1、河南省洛阳市2020-2021学年高二数学下学期期末试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心；由样本点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；利用来刻画回归的效果，R20.75比R20.64的模型回归效果好；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低其中正确的结论是（）ABCD3已知，则x+2y的最
2、大值为（）A2B4C6D84双曲线C：y2x2a2（a0）与抛物线y24x的准线交于A，B两点，若|AB|4，则双曲线C的实轴长为（）A1B2CD5使得ab0成立的一个充分不必要条件是（）ABeaebCa2b2Dlnalnb06已知，则的值等于（）A31B32C63D647南宋著名数学家秦九韶在其著作数书九章中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为若ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2sinAsinC，abc，则用“三斜求
3、积术”求得ABC的面积为（）AB1CD8从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件A为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B为“取到的两张均为假钞”，则P（B|A）（）ABCD9如果数列an满足a12，a21，且（n2），则这个数列的第10项等于（）ABCD10如图1，在直角梯形A3A2A1C1中，A3BBCCA2BB11，A2A1CC1BB1，沿CC1，BB1折叠，使点A3，A2重合于点A，如图2，则异面直线AB1，BC1所成角的余弦值为（）ABCD11若，则（）Acln7bln5aln3Bbln5aln3cln7Caln3cln7bln5Dcln7aln3bln512函数yf（
4、x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）叫做曲线yf（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数yx3x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A、B是抛物线yx2+1上不同的两点，则（A，B）2；设曲线yex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x21，若t（A，B）1恒成立，则实数t 的取值范围是（，1）以上正确命题的序号为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知随机变量XB（5，），则P（X2） 14函
5、数ysinx，ycosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为 152021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 .（用数字作答）16若xy时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且a13，2Sn+3an+1（1）证明数列an为等比数列；（2）设bnlog3an，求数列的前n项和Tn18已知在ABC中，内角A，
6、B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若，求ABC的周长L的最大值19如图，圆柱的底面圆直径，AA1，BB1，CC1均为圆柱的母线，点E在AA1上，且BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若E为AA1的中点，B为弧的中点，且AEAB，求二面角CEB1C1的余弦值20某中学模拟新高考模式，将本校期末考试成绩划分为A，B，C三个等级教务处为了调研高一新生学习情况，随机抽取了高一某班10名同学的语文、数学、英语成绩，并对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，得到如下结果：人员编号A1A2
7、A3A4A5A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，0，1）（1，2，1）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）现用综合指标x+y+z的值评定该同学的得分等级：若4，则得分等级为一级；若23，则得分等级为二级；若01，则得分等级为三级（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量Xab，求X的分布列及数学期望21已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2
8、，平行于x轴的直线l经过点，且与椭圆C交于P，Q两点，四边形B1PB2Q的面积为6（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M是椭圆C上一动点，直线MF1，MF2分别与椭圆C交于点A，B，试问：是否为定值？若是，求出该定值22已知函数f（x）x22x+alnx（aR）（1）当a4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：由，得z，则，z的共轭复数对应的点的坐
9、标为（），位于复平面的第一象限故选：A2在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心；由样本点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；利用来刻画回归的效果，R20.75比R20.64的模型回归效果好；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低其中正确的结论是（）ABCD解：由回归方程的求法知，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，故正确；由样本点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到回归直线，则这些样本点都在回归直线附近，故不正确；利用来刻画回
10、归的效果，R2越大回归效果越好，故正确；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高，故不正确；故选：B3已知，则x+2y的最大值为（）A2B4C6D8解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），令zx+2y，化为y，由图可知，当直线y过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6故选：C4双曲线C：y2x2a2（a0）与抛物线y24x的准线交于A，B两点，若|AB|4，则双曲线C的实轴长为（）A1B2CD解：抛物线y24x的准线方程为x1，设等轴双曲线与抛物线的准线x1的两个交点A（1，y），B（1，y）（y0），则|AB|y（y）|2y4，解
11、得y2将x1，y2 代入双曲线C：y2x2a2，得41a2，解得a，则2a2故选：C5使得ab0成立的一个充分不必要条件是（）ABeaebCa2b2Dlnalnb0解：A：ab00，0是ab0的充要条件，A错误，B：eaeb，ab，ab0ab，eaeb是ab0的必要不充分条件，B错误，C：ab0a2b2，a2b2是ab0的必要不充分条件，C错误，D：lnalnb0，ab1，ab1ab0，D正确故选：D6已知，则的值等于（）A31B32C63D64解：（1+3x）n1+3x+32x2+（3x）n，令x1，可得1+3+32+33+3n4n22n，2n10，n5则1+12n131，故选：A7南宋著名
12、数学家秦九韶在其著作数书九章中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为若ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2sinAsinC，abc，则用“三斜求积术”求得ABC的面积为（）AB1CD解：因为c2sinAsinC，由正弦定理得ac2c，即ac1，因为，由余弦定理得b2a2+c22accosB，所以a2+c2b2，所以故选：B8从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件A为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B为“
13、取到的两张均为假钞”，则P（B|A）（）ABCD解：设事件A表示“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B表示“取到的两张均为假钞”，则所求的概率即P（B|A）又P（AB）P（B），P（A）结合条件概率公式可得：P（B|A）故选：D9如果数列an满足a12，a21，且（n2），则这个数列的第10项等于（）ABCD解：，（），即为等差数列，（n2）然后可得d，故选：C10如图1，在直角梯形A3A2A1C1中，A3BBCCA2BB11，A2A1CC1BB1，沿CC1，BB1折叠，使点A3，A2重合于点A，如图2，则异面直线AB1，BC1所成角的余弦值为（）ABCD解：由题意知ABC 是边长为 1 的
14、正三角形，AA1CC1BB1，AA1平面 ABC，BB11，AA12，所以可以 C 为坐标原点，CA，CC1 所在直线分别为 y 轴，z 轴，过点 C 且垂直于平面 ACC1A1 的直线为 x轴建立空间直角坐标系，如图所示则 A（0，1，0），所以，所以，故异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为故选：B11若，则（）Acln7bln5aln3Bbln5aln3cln7Caln3cln7bln5Dcln7aln3bln5解：设f（x），求导可得f（x），令f（x）0，解得xe，当x（e，+）时，f（x）0，故f（x）单调递减，又e357，f（3）f（5）f（7），即，又，3a5b7c，即
15、ln3aln5bln7c，aln3bln5cln7故选：A12函数yf（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）叫做曲线yf（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数yx3x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A、B是抛物线yx2+1上不同的两点，则（A，B）2；设曲线yex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x21，若t（A，B）1恒成立，则实数t 的取值范围是（，1）以上正确命题的序号为（）ABCD【解答】解析：错：解：对于（
16、1），由yx3x2+1，得y3x22x，则kA1，kB8，则|kAkB|7y11，y25，则|AB|，（A，B），错误；对：如y1时成立；对：（A，B）；错：对于（4），由yex，得yex，（A，B）t（A，B）1恒成立，即恒成立，t1时该式成立，（4）错误故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知随机变量XB（5，），则P（X2）解：因为随机变量XB（5，），所以P（X2）故答案为：14函数ysinx，ycosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为解：ysinx与ycosx在x相交，由定积分的定义可得，函数ysinx，ycosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面
17、积为：（sinx+cosx）故答案为：152021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为684.（用数字作答）解：根据题意，选出国内，国外的可能组合为1，3，2，2，3，1不满足国内媒体团不能连续提问，当1，3组合时，选取方式有，提问方式24种，则不同的提问方式为624144，当2，2组合时，选取方式有 45种，提问方式，安排国内两个媒体的提问先后顺序 种，由于国内媒体团不能连续提问，再将2个国外媒体插入到2个空（非头尾），确定国外
18、媒体提问顺序，或将国内两个媒体团捆绑插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体提问顺序，故共有12种，则不同的提问方式为4512540，综合以上两种情况，不同的提问方式的种数为144+540684故答案为：68416若xy时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（，2解：设f（x）2sin（x+）mx，若xy时，不等式恒成立，2sin（x+）mx2sin（y+）my恒成立，即xy时，f（x）f（y）恒成立，f（x）2sin（x+）mx在R上为增函数，则f（x）2cos（x+）m0，m2cos（x+）min，m2，实数m的取值范围是（，2故答案为：（，2三、解答题：本大题共6个小题，共70
19、分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且a13，2Sn+3an+1（1）证明数列an为等比数列；（2）设bnlog3an，求数列的前n项和Tn【解答】（1）证明：由a13，2Sn+3an+1，得2Sn1+3an（n2），两式相减可得2anan+1an（n2），得an+13an（n2），又a22a1+39，满足a23a1，所以an是首项为3，公比为3的等比数列（2）由（1）知，令cn，则cn，所以Tnc1+c2+cn1+118已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若，求ABC的周长L的最大值解：（1），由
20、正弦定理得，sinB0，C（0，），（2），由正弦定理可得a2sinA，b2sinB，当即，时，（a+b）max2，ABC的周长La+b+c的最大值为19如图，圆柱的底面圆直径，AA1，BB1，CC1均为圆柱的母线，点E在AA1上，且BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若E为AA1的中点，B为弧的中点，且AEAB，求二面角CEB1C1的余弦值【解答】（1）证明：由题设知，B1C1A1B1，且B1C1B1B，而B1C1B1BB1，B1C1平面B1BAA1，BE平面B1BAA1，B1C1BE，BEEC1且B1C1EC1C1，BE平面EB1C1（2）由题设知，AB1，AE1，AA12，取
21、AC中点O，A1C1中点O1，以O为原点，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则，设是平面CEB1的法向量，则，即，可取由（1）知是平面EB1C1的一个法向量，而，二面角CEB1C1的余弦值为20某中学模拟新高考模式，将本校期末考试成绩划分为A，B，C三个等级教务处为了调研高一新生学习情况，随机抽取了高一某班10名同学的语文、数学、英语成绩，并对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，得到如下结果：人员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2
22、，2）（0，0，1）（1，2，1）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）现用综合指标x+y+z的值评定该同学的得分等级：若4，则得分等级为一级；若23，则得分等级为二级；若01，则得分等级为三级（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量Xab，求X的分布列及数学期望解：（1）设事件A为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”，英语得分为1的有：A2，A4，A5，A7，A9，A10，英语得分为2的有：A1，A3，A6
23、，A8，从10名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，英语得分相同的概率（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：人员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标4461453543其中综合指标是一级的（w4）有：A1、A2、A3、A5、A5、A8、A9共7名，综合指标不是一级的（w4）有：A4、A7、A10，共3名，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，X的分布列为：X12345P21已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，平行于x轴的直线l经过点，且与椭圆C交于P，Q两点，四边形B1PB2Q的面积为6（
24、1）求椭圆C的标准方程；（2）点M是椭圆C上一动点，直线MF1，MF2分别与椭圆C交于点A，B，试问：是否为定值？若是，求出该定值解：（1）椭圆的离心率为，b2+c2a2，由题意将代入椭圆方程可得，解可得a24，b23，椭圆C的标准方程为（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），当y00时，设直线MF1，MF2的方程分别为xm1y1，xm2y+1，由，0，x0m1y01，同理由，当y00时，直线MF1，MF2与x轴重合，综上，22已知函数f（x）x22x+alnx（aR）（1）当a4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围解：（1）a4时，f（x）x22x4lnx，定义域为（0，+），0x2时：f（x）0，x2时，f（x）0，f（x）的单调增区间为2，+），单调减区间为0，2（2）函数f（x）在（0，+）上有两个极值点，由f（x）0得2x22x+a0，当48a0，时，x1+x21，则x10，a0由，可得，令，则，因为.，又2lnx0所以h（x）0，即时，h（x）单调递减，所以，即，故实数m的取值范围是
