1、7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的我们把直线画成虚线以表示区域边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成 平面区域不包括包括实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，
2、所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域 2线性规划相关概念 相同符号3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方()(2)不等式
3、x2y20 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域()(3)不等式组3xy60，x0，y0表示的平面区域是如图所示的阴影部分()(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(6)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0，0)B(1，1)C(1，3)D(2，3)【解析】把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选C.【答案】C 2(2015山东)已知 x，
4、y 满足约束条件xy0，xy2，y0.若 zaxy 的最大值为 4，则 a()A3 B2C2 D3【解析】画出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，2a04，此时a2，故选B.【答案】B 3(2015四川)设实数 x，y 满足2xy10，x2y14，xy6，则 xy 的最大值为()A.252B.492C12 D16【解析】先画出可行域，再将 xy 转化为矩形面积 S，求 S的最大值 2xy10，x2y14，xy6表示的可行域如图中阴影部分所示 令Sxy，不妨
5、设在点M(x0，y0)处S取得最大值，且由图象知点M(x0，y0)只可能在线段AD，AB，BC上(1)当M(x0，y0)在线段AD上时，x02，0，此时Sxy0；(2)当 M(x0，y0)在线段 AB 上时，x00，2，Sxyx14x2x7x2 x227x 12(x7)2492，当 x02 时，Smax12(27)2492 252 492 12；【答案】A(3)当 M(x0，y0)在线段 BC 上时，x02，4，Sxyx(102x)2x210 x 2x522252，当 x052时，Smax252.综上所述，xy 的最大值为252.4(2014湖南)若变量 x，y 满足约束条件yx，xy4，yk
6、，且 z2xy 的最小值为6，则 k_【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz.易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.【答案】2 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例 1】(1)若不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域被直线 ykx43分为面积相等的两部分，则 k 的值是()A.73 B.37C.43D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线 ykx43过定点0，43.因此只有直线过 AB 中点时，直线 ykx43能平分平面
7、区域因为 A(1，1)，B(0，4)，所以 AB 中点 D12，52.当 ykx43过点12，52 时，52k243，所以 k73.(2)两直线方程分别为 x2y20 与 xy10.由(0，0)点在直线 x2y20 右下方可知 x2y20，又(0，0)点在直线 xy10 左下方可知 xy10，即xy10，x2y20 为所表示的可行域【答案】(1)A(2)xy10，x2y20【思维升华】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点 跟 踪
8、训 练 1(1)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，若 不 等 式 组xy10，x10，axy10(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 4，则 a的值为()A5 B3C5 D7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_【解析】(1)直线axy10过点(0，1)，作出可行域如图知可行域由点A(1，0)，B(1，a1)，C(0，1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a1，则其面积等于(a1)14，解得a7.(2)边界对应直线方程为xy10，且为虚线，区域中不含(0，0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足xy10.【答案】(1)D(2)xy10 题型二 求线性目标函数的最值【例 2】(1
9、)(2014广东)若变量 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，且 z2xy 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn 等于()A5 B6C7 D8(2)(2015全国卷)若 x，y 满足约束条件xy20，x2y10，2xy20，则 z3xy 的最大值为_【解析】(1)画出可行域，如图阴影部分所示 由 z2xy，得 y2xz.由yx，y1，得x1，y1，A(1，1)由xy1，y1，得x2，y1，B(2，1)当直线 y2xz 经过点 A 时，zmin2(1)13n.当直线 y2xz 经过点 B 时，zmax2213m，故 mn6.(2)画出可行域，并分析z的几何意义，平移直线y3x求解画出
10、可行域(如图所示)【答案】(1)B(2)4 z3xy，y3xz.直线 y3xz 在 y 轴上截距最大时，即直线过点 B 时，z 取得最大值 由xy20，x2y10 解得 B(1，1)，zmax3114.【思维升华】线性规划问题的解题步骤：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值 跟踪训练 2(1)(2015山东)若 x，y 满足约束条件yx1，xy3，y1，则zx3y 的最大值为_(2)(2014北京)若 x，y 满足xy2
11、0，kxy20，y0，且 zyx 的最小值为4，则 k 的值为()A2B2C.12D12【解析】(1)先根据约束条件画出可行域，再利用线性规划求出目标函数的最大值 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线 y13x，当直线 y13xz3过点 A 时，目标函数取得最大值 由yx1，xy3，可得 A(1，2)，代入可得 z1327.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线 kxy20 与x 轴的交点为 A2k，0.【答案】(1)7(2)D zyx 的最小值为4，2k4，解得 k12，故选 D.题型三 线性规划的实际应用【例3】某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每
12、天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【解析】设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z1 600 x2 400y.由题意，得 x，y 满足约束条件xy21，yx7，36x60y900，x，y0，x，yN.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线 z1 6
13、00 x2 400y 经过可行域的点 P 时，直线 z1 600 x2 400y 在 y 轴上的截距z2 400最小，即 z 取得最小值 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小【思维升华】解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答 跟踪训练3 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过1
14、3吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是_万元【解析】设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨，则获得的利润为 z5x3y.由题意得x0，y0，3xy13，2x3y18，可行域如图阴影所示 由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x3，y4，z533427(万元)【答案】27 题型四 求非线性目标函数的最值【例 4】(1)(2015 全 国 卷)若 x，y 满 足 约 束 条 件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为_(2)已知 O 是坐标原点，点 A(1，0)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则|OA OM|的最小值是_【解析】(1)由约束条
15、件可画出可行域，利用yx的几何意义求解画出可行域如图阴影所示，yx表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率 点(x，y)在点 A 处时yx最大由x1，xy40，得x1，y3.A(1，3)yx的最大值为 3.(2)依题意得，OA OM(x1，y)，|OA OM|（x1）2y2可视为点(x，y)与点(1，0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1，0)向直线 xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1，0)的距离最小，因此|OA OM|的最小值是|102|23 22.【答案】(1)3(2)3 22【思维升华】常见代数式的几何意
16、义有(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；(4)ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率跟踪训练 4(1)设不等式组x1，x2y30，yx所表示的平面区域是 1，平面区域 2 是与 1 关于直线 3x4y90 对称的区域，对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B，|AB|的最小值等于()A.285B4C.125D2(2)(2014四川省德阳中学高三“零诊”)设变量 x，y 满足5x2y180，2xy0，xy30，若直线 kxy20 经过该
17、可行域，则 k 的最大值为_【解析】(1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1，1)到直线 3x4y90 的距离最小，故|AB|的最小值为 2|31419|54，选 B.(2)画出可行域如图，k 为直线 ykx2 的斜率，直线过定点(0，2)，并且直线过可行域，要使 k 最大，此直线需过 B(2，4)点，所以 k42201.【答案】(1)B(2)1思想与方法系列 10利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【典例】(12 分)变量 x、y 满足x4y30，3x5y250，x1，(1)设 z
18、yx，求 z 的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；(3)设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围【思维点拨】点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，yxy0 x0表示点(x，y)和原点连线的斜率；x2y2 表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2 表示点(x，y)和点(3，2)的距离的平方【规范解答】(1)由约束条件x4y30，3x5y250，x1，作出(x，y)的可行域如图所示 由x1，3x5y250，解得 A1，225.由x1，x4y30，解得 C(1，1)由x4y30，3x5y250，解得 B(5，2)(4 分)zyxy0 x0.z
19、 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率 观察图形可知 zminkOB25.(6 分)(2)zx2y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29.2z29.(9 分)(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2 的几何意义是可行域上的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3，2)的距离中，dmin1(3)4，dmax（35）2（22）28.16z64.(12 分)【温馨提醒】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合
20、的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义(3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题 方法与技巧1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次函数 zaxby(ab0)的最值，将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值最优解在顶点或边界取得3解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题 4利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题 失误与防范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值
