1、第四章 函 数 应 用1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在基础认知自主学习 函数的零点(1)定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点(2)函数零点的判断：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是_曲线，并且在区间端点的函数值符号_，即_0，则 yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示：不一定，如 yx21，在区间(2，2)上有1 两个零点1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)设 f(x)1x，由于 f(1)f(1)0，所以 f(x)1x 在(1，1)内有零点()提示：由于 f(x)1x 的图像在1，1上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论
2、(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.(3)若函数f(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点()提示：反例：f(x)x(x1)(x2)，区间为(1，3)，满足条件，但f(x)在(1，3)内有0，1，2三个零点2(教材二次开发：P116 练习 T3)由表格中的数据可以判定函数 f(x)exx2 的一个零点所在的区间为(k，k1)(kN)，则 k 的值为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A0 B1 C2 D3【解析】选 B.因为 f(1)2.7230，所以 k1.3函数
3、f(x)x4x 的零点有()A0 个 B1 个 C2 个 D无数个【解析】选 C.令 f(x)0，即 x4x 0，所以 x2.故 f(x)的零点有 2 个能力形成合作探究类型一 求函数的零点(数学运算、直观想象)1下列各图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选 D.选项 D 中，函数图象与 x 轴没有交点，故该函数没有零点2若函数 f(x)x23(m1)xn 的零点是 1 和 2，则函数 ylogn(mx1)的零点是_【解析】因为 f(x)x23(m1)xn 的零点为 1 和 2，所以 1 和 2 是方程 x23(m1)xn0 的两个实数根，所以123（m1），12n，解得m2，n2.所以函
4、数 ylogn(mx1)的解析式为 ylog2(2x1).令 log2(2x1)0，得 x0.所以函数 ylog2(2x1)的零点为 0.答案：03求下列函数的零点：(1)yx1；(2)yx2x6.(3)f(x)12x4；(4)y(ax1)(x2)【解析】(1)令 yx10，得 x1，所以函数 yx1 的零点是 1.(2)yx2x6(x3)(x2)，令(x3)(x2)0，得 x2 或 x3，所以函数 yx2x6 的零点是2 和 3.(3)令12x40，得12x4，所以 x2.所以函数 f(x)的零点为2.(4)当 a0 时，y(x2)，令 y0 得 x2；当 a0 时，令 y0，得 x11a，
5、x22.当1a 2，即 a12 时，函数的零点为2.当1a 2，即 a12 时，函数的零点为1a，2.综上所述，当 a0 或12 时，所求函数的零点为2，当 a0 且 a12 时所求函数的零点为1a，2.函数零点的求法 求函数 yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令 f(x)0，根据解方程 f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数 yf(x)的图像，图像与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点【补偿训练】若函数 f(x)x2xa 的一个零点是3，求实数 a 的值，并求函数 f(x)其余的零点【解析】由题意知 f(3)0，即(3)23a0，a6，所以 f(x)x2x6.解方程 x2x60，得
6、 x3 或 2.所以函数 f(x)其余的零点是 2.类型二 判定函数零点所在区间(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数 f(x)6x log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A(0，1)B(2，3)C(3，4)D(4，)【思路导引】在区间(a，b)上检验 f(a)f(b)是否满足函数零点存在性定理【解析】选 C.因为 f(x)6x log2x，所以 f(x)为(0，)上的减函数，且 f(1)60，f(2)3log2220，f(3)2log230，f(4)32 212 0，由零点存在性定理可知，包含 f(x)零点的区间是(3，4).确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点
7、的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反1已知函数 f(x)x3x1 仅有一个正零点，则此零点所在区间是()A(3，4)B(2，3)C(1，2)D(0，1)【解析】选 C.因为 f(1)10，所以 f(1)f(2)0，f12e12 2 3 20，所以 f(1)f120，由零点的存在性定理可知函数 f(x)ex1x 的零点所在的区间是12，1.方法二：令 f(x)ex1x 0 可得 ex1x，在同一坐标系内画出函数 g(x)ex 和h(x)1x 的图像，如图所示，由图得一个交点，因为 g12 e h(1)1，所以两函数图像交点的横坐标在12，1内，即函数 f(x)ex1x的零
8、点所在的区间是12，1.类型三 判断函数零点个数(数学抽象、直观想象)角度 1 直接法【典例】函数 f(x)x22x3，x0，2ln x，x0的零点个数为()A3 B2 C1 D0【思路导引】分别解出每段的零点，它们就是原函数的零点【解析】选 B.当 x0 时，令 x22x30，解得 x3；当 x0 时，令2ln x0，解得 xe2，所以已知函数有两个零点，故选 B.函数 f(x)2xlg(x1)2 的零点个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选 B.方法一：如图，在同一坐标系中作出 h(x)22x 和 g(x)lg(x1)的大致图像由图知，g(x)lg(x1)和 h(x)22x 的图像有且
9、只有一个交点，即 f(x)2xlg(x1)2 有且只有一个零点方法二：因为 f(0)10210，f(1)2lg 22lg 20，所以 f(x)在(0，1)上必定存在零点又显然 f(x)2xlg(x1)2 在(1，)上为增函数，故 f(x)有且只有一个零点 角度 2 转化法【典例】已知函数 f(x)|x22x|a.(1)当 a0 时，画出函数 f(x)的简图，并指出 f(x)的单调递减区间(2)若函数 f(x)有 4 个零点，求 a 的取值范围【思路导引】画出函数 y|x22x|的图像分析图像与直线 ya 的交点个数【解析】(1)当 a0 时，函数 f(x)|x22x|x(x2)|的图像如图所示
10、：由函数的图像可得 f(x)的减区间为(，0)，(1，2).(2)若函数 f(x)有 4 个零点，则方程|x22x|a 有 4 个不等实根，即函数 y|x22x|的图像和直线 ya 有 4 个交点，结合(1)中函数的图像可得 0a1.角度 3 单调性法【典例】函数 f(x)ln xx23 的零点的个数是_【思路导引】利用零点存在性定理和函数单调性判断【解析】因为 f(1)20，f(2)ln 210；所以 f(1)f(2)0.又 f(x)ln xx23 的图像在(1，2)上是不间断的，所以 f(x)在(1，2)上必有零点又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有 1 个答案：1判断函数零点个数
11、的三种常用方法(1)直接法：用计算器或计算机计算并描点作出函数 f(x)g(x)h(x)的图像，由图像、函数的单调性及零点的判断方法作出判定(2)转化法：由 f(x)g(x)h(x)0，得 g(x)h(x)，在同一坐标系下作出 y1g(x)和 y2h(x)的叠合图，利用图像判定方程根的个数(3)单调性法：利用 f(a)f(b)0 及函数的单调性，可判定 yf(x)在(a，b)上零点的个数提醒：求函数 f(x)g(x)h(x)的零点个数时，要注意观察函数 f(x)，g(x)，h(x)的图像哪个易于画出，正确选择解题方法1若函数 f(x)在定义域x|x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)
12、0，则函数 f(x)的零点有()A一个B两个C至少两个D无法判断【解析】选 B.因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以 f(x)在(0，)上的图象与 x 轴只有一个交点，又因为 f(x)在定义域x|x0上是偶函数，所以 f(x)在(，0)上的图象与 x 轴也只有一个交点，即 f(2)0，故函数 f(x)的零点共有两个2判断 f(x)x234 x58 的零点个数【解析】由 f(x)0，即 x234 x58 0，得 342458 3116 0有且仅有 3个零点，求 a 的取值范围【解析】函数 f(x)xxa(x0)有且仅有 3 个零点，即方程xxa(x0)有且仅有3 个不同的实数
13、根，即函数 yxx(x0)的图像与直线 ya 有且仅有 3 个不同的交点设 g(x)xx(x0)，则当 0 x1 时，g(x)0；当 1x2 时，g(x)1x 12，1；当 2x3 时，g(x)2x 23，1；当 3x4 时，g(x)3x 34，1；当 4x5 时，g(x)4x 45，1；，g(x)的图像如图所示，故要使 g(x)的图像与直线 ya 有且仅有 3 个交点，需满足34a45.故 a 的取值范围为34，45.备选类型 已知函数有零点、方程有根，求参数的范围(直观想象)【典例】若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.【思路导引】把函数的零点转化为图像的交
14、点问题求解【解析】由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb 的图像，如图所示则当 0b0，a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_【解析】函数 f(x)的零点个数就是函数 yax 与函数 yxa 图像的交点个数如图，由函数 yax 和 yxa 的图像可知，当 a1 时，两个函数图像有两个交点；当 0a1.答案：(1，)2(2020天津高考)已知函数 f(x)x3，x0，x，x0，1，x0，当 k0 时，此时 y2，如图 1，y2 与 h(x)f（x）|x有 1 个交点，不满足题意；当 k0 时，如图 3，当 ykx2 与 yx2 相切
15、时，联立方程得 x2kx20，令 0 得 k280，解得 k2 2(负值舍去)，所以 k2 2.综上，k 的取值范围为(，0)(2 2，).1函数 y11x 的零点是()A(1，0)B1 C1 D0学情诊断课堂测评【解析】选 B.令 11x 0，解得 x1.2二次函数 yx22x3 的零点和顶点坐标分别为()A3，1；(1，4)B3，1；(1，4)C3，1；(1，4)D3，1；(1，4)【解析】选 C.配方：yx22x3(x1)24，得抛物线的顶点为(1，4).解方程 x22x30，得 x13，x21.3函数 f(x)2x1x 的零点所在的区间是()A(1，)B12，1C13，12D14，13【解析】选 B.f(1)211，f12212 2 2 20，即 f12f(1)0，且 f(x)的图像在12，1内是一条连续不断的曲线，故 f(x)的零点所在的区间是12，1.4若函数 f(x)x22xa 没有零点，则实数 a 的取值范围是()Aa1 Ca1 Da1【解析】选 B.由题意知，44a1.5若 f(x)xb 的零点在区间(0，1)内，则 b 的取值范围为_【解析】因为 f(x)xb 是增函数，又 f(x)xb 的零点在区间(0，1)内，所以f（0）0，所以b0，所以1b0.答案：(1，0)