示，属于基础题.4.设，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小.【详解】因为，所以，选D.【点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小.5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加
3、迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每
4、年增加量；根据回归直线方程预测年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故正确；由回归方程知正确；由回归方程，当时，得估计值3191.93192，故正确.故选D.【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相关性越强.6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. B. C. D. 【答案】A【
5、解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.7.数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-,0)上函数单调递减; 乙:在0,+ 上函数单调递增;丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称； 丁: f(0)不是函数的最小值老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( )A.
6、甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.8.已知函数在处的极值为6，则数对为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，利用函数在处有极值6，得到，联立方程组求解a和b的值即可得到结果.【详解】由得：，在处有极值6，计算得出：，或，
7、则数对为或.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了已知函数的极值求解参数的问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题.9.设m，n表示不同的直线，表示不同的平面，且，则“”是“且”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念可得结果.【详解】当时，根据平面与平面平行的性质可得且，当且时，或与相交，所以“”是“且”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念，属于基础
8、题.10.在中，所对的边分别为，且满足，则该三角形的外接圆的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，求得，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得，进而得到，再利用正弦定，即可求解球的半径.【详解】由题意，因为，所以由余弦定理得：.又因为， 所以，所以，所以，所以，所以，所以， 所以， 所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，其中合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数满足，则下列命题中正确的是（ ）A. 函数图
9、象的两条相邻对称轴之间距离为B. 函数图象关于点对称C. 函数图象关于直线对称D. 函数在区间内为单调递减函数【答案】D【解析】【分析】由已知可得和是函数的两条对称轴，可确定出和值，得到f(x)解析式，由平移可得函数g(x)解析式，根据正弦函数的性质对选项逐个检验判断即可得到答案.【详解】因为函数的最大值是，所以，周期是，则又故n=1时，又因为所以,，故于是函数的图象向左平移个单位后得到.函数g(x)周期为,则两条相邻对称轴之间的距离为，故选项A错误；将代入函数g(x)解析式，函数值不为0，故选项B错误；将代入函数g(x)解析式，函数取不到最值，故选项C错误；当时，由正弦函数图像可知函数单调递
10、减，故选D.【点睛】本题考查正弦函数图像的周期性，对称性和单调性的应用，考查函数图像的平移变换，属于中档题.12.已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆与的三边、分别相切于点，连接 ,，可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求【详解】如图，设圆与的三边、分别相切于点，连接，则，它们分别是，高，其中是的内切圆的半径，两边约去得：，根据双曲线定义，得，可得双曲线的渐近线方程为 ,即为，故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定
11、义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.第II卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数满足条件,则的最小值为_【答案】-6【解析】【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【详解】画出的可行域如图阴影区域：由 得，目标
12、函数可看做斜率为-2的动直线，由图数形结合可知：当过点时，最小为 故答案为-6【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题的一般解法，线性约束条件对应的可行域的画法，数形结合解决问题的思想方法，属基础题14.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是_.【答案】4【解析】【分析】利用焦半径公式可求的横坐标.【详解】抛物线的方程为，故且焦点为，设，则到焦点的距离，故，故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，对于抛物线，抛物线上的动点到焦点的距离为，注意该公式的合理使用.15.已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，若平面ABC，后，则球O的表面积为_.
13、【答案】【解析】【分析】将三棱锥还原成长方体，根据长方体的外接球与三棱锥的外接球相同即可得答案.【详解】解：如图，将三棱锥还原为长方体，设该长方体的外接球为球，则长方体的8个顶点都在球的球面上，所以，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，故长方体的外接球与三棱锥的外接球都为球，而根据长方体的对称性，球的球心在长方体的体对角线上，且长方体的体对角线是球的半径的2倍，而体对角线,所以，故球的表面积为故答案为： 【点睛】此题考查了三棱锥的外接球，还原三棱锥是比较好的一种解法，属于中档题.16.设函数的定义域为，满足，且当时，.（1）当时，的最小值为_；（2）若对任意，都有成立，则实数m的最大值是_.【答案
14、】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）由得，由于，然后利用基本不等式求的最小值；（2）分别求出时，时，时，的值域，解方程可得m的最大值.【详解】解：（1）由得，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，（2）因为，所以，因为当时，所以 时， ，值域，当时， ，当时， ，因为，所以时，解得 若对任意，都有成立，则，所以实数m的最大值为，故答案为：（1），（2）【点睛】此题考查函数与方程的综合运用，考查了函数解析式的求法，考查分类讨论的思想 属于较难题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在正三棱柱中，E，F分别为AB，的
15、中点.（1）求证：平面ACF；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点M，连结EM，FM，然后利用三角形中位线定理，再结合正棱柱的性质，可得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行定理可证得结果.（2）设O为BC的中点，则可证得平面，所以，然后代入值计算即可.【详解】（1）证明：取AC的中点M，连结EM，FM，在中，因为E、M分别为AB，AC的中点，所以且又F为的点，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以.又平面ACF内，在平面ACF外，所以平面ACF. （2）设O为BC的中点，因棱柱底面是正三角形，所以有，且，因为正三棱柱，所以平面ABC
16、，在平面ABC内，所以，因为，在平面内，所以平面.于是.【点睛】此题考查空间图形中证明线面平行，考查求棱锥的体积，属于中档题.18.已知是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列，、分别是、的前项和，且，（1）求的通项公式；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）且【解析】【分析】（1）利用和公差、公比表示出，解方程求得，由等差数列通项公式求得；（2）由等比数列通项公式求得，由等差数列求和公式求得，可整理得不等式；根据，可验证出时不等式不成立，时不等式成立，结合二次函数性质可知时不等式成立.【详解】（1）由得：，解得：（2）由（1）知： 又 ，即，当时，；当时，当且时，【点睛】本题考查等差
17、、等比数列基本量的求解问题，关键是能够熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前项和公式，能利用基本量表示出通项和前项和.19.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：、（1）根据频率分布直方图，估计这名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到）（2）若这名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示：分组区间从数学成绩在的学生中随机选取人，求选出的人中恰好有人数学成绩在的概率【
18、答案】（1）中位数是；平均数是；（2）.【解析】【分析】（1）利用中位数左边矩形面积之和为可求出中位数，将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再相加可得出这名学生语文成绩的平均数；（2）计算出数学成绩在、的学生人数，列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】（1），这名学生语文成绩的中位数是.这名学生语文成绩的平均数是：；（2）数学成绩在之内的人数为，数学成绩在的人数为人，设为、，而数学成绩在的人数为人，设为、，从数学成绩在的学生中随机选取人基本事件为：、，共个， 选出人中恰好有人数学成绩在的基本事件为：、，共个，选出的人中恰好有人数学成绩在的概率是【点
19、睛】本题考查利用频率分布直方图计算平均数与中位数，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题.20.在平面直角坐标系xOy中动圆P与圆外切，与圆内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）直线l过点且与动圆圆心P的轨迹交于A、B两点.是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）设动圆圆心，半径为利用已知条件转化判断动圆圆心P在以，为焦点的椭圆上，求出然后求解椭圆的方程； （2）设直线的方程为或（舍）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用
20、即可求出结果【详解】（1）设点，动圆的半径为，由题意知，.由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，.所以.由于圆M内切于圆N于点，则.因此，动圆圆心的轨迹方程为.（2）因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则，整理得.由.设点、，则，.则，因为.设，则，则.设，所以在区间上为增函数，所以.所以，当且仅当时取等号，即.因此，面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21.已知函数的图象在处的切线斜率为.（1）求实数的值，并讨论的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1），在区
21、间上单调递减，在区间上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求出的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于，设，根据函数的单调性求出它们的最值，即可证明【详解】（1）解：的定义域为，所以，令，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）证明：的定义域为，要证，即证，等价于，设，则，当时，；当时，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，设，则，所以当时，；当时，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，综上可得，在区间上恒有成立，即【点睛】本题考查了切线方程问题，将不等式的证明转化为函数最值问题，考查了函数的单调性，最值以及转化的思想，是一道
22、综合题.选修44：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求的参数方程与的直角坐标方程；（II）射线与交于异于极点的点,与的交点为,求.【答案】（I）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为；（II）.【解析】【分析】（I）由题意，可得曲线是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，即可求得曲线的参数方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；（II）由（I）得到曲线的极坐标方程为，将射线代入曲线的方程，求得关于的方程，根据极径的几何意义，即可求解.【详解】（I）由，得.所以曲线是以（1，0）为圆
23、心，1为半径的圆，所以曲线的参数方程为（为参数）.由，得，所以，则曲线的直角坐标方程为.（II）由（I）易得曲线的极坐标方程为，则射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中熟记互化公式，准确运算，以及合理应用极径的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修45：不等式选讲23.已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）时，根据绝对值的几何意义即可求解（2）不等式的解集包含即在上恒成立，去掉绝对值号，分离参数即可求解.【详解】（1）时，由可解得或，所以不等式的解为.（2）由在上恒成立，由于，可得，等价于在上恒成立，即上恒成立，即，可得，故的取值集合为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，恒成立问题，分离参数的方法，属于难题.
