1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养提升练 十五利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为()A.c【解析】选A.因为f(x)=x3-x2+cx+d,所以f(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,则方程f(x)=x2-x+c=0有两个实数解,从而=1-4c0,所以c0得x;令F(x)0得0x0时,x0,所以t.5.(2019南充模拟)若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一
2、个极值点,则实数a的取值范围为()A.(1,5)B.1,5)C.(1,5D.(-,1)(5,+)【解析】选B.由题意f(x)=3x2+2x-a,函数开口向上,对称轴为x=-,若函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则即解得1a0),当f(x)=0时,x=-,当x=1时,函数取得最大值ln 2-1,即解得a=1,b=-1.答案:1-17.(2018珠海模拟)已知函数f(x)=5sin x-12cos x,当x=x0时,f(x)有最大值13,则tan x0=_.【解析】f(x)=5sin x-12cos x=13sin(x-)(cos =,sin =)当x=x0时f(x)有最大值13,所
3、以x0-=+2k,kZ所以x0=+2k,tan x0=tan(+2k)=tan(+)=-.答案:-8.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是_.【解析】若f(x)=3x2-3=0,则x=1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a16-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-a1.不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,a3-1-3(a-1)0,(a-1)(a2+a
4、-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2,故实数a的取值范围为-2,1).答案:-2,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)在(1,f(1)处的切线方程.(2)证明:f(x)仅有唯一的极小值点.【解析】(1)因为f(x)=,所以k=f(1)=-2.又因为f(1)=e+2,所以切线方程为:y-(e+2)=-2(x-1),即2x+y-e-4=0.(2)令h(x)=ex(x-1)-2,则h(x)=exx,所以x(-,0)时,h(x)0.当x(-,0)时,易知h(x)0,所以f(x)0,f(x)在(-,0)上没有极值点.当x(0,+)时,因为h(1)
5、=-20,所以f(1)0,f(x)在(1,2)上有极小值点.又因为h(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)仅有唯一的极小值点.10.已知二次函数f(x)=x2+ax+b+1,关于x的不等式f(x)-(2b-1)x+b21的解集为(b,b+1),其中b0.(1)求a的值.(2)令g(x)=,若函数(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,求实数k的取值范围,并求出极值点.【解析】(1)因为f(x)-(2b-1)x+b21的解集为(b,b+1),即x2+(a-2b+1)x+b2+b0.解方程x2-(2+k)x+k-b+1=0得x1=,x2=.当b0时,x11,所以当x时,(x)0,所以(x
6、)在(1,)上单调递减,在(,+)上单调递增,所以(x)极小值点为.当b0得k2,若k-2,则x11,x21时,(x)0,所以(x)在(1,+)上单调递增,不符合题意;若k2,则x11,x21,所以(x)在上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+)上单调递增, 所以(x)的极大值点为,极小值点为.综上当b0时,k取任意实数,函数(x)的极小值点为;当b2,函数(x)的极小值点为,极大值点为.(20分钟40分)1.(5分)(2019郑州模拟)已知函数f(x)=x3-9x2+29x-30,实数m,n满足f(m)=-12,f(n)=18,则m+n=()A.6B.8C.10D.12【解析】选A.因为三
7、次函数的图象一定是中心对称图形,所以可设其对称中心为(a,c),f(x)=x3-9x2+29x-30=(x-a)3+b(x-a)+c=x3-3ax2+(3a2+b)x-a3-ab+c,所以解得所以f(x)的图象关于点(3,3)中心对称,又f(m)=-12,f(n)=18,=3,所以=3,m+n=6.2.(5分)(2019宿州模拟)已知函数f(x)=ax-x2-ln x存在极值,若这些极值的和大于5+ln 2,则实数a的取值范围为()A.(-,4) B.(4,+)C.(-,2)D.(2,+)【解析】选B.f(x)=ax-x2-ln x,x(0,+),则f(x)=a-2x-=-,因为函数f(x)存
8、在极值,所以f(x)=0在(0,+)上有根,即2x2-ax+1=0在(0,+)上有根,所以=a2-80,显然当=0时,f(x)无极值不合题意;所以方程必有两个不等实根.记方程2x2-ax+1=0有两根.为x1,x2,x1+x2=,x1x2=.f(x1),f(x2)是函数f(x)的两个极值,由题意得f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-(+)-(ln x1+ln x2)=-+1-ln 5-ln ,化简解得a216,满足0,又x1+x2=0,即a0,所以a的取值范围是(4,+).3.(5分)已知定义在(-,0)(0,+)上的函数f(x)的导函数为f(x),且=x4,f(2)=8e2,则f(x)
9、e的解集为( )A.(-,-)(,+)B.(,+)C.(-,-1)(1,+) D.(1,+)【解析】选D.依题意=x4,则=ex,即=ex,故=ex,故=ex+c;因为f(2)=8e2,故c=0,故f(x)=x3ex;易知当x0时, f(x)0的情况即可;因为f(x)=3x2ex+x3ex,可知当x0时, f(x)0,故函数f(x)在(0,+)上单调递增;注意到f(1)=e,故f(x)e的解集为(1,+).4.(12分)(2018丰台模拟)已知函数f(x)=ex-a(ln x+1)(aR).(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若函数y=f(x)在上有极值,求a的取值范
10、围. 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ex-.(1)因为f(1)=e-a,f(1)=e-a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e-a)=(e-a)(x-1)即y=(e-a)x. (2)f(x)=ex-.()当a0时,对于任意x,都有f(x)0,所以函数f(x)在上为增函数,没有极值,不合题意.()当a0时,令g(x)=ex-,则g(x)=ex+0.所以g(x)在上单调递增,即f(x)在上单调递增,所以函数f(x)在上有极值,等价于所以所以ae.所以a的取值范围是.5.(13分)已知函数f(x)=-2ln x的图象在x=1处的切线过点(0,2-2a),
11、a,bR.(1)若a+b=,求函数f(x)的极值点.(2)设x1,x2(x1x2)是函数f(x)的两个极值点,若x11,证明:|f(x2)-f(x1)| 1.(提示e27.40)【解析】因为f(x)=,所以f(1)=a+b-2.又f(1)=a-b,曲线y=f(x)在x=1处的切线过点(0,2-2a),所以=a+b-2,得a=b.(1)因为a+b=,所以a=b=,令f(x)=0,得2x2-5x+2=0,解得x=或2,所以f(x)的极值点为或2.(2)因为x1,x2是方程f(x)=0的两个根,且a=b,所以x1x2=1,a=,因为x11,a0,所以f(x1)是函数f(x)的极大值,f(x2)是函数f(x)的极小值,所以要证|f(x2)-f(x1)|1,只需f(x1)-f(x2)1,f(x1)-f(x2)=ax1-2ln x1-(ax2-2ln x2)=2(ax1-2ln x1)=4(-ln x1)=4(-ln ),令t=,则t1,设h(t)=-ln t=1-ln t,则h(t)=-0,函数h(t)在上单调递减,所以h(t)h()=,所以f(x1)-f(x2)4h()=1.关闭Word文档返回原板块
