1、考前30天抢分攻略 第四版块 攻略2：考前必会核心方法 栏目导航方法1 数形结合法方法2 等价转化法方法3 变量换元法方法4 待定系数法方法5 分离参数法方法6 构造法方法7 基本不等式法方法8 类比推理法方法9 三角化简转化法方法10 割补法方法11 分类讨论法方法12 整体代入法方法13 公式应用法数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可使某些抽象的数学问题直观化、形象化，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，并且能避开复杂的推理与计算，大大简化解题过程方法1 数形结合法(2017双鸭山二模)已知函数 f(x)log2xx0|x|x0，函数 g(x)满足以下三点条件：定义域为
2、 R；对任意 xR，有 g(x)12g(x2)；当 x1,1时，g(x)1x2.则函数 yf(x)g(x)在区间4,4上零点的个数为()A7 B6C5 D4思路点拨 当 x3，1时，g(x)2 1x22；当 x1,3时，g(x)12 1x22，在同一坐标系中，作出 f(x)，g(x)的图象，两个图象有 4 个交点，可得结论思路点拨D【解析】对任意 xR，有 g(x)12g(x2)；当 x1,1时，g(x)1x2，当 x3，1时，g(x)2 1x22；当 x1,3时，g(x)121x22，在同一坐标系中，作出 f(x)，g(x)的图象，两个图象有 4 个交点，函数 yf(x)g(x)在区间4,4
3、上零点的个数为 4，故选 D点评 函数零点有关的问题解决常用数形结合的方法来破解，其关键：一是转化，即把函数零点的个数问题转化为方程的根的个数问题，再把方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；二是“草图不草”，画函数图象时，注意“以点控图”，虽画草图，但关键点要予以呈现，以便有效降低这类问题的错误率已知函数 f(x)ex，x0 x2ax1，x0，F(x)f(x)x1，且函数 F(x)有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为()A(，0 B1，)C(，1)D(0，)C 解析：由题意，x0，F(x)exx1，有一个零点0，x0，F(x)xx(a1)，0是其中一个零点，函数F(x)有2个
4、零点，1a0，a1.故选C利用等价转化法解题的关键：一是定目标转化，从已知条件入手，通过转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范，甚至模式化、简单的问题；二是利用相关知识解决所转化的问题方法2 等价转化法 已知函数 f(x)12x22axln x，若 f(x)在区间13，2 上是增函数，则实数 a 的取值范围为_.【解析】由题意知 f(x)x2a1x0 在13，2 上恒成立，即 2ax1x在13，2 上恒成立又yx1x在13，2 上单调递减，x1x max83，2a83，即 a4343，点评 把可导函数f(x)在某个区间D上的单调递增，等价转化为f(x)0在区间D上恒成立，再把恒成立
5、问题通过分离参数法转化为最值问题来解决变量换元法的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化.变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求证等问题方法3 变量换元法(2017长春模拟)函数 y4x2x11 的值域为()A(0，)B(1，)C1，)D(，)B【解析】令2xt，则函数y4x2x11可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1 所求值域为(1，)故选B点评 破解此类问题的关键：一是利用已知条件建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值；二是通
6、过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一个函数，求得其值域，从而求得原函数的值域.但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化待定系数法的理论依据是多项式恒等两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法主要用来解决具有某种确定的数学表达式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程(组)来解决例如求圆锥曲线的方程、圆的方程、直线的方程、函数解析式、复数、数列等方法4 待定系数法 某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时
7、，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时.【解析】由已知条件，得 192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k4819212141212.设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则 te33kln 192192e33k192(e11k)31921232424 点评 破解此类问题的关键是依题设所给的函数模型，利用待定系数法求解，本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式，求出参数的值，再求解问题求解不等式有解或恒成立问题常用分离参数法，可避免对参数进行分类讨论的繁琐过程.要注意该方法仅适用于分离参数后所得函数的最
8、值或值域可求的问题方法5 分离参数法 已知函数 f(x)x 1ax在(，1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A1，)B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)【解析】函数 f(x)x 1ax的导数为 f(x)1 1ax2，由于 f(x)在(，1)上单调递增，则 f(x)0 在(，1)上恒成立，即1ax2 在(，1)上恒成立由于当x1，则有1a1，解得 a1 或 a0，则a44b41ab的最小值为_.【解析】a，bR，ab0，a44b41ab4a2b21ab4ab 1ab24ab 1ab4，当且仅当a22b2，4ab 1ab，即a2 22，b2 24时取得等号故a44b41ab的最小
9、值为 44 点评 运用基本不等式法求最值的关键：“一正”，即判断两个数为正数；“二定”，即和或积为定值；“三相等”，即检验是否满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求最值，则两次等号成立的条件要一致，否则最值取不到若两个正实数 x，y 满足1x4y1，且不等式 xy4xy4 xy4，故 m23m4，化简得(m1)(m4)0，即实数 m 的取值范围为(，1)(4，)B 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.方法8 类比推理法 在解不等式“
10、x310”中，我们有如下解题思路：设 f(x)x31，则 f(x)在 R 上单调递增，且 f(1)0，所以不等式 x310 的解集是(1，)类比上述解题思路，则不等式 exx10 的解集为_.(0，)【解析】由解不等式“x310”中，设f(x)x31，则f(x)在R上单调递增，且f(1)0，所以不等式x310的解集是(1，)类比可得，在解答不等式exx10时，设f(x)exx1，则f(x)在R上单调递增，且f(0)0，所以不等式exx10的解集是(0，)故答案为：(0，)点评 运用类比推理法的要点：一是找出类比对象之间可以确切表述的相似特征；二是用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个
11、明确的命题(猜想)，类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为ACBCAEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥 A-BCD 中(如图)，平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于 E，则得到类比的结论是_解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AEEBSACDSBCDAEEBSACDSBCD在运用三角化简转化法解题的过程中，应熟练掌握三角公式的正用、逆用、变形用等，它可以提高思维的起点，缩短思维路线，从而使运算简便、快捷.方法9 三角化简转化法(2017山东卷)
12、设函数 f(x)sinx6sinx2，其中 03，已知 f60(1)求；(2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在4，34 上的最小值【解】(1)因为 f(x)sinx6sinx2，所以 f(x)32 sin x12cos xcos x 32 sin x32cos x 312sin x 32 cos x 3sinx3由题设知 f60，所以6 3k，kZ，所以 6k2，kZ又 001212x，x0，关于 x 的方程 f(x)kxk 至少有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为_.
13、【解析】由f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，得f(x)k(x1)至少有两个不相等的实数根，设g(x)k(x1)，则等价为f(x)与g(x)至少有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：k13且 k1g(x)k(x1)，过定点 C(1,0)，当 x0 时，f(x)x2x 的导数 f(x)2x1，在 x1 处，f(1)211，当 k1 时，g(x)x1 与 f(x)1212xx1 平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件当 k1 时，两个函数有两个不相等的实数根，当 0k1 时，两个函数有 3 个不相等的实数根，当 k0 时，当直线经过点 A12，12 时，两个图象有两个交点，此时 k
14、12112，即 k13，当13k0 时，两个图象有 3 个交点，综上要使方程 f(x)kxk 至少有两个不相等的实数根，则 k13且 k1整体代入法是根据式子的结构特征，在求值还是求解析式过程中，直接将代数式当成一个整体来处理，从而建立已知和所求的关系式进行求解的方法.利用该方法求值时，可以避免繁琐的求解过程，减少计算量.该法适用于求函数值、求函数的解析式等问题 方法12 整体代入法 已知 f(x)满足 2f(x)f1x 3x，则 f(x)_.【解析】2f(x)f1x 3x，以1x代替式中的 x(x0)，得 2f1x f(x)3x.2，得 3f(x)6x3x，f(x)2x1x(x0)2x1x(
15、x0)公式应用法适用于利用相关公式求解概率、数列通项公式与前n项和、三角函数的值、空间几何体的表面积和体积等问题方法13 公式应用法(2017临沂八校联考)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且 a2，a4，a8 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan是等比数列，且 b27，b571，求数列bn的前 n 项和 Tn.【解】(1)设数列an的公差为d(d0)，因为a12，且a2，a4，a8成等比数列，所以(3d2)2(d2)(7d2)，解得d2，故ana1(n1)d22(n1)2n.(2)令 cnbn(1)nan，设数列cn的公比为 q，因为 b27，b571，a
16、n2n，所以 c2b2a2743，c5b5a5711081，所以 q3c5c2813 27，故 q3，所以 cnc2qn233n23n1，即 bn(1)nan3n1，所以 bn3n1(1)n2n故 Tnb1b2b3bn(30313n1)246(1)n2n当 n 为偶数时，Tn13n13 2n23n2n12；当 n 为奇数时，Tn13n13 2n12 2n3n2n32所以 Tn3n2n12，n为偶数，3n2n32，n为奇数.点评 对于数列解答题，常利用等差(比)数列的定义、通项公式与前n项和公式进行求解.若是同一数列的递推关系式，常通过构造转化为等差数列或等比数列的形式求解；若是不同数列间的关系式，常通过已知条件寻求转化.在解题中注意累加法、累乘法、错位相减法、裂项相消法等的应用谢谢观看
