1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015广东卷)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选C.答案C2.(2016南昌模拟)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线倾斜角为，则双曲线C的离心率为()A.2或 B. C.2或 D.2解析由题意，e，故选B.答案B3.(2015天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A
2、.1 B.1C.1 D.1解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1，选D.答案D4.(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知a，b1，c，不妨设F1(，0)，F2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0).x3y3y10，所以y02a.又A(5，0)在线段PQ上，P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|QF|28.P
3、QF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案447.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是_.解析因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|PF1|2a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1.答案18.过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_.解析如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，此时kPF2，得到c(2)a，即双曲线C
4、的离心率e2.答案2三、解答题9.(2016江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.(1)解e，可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26.(2)证明法一由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32
5、)(32)m23m2，点M(3，0)在双曲线上，9m26，即m230，0.10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0).由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点.(3)由(2)得：
6、xAxB，yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为：yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则双曲线的渐近线方程为()A.x2y0 B.2xy0C.xy0 D.xy0解析抛物线y28x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为直线x2，双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，则双曲线的半焦距c2，a2b24，又|PF|5，点P的横坐标为3，代入抛物线y28x得y2，则P(3，2)，点P在双曲线上，则有1，联立，解得a1，b，双曲线
7、1的渐近线方程为yx.答案D12.(2016太原二模)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|AF2|，F1AF290，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析|AB|AF2|，F1AF290，|BF2|AF2|.又由双曲线的定义知|BF1|BF2|2a，|AF1|AB|AF2|2a，即|AF1|(1)|AF2|2a.又|AF2|AF1|2a，|AF2|2(2)a，|AF1|2(1)a.在RtAF1F2中，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即2(2)a22(1)a2(2c)2，96，e.故选B.答案B13.
8、(2014浙江卷)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_.解析由得点A的坐标为，由得点B的坐标为，则AB的中点C的坐标为，而kAB，由|PA|PB|，可得AB的中点C与点P连线的斜率为3，即kCP3，化简得，所以双曲线的离心率e.答案14.(2016兰州诊断)已知曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.(1)解依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MA x轴.过A、B、D三点的圆与x轴相切.
