1、2013年高三数学一轮复习 专题四知能演练轻松闯关 新人教版1如图，在三棱锥PABC中，已知PC平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上(1)求证：AB平面PBC；(2)设ABBC，直线PA与平面ABC所成的角为45，求异面直线AP与BC所成的角的大小解：(1)证明：因为PC平面ABC，AB平面ABC，所以ABPC，因为点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，所以CD平面PAB，又因为AB平面PBA，所以ABCD.又因为PCCDC，所以AB平面PBC.(2)因为PC平面ABC，所以PAC为直线PA与平面ABC所成的角，于是PAC45，设ABBC1，则PCAC.以B为原点建立如图所示的
2、空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，(1，1，)，(1,0,0)，因为cos，所以异面直线AP与BC所成的角为60.2一个四棱锥的直观图和三视图如图所示(1)设PB的中点为M，求证：CM平面PDA；(2)在BC边上是否存在异于B、C两点的点Q，使得二面角APDQ为120？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由解：根据三视图和直观图，可以得BC，BA，BP两两垂直，以B为原点，分别以BC、BA、BP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,2,0)，P(0,0,1)，C(1,0,0)，D(1,1,0)，M，(0
3、，2,1)，(1，1,0)(1)证明：设平面PDA的一个法向量为m(x，y，z)，则m0且m0，即(x，y，z)(1，1,0)0且(x，y，z)(0，2,1)0，即xy0且2yz0，令z2得xy1，故平面PDA的一个法向量为m(1,1,2)又向量，所以m0，即直线CM的方向向量垂直平面PAD的法向量，故CM平面PDA.(2)假设BC边上存在点Q，使得二面角APDQ为120，设Q(x0,0,0)，其中x0(0,1)，平面PDQ的法向量为n(x1，y1，z1)，则n且n0，因为(1,1，1)，(x0,0，1)，所以令z11，得n，|cosn，m|cos120|，解得x0，Q.故点Q为BC的中点时，
4、使二面角APDQ为120.3在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE；(2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小解：(1)证明：法一：因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90.所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，因此BC2FG.连接AF，由于FGBC，FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE.
5、法二：因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，所以BC2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB.在ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MNAB.因为MNGNN，所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN，所以GM平面ABFE.(2)因为ACB90，所以CAD90.又EA平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBC2AE2，则由题意得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所
6、以(2，2,0)，(0,2,0)又EFAB，所以F(1，1,1)，(1,1,1)设平面BFC的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)设平面向量ABF的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取y21，得x21，则n(1,1,0)所以cosm，n.因此二面角ABFC的大小为60.4在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ABBCCADADCBE2，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上(1)求证：DE平面ABC；(2)求多面体ABCDE的体积；(3)求二面角EBCA的余弦值解：(1)证明
7、：由题意知，ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC.平面ACD平面ABC，DO平面ABC，作EF平面ABC交平面ABC于点F，EFDO，根据题意，点F落在BO上，EBF60，易求得EFDO.四边形DEFO是平行四边形，DEOF.DE平面ABC，OF平面ABC，DE平面ABC，(2)平面ACD平面ABC，OBAC，OB平面ACD，又DEOB，DE平面DAC.三棱锥EDAC的体积V1SADCDE(1).又三棱锥EABC的体积V2SABCEF1，多面体ABCDE的体积为VV1V2. (3)依题意建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则C(1,0,0)，B(0，0)，E(0，1，)，可求得平面ABC的一个法向量为n1(0,0,1)，设平面BCE的一个法向量为n2(x1，y1，z1)，(1，0)，(0，1，)，则，即，取z11，则平面BCE的一个法向量为n2(3，1)，所以cosn1，n2.结合图形可知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角EBCA的余弦值为.高考资源网w w 高 考 资源 网
