1、第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学习要求:1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词.(2)命题pq、pq、p的真假判断:pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真提醒逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题.2.全称量词与存在量词量词名称常见短语符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存
2、在一个、至少一个、有些、某些等3.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记xM,p(x)x0M,p(x0)4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM,p(x)x0M,p(x0)x0M,p(x0)xM,p(x)提醒含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.知识拓展1.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“p”,真假相反.2.命题pq的否定是(p)(q);命题pq的否定是(p)(q).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)命题“56或52”是假命题.()(
3、2)pq为真的充要条件是p为真或q为真.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.()(5)若命题p,q中至少有一个是真命题,则pq是真命题.()(6)若命题(pq)是假命题,则命题p,q中至多有一个是真命题.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(人教A版必修第一册P30例4改编)命题“对任意的xR,3x3-2x2+40”的否定是 ()A.不存在xR,3x3-2x2+40B.存在xR,3x3-2x3+40C.存在xR,3x3-2x2+40D.存在xR,3x3-2x2+40答案C3.命题“x0R,x0+10”的否定是
4、()A.x0R,x0+10或x02-x00B.xR,x+10或x2-x0C.x0R,x0+10且x02-x00D.xR,x+10且x2-x0答案D4.若命题“x0-1,1,x02+3x0+a0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(-,-4解析由题意,命题“x0-1,1,x02+3x0+a0”为假命题,可知“x-1,1,x2+3x+a0”为真命题,令g(x)=x2+3x+a,则x-1,1,g(x)0恒成立,因为g(x)=x2+3x+a图象的对称轴为直线x=-32,所以g(x)在x-1,1上单调递增,所以只需g(1)0即可,即4+a0,解得a-4,即a(-,-4.5.已知命题p:若xy,则-x1
5、y,则xx2B.x0R,lg x0=0C.x0,2,xsin xD.x0R,sin x0+cos x0=3答案BC5.下列命题为真命题的是()A.x0R,x02x0-2B.xR,2x2-x2C.函数f(x)=1x是定义域上的减函数D.能“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个能被2整除的整数不是偶数”答案D6.已知a0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是()A.x0R, f(x0)f(x1)B.x0R, f(x0)f(x1)C.xR, f(x)f(x1)D.xR, f(x)f(x1)答案C7.命题p:x0R,2x00,命
6、题q:x(0,+),xsin x,其中真命题是;命题p的否定是.答案q;xR,2x0方法技巧1.对全称命题与特称命题进行否定的方法(1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改变.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.2.全称命题与特称命题的真假判断的方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立,
7、否则,这一特称命题就是假命题.提醒因为命题p与p的真假性相反.因此无论是全称命题,还是特称命题,当其真假性不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.含逻辑联结词的命题的真假判断典例1(1)已知命题p:xR,2x0;命题q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则在下列命题中为真命题的是()A.p(q)B.(p)(q)C.(p)qD.pq答案(1)B(2)A解析(1)容易判断当x0时,2x3x,故命题p为假命题,分别作出函数y=x3,y=1-x2的图象,易知命题q为真命题.根据真值表易判断(p)q为真命题.(2)由指数函数的性质可知,命题p是真命题,则命题p是假命题;显然,“x1”是“x2”的必要不
8、充分条件,即命题q是假命题,命题q是真命题.所以命题p(q)是真命题.规律总结1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义.(2)判断命题真假的步骤:确定命题的构成形式判断简单命题的真假判断复合命题的真假2.含有逻辑联结词的命题的真假的等价关系(1)pq真p,q至少一个真(p)(q)假.(2)pq假p,q均假(p)(q)真.(3)pq真p,q均真(p)(q)假.(4)pq假p,q至少一个假(p)(q)真.(5)p真p假;p假p真.1.已知命题p:x0,ln(x+1)0;命题q:若ab,则a2b2.下列命题为真命题的是
9、()A.pqB.p(q)C.(p)qD.(p)(q)答案B当x0时,x+11,因此ln(x+1)0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足ab,但显然a2b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性可知选B.2.“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的条件.答案必要不充分解析p或q为真命题/ p且q为真命题,p且q为真命题p或q为真命题.由命题的真假确定参数的取值范围典例2(1)已知命题“xR,使2x2+(a-1)x+120”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,3)C.(-3,+)D.(-3,1)(2)已知a0,且a1,命题p:函数y=loga(x+1)在x(0
10、,+)内单调递减,命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“pq”为假,则a的取值范围是()A.1,52B.-,121,52C.12,52D.12,152,+答案(1)B(2)A解析(1)因为命题“xR,使2x2+(a-1)x+120”是假命题,所以2x2+(a-1)x+120恒成立,所以=(a-1)2-42120,解得-1a3,故实数a的取值范围是(-1,3).故选B.(2)当0a1时,函数y=loga(x+1)在(0,+)内不是单调递减的.若p为假,则a1.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)2-40,即a52.若q为假,则a12,
11、52.若使“pq”为假,则a(1,+)12,52,即a1,52.名师点评根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题,特称命题可转化为存在性问题.(2)含有逻辑联结词的问题:求出每个命题是真命题时的参数的取值范围;根据题意确定每个命题的真假;由各个命题的真假列出关于参数的不等式(组)并求解.1.若命题“x0R,2x02-3ax0+90”,=4-4m1,m的取值范围为(1,+),则a=1.A组基础达标1.(2020辽宁沈阳郊联体期末)命题p:x0,都有ex-x+1,则命题p的否定为()A.x0,都有ex-x+1B.x0,都有ex-x+1C.x00,ex0-x0+1D.x00
12、,ex00,a+1a2,命题q:x0R,sin x0+cos x0=3,则() A.p是假命题B.pq是真命题C.p(q)是真命题D.(p)q是真命题答案BC3.已知命题p:m0,1,x+1x2m,则p为()A.m0,1,x+122mB.m00,1,x+1x2m0C.m0(-,0)(1,+),x+1x2m0D.m00,1,x+1x2m0答案D4.“pq为真”是“p为假”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B5.若命题p:对任意的xR,都有x3-x2+10,则p为()A.不存在x0R,使得x03-x02+10B.存在x0R,使得x03-x02+1|b
13、|,则a2b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是()A.“pq”为真命题B.“pq”为真命题C.“p”为真命题D.“q”为真命题答案AD7.命题“函数y=f(x)(xM)是偶函数”的否定为()A.x0M, f(-x0)f(x0)B.xM, f(-x)f(x)C.xM, f(-x)=f(x)D.x0M, f(-x0)=f(x0)答案A8.(2020黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考)已知命题p:R,sin +cos =54,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是()A.(p)qB.pqC.(p)(q)D.(p)(q)答案Dsin +cos =2sin+42,
14、254,R,sin +cos =54,故命题p为真命题;命题q:因为当x=1时,对数值为0,所以命题q是假命题.p为假,q为真,(p)(q)为真命题.故选D.9.(2020吉林长春第二实验中学期末)若命题“x0R,x02+2mx0+m+20”为假命题,则m的取值范围是()A.(-,-12,+)B.(-,-1)(2,+)C.-1,2D.(-1,2)答案C若命题“x0R,x02+2mx0+m+2C,cos Bcos CC.若命题p:x0R,x020,则命题p:xR,x2y0”是“x2y2”的必要不充分条件;命题q:“x0,2x1”的否定是“x0,2x1”,则下列命题为真命题的是()A.pqB.(p
15、)(q)C.pqD.p(q)答案B根据不等式的性质,若xy0,则x2y2;反之,若x2y2,则x2-y20,即(x+y)(x-y)0,因为x,y的正负不确定,所以不能推出xy0,因此“xy0”是“x2y2”的充分不必要条件,即命题p为假命题,所以p为真命题;命题q:“x0,2x1”的否定是“x0,2x1”,故命题q为假命题,所以q为真命题,所以pq为假,pq为假,p(q)为假,(p)(q)为真.故选B.12.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高三上学期开学考)已知命题p:“x1,e,aln x”,命题q:“xR,x2-4x+a=0”,若“pq”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(1,4B.
16、(0,1C.-1,1D.(4,+)答案A若命题p:“x1,e,aln x”为真命题,则aln e=1,若命题q:“xR,x2-4x+a=0”为真命题,则=16-4a0,解得a4,若命题“pq”为真命题,则p,q都是真命题,则a1,a4,解得1a4.故实数a的取值范围为(1,4.故选A.13.(2020安徽“皖江名校”高三模拟)已知命题p:x0,2,x-sin x0,则p为.答案x00,2,x0-sin x0x+1”,则命题p为.答案x0(0,+),x0x0+1C组思维拓展15.(2020湖北黄冈高二月考)已知mR,命题p:对任意实数x,不等式x2-2x-1m2-3m恒成立,若p为真命题,则m的
17、取值范围是.答案(-,1)(2,+)解析y=x2-2x-1=(x-1)2-2-2,对任意实数x,不等式x2-2x-1m2-3m恒成立,所以(x2-2x-1)minm2-3m,即m2-3m-2,解得1m2,因为p为真命题,所以p为假命题,所以m2.16.已知命题p:x2+4x+30,q:xZ,且“pq”与“q”同时为假命题,则x=.答案-2解析若p为真,则x-1或x-3,因为“q”为假,所以q为真,即xZ,又因为“pq”为假,所以p为假,故-3x0,x1+x2=-m0,解得m2,当q为真命题时,=16(m-2)2-160,解得1m2,m1或m3,所以m3;当p为假,q为真时,m2,1m3,所以1m2,综上,m的取值范围为(1,23,+).
