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2021-2022学年数学北师大版必修一课件:第四章 1-1-1 利用函数性质判定方程解的存在 .ppt

上传人:高**** 文档编号:139854 上传时间:2024-05-25 格式:PPT 页数:50 大小:2.17MB
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1、第四章 函 数 应 用1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在基础认知自主学习 函数的零点(1)定义:函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点(2)函数零点的判断:若函数yf(x)在闭区间a,b上的图像是_曲线,并且在区间端点的函数值符号_,即_0,则 yf(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?提示:不一定,如 yx21,在区间(2,2)上有1 两个零点1辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)设 f(x)1x,由于 f(1)f(1)0,所以 f(x)1x 在(1,1)内有零点()提示:由于 f(x)1x 的图像在1,1上不是连续不断的曲线,所以不能得出其有零点的结论

2、(2)若函数f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)f(b)0.(3)若函数f(x)的图像在区间a,b上是一条连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,则f(x)在(a,b)内只有一个零点()提示:反例:f(x)x(x1)(x2),区间为(1,3),满足条件,但f(x)在(1,3)内有0,1,2三个零点2(教材二次开发:P116 练习 T3)由表格中的数据可以判定函数 f(x)exx2 的一个零点所在的区间为(k,k1)(kN),则 k 的值为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A0 B1 C2 D3【解析】选 B.因为 f(1)2.7230,所以 k1.3函数

3、f(x)x4x 的零点有()A0 个 B1 个 C2 个 D无数个【解析】选 C.令 f(x)0,即 x4x 0,所以 x2.故 f(x)的零点有 2 个能力形成合作探究类型一 求函数的零点(数学运算、直观想象)1下列各图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选 D.选项 D 中,函数图象与 x 轴没有交点,故该函数没有零点2若函数 f(x)x23(m1)xn 的零点是 1 和 2,则函数 ylogn(mx1)的零点是_【解析】因为 f(x)x23(m1)xn 的零点为 1 和 2,所以 1 和 2 是方程 x23(m1)xn0 的两个实数根,所以123(m1),12n,解得m2,n2.所以函

4、数 ylogn(mx1)的解析式为 ylog2(2x1).令 log2(2x1)0,得 x0.所以函数 ylog2(2x1)的零点为 0.答案:03求下列函数的零点:(1)yx1;(2)yx2x6.(3)f(x)12x4;(4)y(ax1)(x2)【解析】(1)令 yx10,得 x1,所以函数 yx1 的零点是 1.(2)yx2x6(x3)(x2),令(x3)(x2)0,得 x2 或 x3,所以函数 yx2x6 的零点是2 和 3.(3)令12x40,得12x4,所以 x2.所以函数 f(x)的零点为2.(4)当 a0 时,y(x2),令 y0 得 x2;当 a0 时,令 y0,得 x11a,

5、x22.当1a 2,即 a12 时,函数的零点为2.当1a 2,即 a12 时,函数的零点为1a,2.综上所述,当 a0 或12 时,所求函数的零点为2,当 a0 且 a12 时所求函数的零点为1a,2.函数零点的求法 求函数 yf(x)的零点通常有两种方法:其一是令 f(x)0,根据解方程 f(x)0的根求得函数的零点;其二是画出函数 yf(x)的图像,图像与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点【补偿训练】若函数 f(x)x2xa 的一个零点是3,求实数 a 的值,并求函数 f(x)其余的零点【解析】由题意知 f(3)0,即(3)23a0,a6,所以 f(x)x2x6.解方程 x2x60,得

6、 x3 或 2.所以函数 f(x)其余的零点是 2.类型二 判定函数零点所在区间(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数 f(x)6x log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是()A(0,1)B(2,3)C(3,4)D(4,)【思路导引】在区间(a,b)上检验 f(a)f(b)是否满足函数零点存在性定理【解析】选 C.因为 f(x)6x log2x,所以 f(x)为(0,)上的减函数,且 f(1)60,f(2)3log2220,f(3)2log230,f(4)32 212 0,由零点存在性定理可知,包含 f(x)零点的区间是(3,4).确定函数零点、方程解所在的区间,通常利用函数零点

7、的存在性定理,转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反1已知函数 f(x)x3x1 仅有一个正零点,则此零点所在区间是()A(3,4)B(2,3)C(1,2)D(0,1)【解析】选 C.因为 f(1)10,所以 f(1)f(2)0,f12e12 2 3 20,所以 f(1)f120,由零点的存在性定理可知函数 f(x)ex1x 的零点所在的区间是12,1.方法二:令 f(x)ex1x 0 可得 ex1x,在同一坐标系内画出函数 g(x)ex 和h(x)1x 的图像,如图所示,由图得一个交点,因为 g12 e h(1)1,所以两函数图像交点的横坐标在12,1内,即函数 f(x)ex1x的零

8、点所在的区间是12,1.类型三 判断函数零点个数(数学抽象、直观想象)角度 1 直接法【典例】函数 f(x)x22x3,x0,2ln x,x0的零点个数为()A3 B2 C1 D0【思路导引】分别解出每段的零点,它们就是原函数的零点【解析】选 B.当 x0 时,令 x22x30,解得 x3;当 x0 时,令2ln x0,解得 xe2,所以已知函数有两个零点,故选 B.函数 f(x)2xlg(x1)2 的零点个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选 B.方法一:如图,在同一坐标系中作出 h(x)22x 和 g(x)lg(x1)的大致图像由图知,g(x)lg(x1)和 h(x)22x 的图像有且

9、只有一个交点,即 f(x)2xlg(x1)2 有且只有一个零点方法二:因为 f(0)10210,f(1)2lg 22lg 20,所以 f(x)在(0,1)上必定存在零点又显然 f(x)2xlg(x1)2 在(1,)上为增函数,故 f(x)有且只有一个零点 角度 2 转化法【典例】已知函数 f(x)|x22x|a.(1)当 a0 时,画出函数 f(x)的简图,并指出 f(x)的单调递减区间(2)若函数 f(x)有 4 个零点,求 a 的取值范围【思路导引】画出函数 y|x22x|的图像分析图像与直线 ya 的交点个数【解析】(1)当 a0 时,函数 f(x)|x22x|x(x2)|的图像如图所示

10、:由函数的图像可得 f(x)的减区间为(,0),(1,2).(2)若函数 f(x)有 4 个零点,则方程|x22x|a 有 4 个不等实根,即函数 y|x22x|的图像和直线 ya 有 4 个交点,结合(1)中函数的图像可得 0a1.角度 3 单调性法【典例】函数 f(x)ln xx23 的零点的个数是_【思路导引】利用零点存在性定理和函数单调性判断【解析】因为 f(1)20,f(2)ln 210;所以 f(1)f(2)0.又 f(x)ln xx23 的图像在(1,2)上是不间断的,所以 f(x)在(1,2)上必有零点又f(x)在(0,)上是递增的,所以零点只有 1 个答案:1判断函数零点个数

11、的三种常用方法(1)直接法:用计算器或计算机计算并描点作出函数 f(x)g(x)h(x)的图像,由图像、函数的单调性及零点的判断方法作出判定(2)转化法:由 f(x)g(x)h(x)0,得 g(x)h(x),在同一坐标系下作出 y1g(x)和 y2h(x)的叠合图,利用图像判定方程根的个数(3)单调性法:利用 f(a)f(b)0 及函数的单调性,可判定 yf(x)在(a,b)上零点的个数提醒:求函数 f(x)g(x)h(x)的零点个数时,要注意观察函数 f(x),g(x),h(x)的图像哪个易于画出,正确选择解题方法1若函数 f(x)在定义域x|x0上是偶函数,且在(0,)上是减函数,f(2)

12、0,则函数 f(x)的零点有()A一个B两个C至少两个D无法判断【解析】选 B.因为函数 f(x)在(0,)上是减函数,f(2)0,所以 f(x)在(0,)上的图象与 x 轴只有一个交点,又因为 f(x)在定义域x|x0上是偶函数,所以 f(x)在(,0)上的图象与 x 轴也只有一个交点,即 f(2)0,故函数 f(x)的零点共有两个2判断 f(x)x234 x58 的零点个数【解析】由 f(x)0,即 x234 x58 0,得 342458 3116 0有且仅有 3个零点,求 a 的取值范围【解析】函数 f(x)xxa(x0)有且仅有 3 个零点,即方程xxa(x0)有且仅有3 个不同的实数

13、根,即函数 yxx(x0)的图像与直线 ya 有且仅有 3 个不同的交点设 g(x)xx(x0),则当 0 x1 时,g(x)0;当 1x2 时,g(x)1x 12,1;当 2x3 时,g(x)2x 23,1;当 3x4 时,g(x)3x 34,1;当 4x5 时,g(x)4x 45,1;,g(x)的图像如图所示,故要使 g(x)的图像与直线 ya 有且仅有 3 个交点,需满足34a45.故 a 的取值范围为34,45.备选类型 已知函数有零点、方程有根,求参数的范围(直观想象)【典例】若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是_.【思路导引】把函数的零点转化为图像的交

14、点问题求解【解析】由 f(x)|2x2|b0,得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb 的图像,如图所示则当 0b0,a1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是_【解析】函数 f(x)的零点个数就是函数 yax 与函数 yxa 图像的交点个数如图,由函数 yax 和 yxa 的图像可知,当 a1 时,两个函数图像有两个交点;当 0a1.答案:(1,)2(2020天津高考)已知函数 f(x)x3,x0,x,x0,1,x0,当 k0 时,此时 y2,如图 1,y2 与 h(x)f(x)|x有 1 个交点,不满足题意;当 k0 时,如图 3,当 ykx2 与 yx2 相切

15、时,联立方程得 x2kx20,令 0 得 k280,解得 k2 2(负值舍去),所以 k2 2.综上,k 的取值范围为(,0)(2 2,).1函数 y11x 的零点是()A(1,0)B1 C1 D0学情诊断课堂测评【解析】选 B.令 11x 0,解得 x1.2二次函数 yx22x3 的零点和顶点坐标分别为()A3,1;(1,4)B3,1;(1,4)C3,1;(1,4)D3,1;(1,4)【解析】选 C.配方:yx22x3(x1)24,得抛物线的顶点为(1,4).解方程 x22x30,得 x13,x21.3函数 f(x)2x1x 的零点所在的区间是()A(1,)B12,1C13,12D14,13【解析】选 B.f(1)211,f12212 2 2 20,即 f12f(1)0,且 f(x)的图像在12,1内是一条连续不断的曲线,故 f(x)的零点所在的区间是12,1.4若函数 f(x)x22xa 没有零点,则实数 a 的取值范围是()Aa1 Ca1 Da1【解析】选 B.由题意知,44a1.5若 f(x)xb 的零点在区间(0,1)内,则 b 的取值范围为_【解析】因为 f(x)xb 是增函数,又 f(x)xb 的零点在区间(0,1)内,所以f(0)0,所以b0,所以1b0.答案:(1,0)

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