1、课时作业(五十二)1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交B相切C相离 D不确定答案A解析直线方程可化为y1k(x1)恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，选A. 2(锦州模拟)已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2C2 D4答案C解析设椭圆方程为1，(ab0)，与直线xy40联立方程有一个交点，0，又c2.a，选C.3椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Q(c，)，PF2Q的周长为36，4
2、a36，a9，由已知5，即5，又a9，解得c6，解得，即e.4(原创)已知点P满足y21，F1(，0)，F2(，0)，则|PF1|PF2|与4的大小关系为()A BC D无法确定答案A解析1y2y2，点P在椭圆y21外部，选A.5(2011江南十校)若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAMkBM()ABCD答案B解析解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，则kAMkBM.解法二(特值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得k
3、AMkBM.6已知点M(5,0)，N(0,5)，P为椭圆1上一动点，则SMNP的最小值为()A5 B5C20 D20答案B解析直线MN的斜率为1，设直线yxm为椭圆1的一切线联立即3x24mx2m260，0，m3，m3时，SMNP最小又yx3与yx5两平行线间的距离为，SMNP最小值为55.7直线1与椭圆1相交于A、B两点，椭圆上的点P使ABP的面积等于12，这样的点P共有()A1个B2个 C3个D4个答案B解析可求出|AB|5，设P(4cos，3sin)，所以P点到AB的距离d，或，所以这样的点P有两个8以椭圆1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是_答案x4y50解析由点差法知，以M
4、(1,1)为中点弦的斜率k，弦的直线方程为y1(x1)9(2010湖北卷)已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0y1，则|PF1|PF2|的取值范围为_，直线y0y1与椭圆C的公共点个数为_答案2,2)0解析依题意得点P位于椭圆C的内部(异于原点O)，因此有|F1F2|PF1|PF2|2a，即2|PF1|PF2|2，2|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|的取值范围是2,2)；依题意，可考虑取特殊点P(1,0)，相应的直线为x2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线y0y1与椭圆的公共点的个数为0.10.已知椭圆1(ab0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的
5、长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为_答案解析如图，因为四边形PAOB为正方形，且PA、PB为圆O的切线，所以OAP是等腰直角三角形，故ab，所以e.11椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是_答案解析由消去y，得(mn)x22nxn10，则MN的中点P的坐标为(，)，kOP.12已知椭圆y21及点B(0，2)，过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求CDF2的面积解析F1(1,0)，直线CD方程为y2x2，由得9x216x60，而0，设C(x1，y1)，D(x2，y2
6、)，则|CD|，|CD|.F2到直线DC的距离d，故SCDF2|CD|d.13(2012广州调研)已知椭圆E：1(a)的离心率e.直线xt(t0)与椭圆E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C.(1)求椭圆E的方程；(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求ABC的面积的最大值解析(1)椭圆E：1(a)的离心率e，解得a2.椭圆E的方程为1.(2)依题意，圆心为C(t,0)(0t2)由得y2.圆C的半径为r.圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离dt，0t，即0t3123212，的取值范围是(12，)(2)弦CD垂直平分弦AB，弦CD所在直线的方程为y3x1，
7、即xy20，将其代入椭圆的方程，整理得4x24x40.设C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中点为M(x0，y0)，则x3、x4是方程的两根，x3x41，x0(x3x4)，y0x02，即M(，)点M到直线AB的距离d，以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为(x)2(y)2.1(2011江西理)若椭圆1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_ 答案1解析由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50，求
8、得切点A(，)，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25，故得所求椭圆方程为1.2在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点(1)写出C的方程；(2)若，求k的值解析(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴b1.故曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k24)x22kx30.故x1x2，x1x2.若，即x1x2y1y20.
9、而y1y2k2x1x2k(x1x2)1.于是x1x2y1y210.化简得4k210.所以k.3椭圆1(ab0)与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点(1)求的值；(2)若椭圆的离心率e满足e，求椭圆长轴的取值范围解析(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OPOQx1x2y1y20，y11x1，y21x2，代入上式得：2x1x2(x1x2)10 又将y1x代入1(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，0，x1x2，x1x2代入化简得2.(2)e21，1 ，又由(1)知b2， a2a，长轴是2a，4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)
10、求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解析(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当ABx轴时，|AB|.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立当k0时，|AB|，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值S|AB|max.1.如图，椭圆
11、中心在坐标原点，离心率为，F为椭圆左焦点，直线AB与FC交于D点，则BDC的正切值是()A3B3C3D3答案C解析e，a2c.a2b2c2，bca.tanABO，tanDFBtanCFO，tanBDCtan(ABODFB)3，选C.2过椭圆1(ab0)的焦点F作弦AB，若|AF|d1，|FB|d2，那么的值为_答案解析法一(特殊值法)：令弦AB与x轴垂直d1d2，.法二：设AB的方程为yk(xc)，b2x2a2k2(xc)2a2b20，(a2k2b2)x22a2k2cxa2k2c2a2b20，x1x2，x1x2，.3设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最
12、大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围解析(1)易知a2，b1，c，所以F1(，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则(x，y)(x，y)x2y23x213(3x28)因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2.当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.(2)显然直线x0不满足题设条件，可设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y，整理得：(k2)x24kx30，x1x2，x1x2.由(4k)24(k2)34k230，解得k或k.又00，解得k.即k的取
13、值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2又y1y2k(x1x2)2所以与AB共线等价于x1x2(y1y2)，将代入上式，解得k.由(1)知k，故没有符合题意的常数k.5(2011合肥质检)已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A(0,2)、B(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设过E(1,0)的直线l与C交于两个不同点M、N，求的取值范围解析(1)设椭圆C的方程为mx2ny21，由椭圆C过A(0,2)、B(，)得：.椭圆C的方程为：8x2y24.(2)当过E(1,0)的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，设直线l
14、的方程为：yk(x1)，l与曲线C交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，由(8k2)x22k2xk240，(x11，y1)，(x21，y2)，(x11，y1)(x21，y2)x1x2x1x21y1y2x1x2x1x21k2(x1x2x1x21)(1k2)(1)4.0k2b0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1，)在该椭圆上(1)求椭圆的方程(2)设P为直线x4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：MBP为钝角三角形解析(1)由题意得2a4，所以a2，所求椭圆方程为1.又点(1，)在椭圆上，可得b21.所求椭圆方程为y21.(2)由(1)知A(2,0)
15、，B(2,0)设P(4，t)(t0)，M(xM，yM)则直线PA的方程为：y(x2)由得(9t2)x24t2x4t2360.因为直线AP与椭圆相交于异于A的点M，所以2xM.所以xM.由yM(xM2)，得yM.所以M(，)从而(，)，(2，t)所以b0)上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|AF2|4.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率解析(1)由椭圆定义知|AF1|AF2|2a4，所以a2，即椭圆方程为1.把A(1,1)代入式得1，所以b2，所以椭圆的标准方程为1.(2)由题意知，AC的倾斜角不为90，故设直线AC的
16、方程为yk(x1)1，联立方程得消去y，得(13k2)x26k(k1)x3k26k10.点A、C在椭圆上，1xC.xC.直线AC、AD的倾斜角互补，直线AD的方程为yk(x1)1.同理xD.xCxD，xCxD.又yCk(xC1)1，yDk(xD1)1，yCyDk(xCxD)2k.直线CD的斜率为.8(2012江南十校联考)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，左、右焦点F1、F2，直线AF2与圆M：x2y26x2y70相切(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)求的取值范围解析(1)将圆M的一般方程x2y26x2y70化为标准方程(x3)2(y1)23，则圆M的圆心为M(3,1)，半径r.由A(0,1)，F2(c,0)(c)，得直线AF2：y1，即xcyc0.由直线AF2与圆M相切，得，解得c或c(舍去)则a2c213，故椭圆C的方程为：y21.(2)由(1)知F1(，0)、F2(，0)，设P(x，y)，由题意知|PO|2|PF1|PF2|，即()2，化简得：x2y21，则x2y211.因为点P在椭圆内，故y21，即x2.1x2.又x22y22x23，10.高考资源网w w 高 考 资源 网
