1、黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学综合训练试题（四）理（含解析）第I卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合，按照交集定义，即可求解.【详解】易知，所以故选：A【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3.2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例20
2、20年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）新冠肺炎患者症状是发热干咳浑身乏力等外部表征“某人表现为发热干咳浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要的定义，即可得出结论.【详解】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳浑身乏力等外部表征因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力
3、”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件故选：A【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.4.已知，其中，是互相垂直的单位向量，则（ ）A. B. C. 28D. 24【答案】A【解析】【分析】首先求出，用，表示，再根据计算可得；【详解】解：，且，是互相垂直的单位向量，故选：【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，向量模的计算，属于基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. -3D. 3【答案】A【解析】【分析】由题意可知，由题意结合两角和的正切公式可得的值.【详解】 ，故选A.【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.
4、函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数值恒大于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.【详解】因为,所以不正确;函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;当时, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.故选:B【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.7.是一款具有社交属性的健身，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.可以让你随时随
5、地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根据记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论不正确的是（ ）A. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数B. 月跑步里程最大值出现在10月C. 月跑步里程逐月增加D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】C【解析】【分析】根据折线图的信息，逐项判断，即可求出结论.【详解】由所给折线图可知： 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项A正确；月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；月跑步里程
6、并不是逐月递增，故选项C错误； 1月至5月的月跑步里程相对6月至11月，波动性更小，故选项D正确故选：C【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题.8.如图，是正方体的棱的中点，下列命题中假命题是（ ）A. 过点有且只有一条直线与直线、都相交B. 过点有且只有一条直线与直线、都垂直C. 过点有且只有一个平面与直线、都相交D. 过点有且只有一个平面与直线、都平行【答案】C【解析】【分析】由点不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交，A正确；只有过点的直线同时与直线、都垂直，B正确；过点有无数个平面与直线、都相交，C不正确；只有过点平行于上下底面的平面
7、与直线、都平行，D正确【详解】解：直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取的中点，则，且，设与交于，则点、共面，直线必与直线相交于某点，且交点是唯一的.所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；故A正确.因为平面，而，所以与、都垂直，由过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直，可知过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，故B正确.过直线有无数个平面与直线、都相交，而点在直线上，故C不正确.过点有且只有一个平面与直线、都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确.故选：C【点睛】此题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的
8、性质，体现了数形结合的思想，属于基础题.9.已知函数在区间上单调递增，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递增，建立不等式关系，即可求解【详解】函数在区间上单调递增，当时，当时，由于函数在区间上单调递增，所以，解得，所以，因此，的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题10.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是的平分线，则双曲线的离心率( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用角平分线及得
9、到三角形相似，进而得到，再根据角平分线定理也可得到，列方程即可求出离心率【详解】如图：由题意得：，所以，又，所以，又是的平分线，所以，所以，所以，即，所以，由角平分线定理知，则，所以，所以，故故选：C【点睛】本题关键是利用角平分线定理得到，考查了学生计算能力，分析能力，是中档题11.已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，则为的零点，根据判别式可得，就和分类讨论后可得的大小关系.【详解】令，则为的零点且该函数图象的对称轴为，故，因为，故，所以即.又，若，则，故即.若，则，所以或者，即或.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，
10、注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.12.若关于的方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先将所给的方程进行恒等变形，然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题，最后求解关于实数a的不等式组即可确定实数a的取值范围.【详解】由题可转化为，令，则，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，做出函数的图象如图所示，结合题意可知：要使原方程恰有4个不相等的实数根，则，且关于的方程在有两个不相等的实数根，即在有两个不同的零点，则，解得，表示为区间形式即.故选：B.【点睛】本题主
11、要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数零点个数问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.在的展开式中项的系数为_【答案】1120【解析】【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为2，求出项数，即可求解.【详解】展开式的通项为，令，得，所以展开式中含项的系数为故答案为：【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.14.已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，且，成等比数列，则_【答案】4【解析】【分析】设等差数列的公差为，解方程和即得，即得解.【详解
12、】设等差数列的公差为，由题得和.，所以.故答案为：4.【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的基本量的计算，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.已知直线（其中，）与圆交于点，是坐标原点，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再由相交弦长公式，求出；设的中点为，则有，利用，根据数量积的运算律，即可求解.【详解】由，可知，圆心到直线的距离，设中点为，则，.故答案为：；.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题.16.在中，角A，B，C所对应
13、的边分别为a，b，c，且，D为AC上一点，则面积最大时，_.【答案】【解析】【分析】将代入，得 ，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求出三角形的顶点的轨迹方程，根据图形得出三角形的面积何时最大，进而求出此时的长.【详解】将代入得：，由正弦定理有：,即，则,即,所以 .以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设由，即,所以，即 如图，顶点在圆上,设圆心为 显然当时，三角形的面积最大,由,又所以,又因为，即点在轴上(如图),所以故答案为：【点睛】本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形的面积，从而得解，属于难题.三、解答题：共70分.解
14、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是公差为1的等差数列，是正项等比数列，_，（1）在，这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，判断是否是递增数列，并说明理由.（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，然后分别选，求出和，再利用作商法判断数列的单调性即可；（2）先求出数列的通项，然后利用等比数列前项和公式求解【详解】解：因为是公差为1，首项为1的等差数列，所以.设的公比为.（1）若选，由，得，则，所以是递增数列.若选，由，得，则，所以是递增数列.若选，由，得，则，所以不是递增数列.（2），.【点睛】此题考查等比数列
15、和等差数列基本量计算，判断数列的单调性，数列求和，属于中档题.18. 已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点（1）求证：BDAE（2）若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证明线线垂直，先证明线面垂直，所以观察几何体，先证明平面,而要证明线面垂直，先证明线与平面内的两条相交直线垂直，即证明,;（2）法一，几何法，观察,所以可选择在平面DAE内过点D作DFAE于F，连结BF，DFB为二面角DAEB的平面角，或法二，采用空间向量的方法，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
16、分别求两个平面的法向量，或.试题解析：（1）由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2. 连结AC，ABCD是正方形， BDAC. PC底面ABCD，且BD平面ABCD， BDPC. 又ACPCC，BD平面PAC. AE平面PAC. BDAE. （2）解法1：在平面DAE内过点D作DFAE于F，连结BF.ADAB1，DEBE，AEAE，RtADERtABE，从而ADFABF，BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角在RtADE中，DF， .又BD，在DFB中，由余弦定理得cosDFB，DFB，即二面角DAEB的大小为解法2：如图，以点C为原点，CD，
17、CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则D（1,0,0），A（1,1,0），B（0,1,0），E（0,0,1），从而（0,1,0），（1,0,1），（1,0,0），（0，1,1）Zx设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由，取由，取设二面角DAEB的平面角为，则，即二面角DAEB的大小为考点：1.线面垂直的判定定理；2.二面角.19.某服装店每年春季以每件15元的价格购入型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季
18、度不再购进型号童裤）该服装店统计了过去18年中每年该季度型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）前2月内的销售量（单位：件）304050频数（单位：年）684（1）若今年该季度服装店购进型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售型号童裤获取利润的分布列和期望；（结果保留一位小数）（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件型号童裤时所获得的平均利润最大【答案】（1）分布列见解析，元；（2）40件【解析】【分析】（1）先求出利润的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出对应的概率，得到的分布列，求出期望；（2）分别求出购进型号童裤30件、40件、50件
19、时，利润的期望值，比较即可得出结论.【详解】（1）设服装店某季度销售型号童裤获得的利润为（单位：元）当需求量为30时，当需求量为40时，当需求量为50时，所以，故的分布列为400600则（元）所以服装店今年销售型号童裤获得利润均值为533.3元（2）设销售型号童裤获得利润为依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则服装店每年该季度购进型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件当购进型号童裤30件时，；当购进型号童裤40件时，；当购进型号童裤50件时，所以服装店每年该季度在购进40件型号童裤时所获得的平均利润最大【点睛】本题考查随机变量的分布列和期望，考查应用数学知识解决实际问题，考查计数学
20、建模、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数.（）求证：函数有唯一零点；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II）设的零点为，即原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，即求所求试题解析：（I），易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在上存在唯一零点（II）设的零点为，即原不等式可化为，令，则，由（I）可知在上单调递减，在上单调递增，故
21、只求，设，下面分析，设，则，可得，即若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能因此，即求所求【方法点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路21.已知椭圆的左右焦点分别为，以，和为顶点的梯形的高为，面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为椭圆上的任意两点，若直线与圆相切，求面积的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由梯形的高求出，由梯形的面积，建立关于方程
22、，结合关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线的方程为：，利用直线与圆相切，得到关系，直线方程与椭圆方程联立，设，得出关系，由相交弦长公式，求出关于的函数，根据函数特征，求出其范围，再由，即可求出结论.【详解】（1）由题意，得，且，又，解得，椭圆的方程为（2）如图，设，当圆的切线的斜率存在时，设的方程为：，切点为，连结，则因为与圆相切，所以，所以联立，整理得所以，又若时，因为，当且仅当时，“”成立所以即当时，所以又，所以当圆的切线斜率不存在时，则的方程为或此时，的坐标分别为，或，此时综上，面积的取值范围为【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆以及直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设
23、而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，设曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围.【答案】（1）的普通方程为：；的极坐标方程为：；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间
24、进行转换.（2）利用点到直线的距离公式即的应用即可求出结果.【详解】(1)显然参数由得，代入,并整理得，将代入得，即,故曲线S的普通方程为，极坐标方程为;（2）曲线C的直角坐标方程化为，则曲线C是以（0，2）为圆心，半径为2的圆,当时,直线与曲线没有公共点，当时设直线的方程为，圆心（0，2）到直线的距离为,由，得，所以即的取值范围为【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，普通方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）求函数的最大值；（2）已知，求的最大值【答案】（1）6；（2）【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可【详解】解：（1）因为所以函数图象如下所示：所以（2），令，由条件知，所以，等号成立条件为，即，所以的最大值为【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题
