1、人教版5年级数学下爬坡题第一单元 观察物体【例1】从上面看是，从左面看是。搭这样的立体图形，最多用（）个小立体方块。A 4 B5 C6 D 7解析：本题考查的知识点是从不同的方向观察几何体，考查了学生的空间表象能力，解答时要用到分析、推理和排除法。方法提示：推理法和排除法是解答此类问题常用的方法。根据从上面看到的图形可得：这个图形只有一行，有3个正方体；从左面看到的图形可得：这个图形一共有2层；要使小正方体个数最多，则上层需要有3个正方体；最多需要：3+3=6（个）就可以搭成这样一个立体图形。解答：C【例2】如图所示，要使从上面看到的图形不变：（1）如果是5个小正方体，可以怎样摆？（2）如果有
2、6个小正方体，可以有几种不同的摆法？（3）最少需要几个小正方体？解析：本题考查的知识点是用数学的“分类讨论思想”解答小正方体的拼摆问题。解答时，由上面看到的图形得出：几何体的最下面一层有3列，最右边一列有2行。（1）如果是5个小正方体，可以把第5个摆放在第二层的任何一个小正方体的上面；（2）如果有6个小正方体，可以有10种不同的摆法：摆成2层的，有6种摆法，摆成3层，有4种摆法。（3）根据图形分析，几何体至少是1层，因此最少需要4个小正方体。解答：（1）如果是5个小正方体，可以把第5个摆放在第二层的任何一个小正方体的上面。（2）如图2，如果有6个小正方体，可以有10种不同的摆法；摆成2层的，有
3、6种摆法，摆成3层，有4种摆法。分类讨论思想：分成若干类，转化成若干个小问题来解决（3）根据从上面看图分析，几何体至少是1层，因此最少需要4个小正方体。【例3】用4个同样大小的正方体，摆成下面下面的长方体，按下面的要求再添加一个同样大小的正方体，各有多少种不同的摆法？（1）从侧面看到的是，共有（）种不同的摆法。（2）从侧面看到的是，共有（ ）种不同摆法。（3）从上面看到的是，共有（）种摆法。解析：本题考查的知识点是用“分类讨论思想”解答小正方体的拼摆问题。解答时，要根据要求，分情况讨论各有几种不同的摆法。（1）从侧面看到的形状是，也就是说第5个小正方体可以摆在第一横行每个小正方体的后面，这样就
4、有4种不同的摆法。（2）从侧面看到的是，也就说摆成的小正方体有2层，这样第5个小正方体可以摆在第一层任意一个小正方体的上面，这样也有4种不同的摆法。（3）从上面看到的形状是，也就是说这样的位置摆放是固定的，因此只有一种摆法。解答：（1）4（2）4（3）1【例4】一个物体是由棱长为1的正方体模型堆砌而成，从不同方向看到的形状图如下图。该物体的体积有几个小正方体组成的？解析：本题考查的知识点是综合利用“分析综合法”根据从三个方向观察到的图形来确定和判断组成几何体的小正方体的个数问题。从正面、左面看到的最多层数，就是该物体的层数共两层，下层6个，分两行，上、下行各3个，上层1个，位于下层前排左面一个
5、小正方体之上，这样一共有6+1=7（个）小正方体。解答：7个【例5】红红和亮亮分别用5个同样的小正方体摆成立体图形，从右面看到的图形是 ，从正面看到的图形是，你能判断出他们谁摆的正确吗？ 红红 亮亮解析：本题考查的知识点是用对应法分析和判断搭成的物体的形状。我们先看红红搭的，从右能看到4个正方形，分两列，左列1个，右列3个，下齐；从正面看到4个正方形，分两列，左列3个，右列1个，下齐。再看亮亮的，从右面能看到4个正方形，分两列，左列3个，右列1个，下齐，从正面看到的形状与从右面看到的形状相同，由此即可判定谁搭的正确。解答:红红拼摆的正确。第二单元 因数和倍数【例1】从图中的3个橄榄枝可以读出：
6、（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。解析：本题考查的知识点有数学的“数形结合”思想和利用因数、倍数知识判断谁是谁的因数，谁是谁的倍数。解答时要先读懂图形中隐含的数学信息：每支树叶5片，3支共有15片树叶。这样就可以得出53=15、153=5、155=3，所以5和3是15的因数，15是5和3的倍数。解答：5 3 15 15 3 5【例2】小明家有三种塑料桶，分别是5千克装，10千克装，2千克装的。妈妈计划买75千克花生油，选（ ）塑料桶装能正好把豆油装完，需这样的桶（ ）个。解析：本题考查的知识点是判断一个数是不是另一个数的因数。解答时可以利用“筛选法”和“排除法”来进行
7、分析和思考。先看5、10和2这三个数哪个数是75的因数。因为75的个位数字是5，所以排除10和2，所以选用5千克装的。又因为755=15（个），因此需要15个油桶。解答：5 15【例3】体育课上，30名学生站成一行，按老师口令从左到右报数：1，2，3，4，30。（1）老师先让所报的数是2的倍数的同学去跑步，参加跑步的有多少人？（2）余下学生中所报的数是3的倍数的同学进行跳绳训练，参加跳绳的有多少人？（3）两批同学离开后，再让余下同学中所报的数是5的倍数的同学去器材室拿篮球，有几个人去拿篮球？（4）现在队伍里还剩多少人？解析：本题考查的知识点：找一个数的倍数的方法，能被2、3、5整除的数的特征。
8、由于数据较多，解答时可以采用“列举法”先列出1至30数表，再利用排除法一一筛选来进行解答。（1）利用自然数中奇偶数的排列规律直接计算得出；（2）在余下的奇数中找出3的倍数；（3）找30以内能被5整除且不能被3整除的奇数；在前三题的基础上；（4）通过计算得出。解答（1）302=15（人） 答：参加跑步的有15人。（2）30以内既能被3整除又是奇数的是：3，9，15，21，27。答：参加跳绳的有5人。（3）30以内能被5整除不能被3整除，且是奇数的数是：5，25。答：有2个人去拿篮球。（4）30-15-5-2=8（人）答：现在队伍里还剩8人。【例4】学校要把74枝铅笔和80本练习本平均奖给几名优秀
9、学生，结果铅笔多出4枝，练习本少了4本。得奖的同学最多有多少人？解析：本题考查的知识点是灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题。铅笔74支减去4支，余下的70支是得奖同学人数的整数倍；80本练习本加上4本，得到84本是得奖同学人数的整数倍；所以得奖同学最多人数是70和84的最大公因数。方法提示：人数是铅笔支数和练习本本数的最大公因数。解答：74-4=70 80+4=8470=25784=223770和84的最大公因数是27=14答：得奖的同学最多有14人。【例5】一盒棋子共有96个，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完。共有几种拿法？解析：本题考查的
10、知识点是找一个数的因数的方法。解答时要抓住拿完时又正好不多不少，说明每次拿出的个数都是96的因数来解答。解答：96=222223，那么96的因数可以表示为：96=196=248=332=616=424=812，一共有12个因数，不一次拿出，也不一个个地拿，96和1这对因数不要，这样一共有10种拿法。答：共有10种拿法。【例6】小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。（1）小船摆渡11次后，船在南岸还是在北岸，为什么？（2）有人说摆渡100次后，小船在北岸，他的说法对吗？为什么？解析：本题考查的知识点是奇数和偶数的特征。解答时，可以采用列举法列举出小船最初在南岸（如下图），则
11、第一次摆渡后到达北岸，第二次摆渡到达南岸；第三次到达北岸，第四次南岸，这样在南北岸之间不断往返。由此发现，在摆渡奇数次后，船在北岸，摆渡遇数次后，船在南岸。解答：在摆渡奇数次后，小船在北岸，摆渡遇数次后，小船在南岸。（1）11为奇数，所以摆渡11次后，小船在北岸；（2）100为偶数，所以摆渡100次后，小船在南岸。【例7】在1100这100个自然数中任取其中的几个数，要使这几个数中至少有一个合数，则至少取（ ）个数。解析：本题考查的知识点有100以内的质数、抽屉原理。解答时先用列举法列举出1到100这100个自然数中共有25个质数，其中1既不是质数也不是合数。在最坏的情况下，拿到这26个非合数
12、之后，只要在拿一个数，必然会出现一个合数。因此要保证多少取出一个合数，至少取27个数。解答：27【例8】幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了48颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？解析：本题考查的知识点是灵活运用一个数的因数的个数来解答简单的实际问题。解答时先用“列举法”列举出48的因数：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48。根据题意可以知道，不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2，3，4，6，8，12，16，24，48个小朋友。解答：小朋友的人数可能是2，3，4，6，8，12，16，24，48。【例9】仔细观察填一填。 （12,18,6,14,80,52,74,96）
13、（11,9,23,29,35,49,81,97）（1）从第一个括号里任意取2个数和是( ),从第2个括号里任意取2个数和是（ ）。（2）分别从第1个括号里和第2个括号里各取一个数相加和是（ ）。（3）偶数+偶数=（）奇数+奇数=（ ）偶数奇数（）。解析：本题考查的知识点是用不完全归纳法概括奇数和偶数的运算性质。解答时，可以按照要求多列举几个数求和，然后再进行归纳和概括。解答：（1）偶数 偶数 （2）奇数 （3）偶数 偶数 奇数【例10】在17的后面添上三个数字，使这个五位数既是偶数，同时又有因数3和5，这个五位数最大是（ ），最小是（ ）。解析：本题考查的知识点有偶数、3、5倍数的特征，解答时
14、要利用推理分析以及排除法来进行解答。首先，写出来的数是偶数，这个数的个位数字只能是0、2、4、6、8；其次，这个数有因数5，说明个位数字只能是0或5，这样可以确定个位数字只能是0；接着看含有因数3的数：写出来的这个数的后三位要保证和是3的倍数，因为1+7=8，所以最大的数的百位上的数是9，十位上的数是7；最小的数百位上的数是0，十位上的数是1。解答：17970 17010【例10】第三单元 长方体和正方体【例1】将一个正方体钢坯锻造成长方体，它们的（）。A体积相等，表面积不相等 B体积不相等，表面积相等C体积和表面积都相等 D表面积相等，体积不相等解析：本题考查的知识点是数学的“等积变形”思想
15、。解答时要抓住将正方体钢坯锻造成长方体形状这一基本条件，锻造就是说形状要改变，所以表面积一定会发生变化，但是体积是不会变化的，因为钢坯所占空间的大小不变，所以选A。解答：A 【例2】小华说：“棱长6厘米的正方体，体积和表面积相等。”小红说：“表面积相等的两个正方体，体积也一定相等。”他们说的（）。A小红对 B小华对 C都对 D都不对解析：本题考查的知识点有：不是同类量能否进行比较以及正方体的特征。解答时，根据表面积、体积的意义：正方体的表面积是指6个面的总面积，正方体的体积是指题所占空间的大小，表面积和体积不是同类量所以不能进行比较。正方体的表面积=棱长棱长6，正方体的体积=棱长棱长棱长，因为
16、两个正方体的表面积相等，则每个面的面积相等，也就可以判定棱长相等，所以体积也相等。综合上述分析得出：小华的说法是错误的，小红的说法是正确的。解答： A。【例3】一个棱长为10厘米的正方体容器里装有5厘米高的水，现在将一块不规则的石块全部浸没水中，测得水面上升了2厘米，这块石块的体积是（）。A 100 cm B 500 cm C200 cm D300cm解析：本题考查的知识点是利用“等积变形思想”求不规则物体的体积。根据物体完全浸没在水中，上升了的水的体积就是物体的体积，然后利用长方体的体积公式计算公式：v=abh，把数据代入公式v =10102=1002=200（立方厘米）所以选C。解答： C
17、【例4】“淘宝之父”马云新出了两本大小相同的书，长20厘米、宽12厘米、厚3厘米，如果将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸？请画出示意图，并算出包装纸的面积。（接头处不计）解析：本题考查的知识点是用“分类讨论思想”解答长方体的拼组包装问题。解答此题的关键是要明白：把长方体的两个最大面重合时，拼成的长方体最省包装纸。已知长方体的长为20厘米、宽为12厘米、厚3厘米，所以这把这两个长方体书的2012的面相重合，得到的大长方体的表面积最小，比原来两个长方体书的表面积减少了2个最大的面，这样最节约包装纸，组成的长方体长20厘米，宽12厘米，高6厘米，然后再根据表面积的计算方法来解答。解答：如图所示：（
18、2012+206+126）2=4322=864（平方厘米）答：包装纸的面积是864平方厘米。【例5】把一个长方体切成两个小长方体，（）切法增加的表面积最大。解析：本题考查的知识点是利用比较法解答切割长方体时增加的表面积最大问题。解答时，可以先分别计算出每种切法增加的表面积是多少，然后再比较确定。根据长方体的切割方法，可知把长方体切割成两个小长方体，则表面积就增加了两个切割面的面积，所以要使表面积增加的最多，则平行于最大面进行切割，则表面积就会增加两个最大的面的面积。图A增加的面积为：322=12（平方厘米）、图B增加的面积为：432=24（平方厘米）、图C增加的面积为：422=16（平方厘米）
19、，241612，所以图B种切法，增加的表面积最大。解答：B【例6】一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？解析：本题考查的知识点是根据长方体和正方体的关系来计算长方体的体积。一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的96平方厘米是4个同样的长方形的面积和（如下图），这样得出长方体的底面周长是963=32（厘米），底面边长是324=8（厘米），长方体的高是8-3=5（厘米），最后再根据长方体的体积公式解答。要点提示：增加的96平方厘米是一个长是32厘米，宽是3厘米的长方形。
20、解答：底面周长：963=32（厘米）底面边长：324=8（厘米）高：8-3=5（厘米）体积：885=320（立方厘米）答：原来这个长方体的体积是320立方厘米。【例7】一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积。解析：本题考查的知识点是不规则物体体积的计算，考查方法是用排水法和等积变形思想计算不规则物体的体积。要点提示：等积变形就是指物体的形状发生变化，体积不变。把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，水面上升的高度是16厘米-12厘米=4厘米，因为石头的体积等于玻璃缸内高为4厘米的水的体积，然后根据长方体体积计算公
21、式计算出上升的水的体积，也就是石块的体积。解答：4025（16-12）=10004=4000（立方厘米）答：石块的体积是4000立方厘米。【例8】一根铁丝能围成一个棱长是10厘米的正方体框架，如果用这根铁丝再围成一个长方体框架，长是10厘米，宽是9厘米，高是（ ）厘米。解析：本题考查的知识点是利用抓“不变量的方法”来计算长方体的高。解答时要抓住“用这根铁丝再围成一个长方体框架”也就是说围成的长方体和正方体的棱长和是不变的。因此可以先根据正方体的棱长是10厘米，求出正方体的棱长和，也就是长方体的棱长和，然后再根据长方体的长是10厘米，宽是9厘米，求出长方体的高。解答：10124-10-9=11（
22、厘米）【例9】一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，这个长方体的体积扩大多少倍？解析：本题考查的知识点是用设数法来解答长方体的体积变化问题。解答时，可以先设出长方体的长是3厘米、宽是2厘米、高是1厘米，如果长、宽和高都扩大2倍，则分别为6厘米、4厘米和2厘米，这样原来长方体的体积是321=6（立方厘米）扩大以后的体积是642=48（立方厘米），所以长方体的体积扩大了486=8倍。解答：8【例10】一个长方体，底面是一个周长为12分米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这个长方体的体积是（）立方分米 。A 144 B108 C 36 D 216解析：本题考查的知识点是用图示法计算长方体的体积。已知长方
23、体底面是一个周长为12分米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这说明长方体的高与底面周长相等，（如下图）也是12分米；这样先求出底面边长，再根据体积公式v=sh，代入数据计算出长方体的体积：124=3（分米） 3312=912=108（立方分米）解答：B【例11】和谐村用24m的沙子铺一条宽4m的甬路，沙子铺12cm厚，这条甬路的长是多少？解析：本题考查的知识点是利用数学的“等积变形”数学思想解答甬路的长问题。解答时首先要抓住不变量：24 m的沙子的体积是不变的，改变的是这24 m沙子的形状。(如下图)问题中，单位不统一，先统一单位，把12cm化成0.12m，接着求出沙子铺成甬路后的侧面积（如上
24、图），列式为40.12，最后用沙子的体积除以甬路的侧面积就是甬路的长，列式为24（40.12）。解答：12cm=0.12m 24（40.12）=50（m）答：这条甬路的长是50米。【例12】用36cm长的铁丝做长方体或正方体框架（不考虑接头，要正好用完，棱的长度都取整厘米）。请你写出几种不同的做法，并分别求出它们的体积。把各个长方体的体积与正方体比较，你有什么发现？由此你得出什么猜想？和同学交流你的想法。解析：本题考查的知识点是利用数学的“分类讨论思想”、归纳、猜想思维解决数学问题。解答时，先根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）4，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，进而确定出、宽、高，接着根
25、据长方体的体积公式：v=abh，求出长方体的体积。因为正方体的12条棱的长度都相等，用36除以12求出正方体的棱长，根据正方体的体积公式：v=a，求出正方体的体积，然后进行比较即可。解答：长、宽、高的和：364=9（厘米）长7厘米、宽1厘米、高1厘米，体积是711=7（立方厘米）长6厘米、宽2厘米、高1厘米，体积是621=12（立方厘米）长5厘米、宽2厘米、高2厘米，体积是522=20（立方厘米）长5厘米、宽3厘米、高1厘米，体积是531=15（立方厘米）正方体的棱长：3612=3（厘米）正方体的体积：333=27（立方厘米）727 1227 2027 1527当长方体和正方体的棱长总和相等时
26、，正方体的体积大于长方体的体积。【例13】两个正方体，拼成一个长方体，在拼成的过程中它们的表面积减少了72平方厘米，求这个长方体的体积。解析：本题考查的知识点是正方体的体积的计算，解答时可以利用图示法画出示意图来分析帮助解答。把两个正方体，拼成一个长方体，有两个面重合在一起，表面积减少的72平方厘米，就是正方体的两个面的面积(如下图)，由此可以一个面的面积，再根据正方形的面积公式：s=a，即可求出边长（也就是正方体的棱长），最后根据正方体的体积公式：v=a求出一个正方体的体积再乘2。解答：正方体每个面的面积：722=36（平方厘米）因为6的平方是36，所以正方体的棱长是6厘米6662=2162
27、=432（立方厘米）答：这个长方体的体积是432立方厘米。【例14】在括号里填上适当的数。 （1）4.5立方米=（ ）立方米（ ）立方分米 （2） 250毫升=（ ）升（3）650立方分米=（ ）立方米 （4） 2.4升=（ ）毫升 解析：本题考查的知识点是单位的化聚，解答时要利用数学的转化法来进行分析和解答。（1）4.5立方米是复名数，含有两个不同类计量单位。整数部分的4立方米是不需进行转化的，直接写在立方米前面的括号里，只需要把0.5立方米转化为立方分米即可，0.5立方米=500立方分米。 （2） 250毫升=？升，这是低级单位数化高级单位数，转化时，用250直接除以进率1000，也就是把
28、小数点向左移动三位。（3）650立方分米=？立方米， 这是低级单位数化高级单位数，转化时，用650直接除以进率1000，也就是把小数点向左移动三位。 （4）2.4升=？毫升，这是高级单位数转化为低级单位数，转化时，用2.4直接乘进率1000，也就是把小数点向右移动三位。解答：4.5立方米=（4 ）立方米（500 ）立方分米 250毫升=（0.25）升650立方分米=（ 0.65）立方米 2.4升=（2400）毫升 第四单元 分数的意义和性质【例1】一根绳子第一次剪去，第二次剪去米，两次减去的绳子相比（）A第一次长 B第二次长 C同样长 D三种情况都有可能解析：本题考查的知识点是用分数表示数量和
29、分率时的比较与区别。解答时，先将这根绳子当作单位“1”，第一次剪去，则还剩1-=，即无论第二次剪去多长，都不如第一次剪去的多。解答此题的关键是利用剪去的与剩下的占全部的分率进行比较即可，也就是说，第二次剪去的米数为多余条件。解答：A【例2】图中阴影部分的面积占整个图形面积的（）A B C D 解析：本题考查的知识点是利用数学的“数形结合思想”和“份数法”来解答分数问题。从图中读出把单位“1”平均分成了7份，前面的4份中取了2份，后面的阴影部分是把剩下的3个小长方形平分，即后面的阴影部分是1.5份，这样阴影部分一共是3.5份，3.5份是7份的一半。所以选A。解答时，搞清楚把单位“1”（大长方形）
30、平均分成几份，取了几份是关键。解答：A【例3】用分数表示阴影部分。解析：本题考查的知识点是利用数学结合思想和“拼组法”解答看图写分数问题。解答时，阴影部分不是标准的规则图形，需要用“拼组法”把它转化为规则三角形来解答，也就是说可以把图中空白梯形换成涂色梯形，这样可以得出阴影部分占整个长方形的一半；或者把空吧三角形换成阴影三角形，也可以得出同样的结论。解答：【例4】化简一个分数时，分子、分母同时除以2次3，分子、分母又同时除以一次4得，这个分数化简前是多少？解析：本题考查的知识点是用“还原法”或“逆推法”来解答分数的约分问题。解答时，先从最简分数开始思考，让的分子和分母分别乘约分的1次4和2次3
31、，就可以求出化简前的分数。解答：=【例5】一个分数，分母比分子大15，它的分数值是，这个分数是多少？解析：本题考查的知识点是用“抓不变量”的方法，利用份数知识解答分数问题。解答时，先求出分子和分母的份数差8-3=5，然后用数量差15除以份数差15（8-3）=3就是一份量；接着用还原法或逆推法计算出原来分数的值：=解答：15（8-3）=3 =答：这个分数是。【例6】食品店运来一些面包，如果每2个装一袋、每3个装一袋、每5个装一袋，都能正好装完，这些面包至少有多少个?解析：本题考查的知识点是2、3、5的倍数的特征和求2、3、5的最小公倍数。解答时，可以直接求出2、3、5三个数的最小公倍数，这个最小
32、公倍数就是面包的最少个数。解答：2、3、5的最小公倍数是30，所以这些面包至少有30个。【例7】a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最大公因数是（）。A ab B 2 C a+b D ab2解析：本题考查的知识点是用“简单枚举法”来归纳、概括两个相邻非0偶数的最大公因数。因为a、b是两个相邻的非零偶数，即两数相差2，如：2和4，它们的最大公因数是2；4和6，它们的最大公因数是2；再如10和12的最大公因数还是2，所以a、b的最大公因数是2。【例8】求12和18的最大公因数和最小公倍数。解析：本题考查的知识点是求最大公因数和最小公倍数的方法。求最大公因数和最小公倍数的方法有列举法、
33、短除法、分解质因数法、筛选法等。一般情况下，两个数较小时，用列举法就可以很快求出最大公因数和最小公倍数；而两个数较大时，用短除法比较简单。用短除法求最大公因数时，只需把所有的除数相乘；而求最小公倍数时，需要把除数和商都相乘。当两个数只有公因数1时，直接就可得出最大公因数和最小公倍数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；当两个数成倍数关系时，最大公因数就是较小的数，最小公倍数就是较大的数。显然12和18不属于这两种情况，可以用上面介绍的方法求出答案。解答：方法一筛选法。(1)12的因数有1，2，3，4，6，12。12的因数中是18的因数的有1，2，3，6。12和18的最大公因数是6。(2)
34、18的倍数有18，36，54，72，18的倍数中是12的倍数的有36，72，12和18的最小公倍数是36。方法二列举法。(1)12和18的最大公因数是6。(2)12和18的最小公倍数是36。方法三分解质因数法。 12=223 18=23312和18的最大公因数：236；最小公倍数：232336。方法四短除法。 6 12 18 2 3 12和18的最大公因数：6；最小公倍数：62336。【例9】大雪后的一天，佳美和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。佳美每步长约72厘米，爸爸每步长约90厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下80个脚印。请问：这个花圃的周长约多少米？解析
35、：本题考查的知识点是利用“枚举法”求两个数的最小公倍数解决问题。解答时，先求出72和90的最小公倍数是360，也就是说他们俩每走360厘米就有一个脚印重合。因为：佳美走一步是72厘米，二步是144厘米，三步是216厘米，四步是288厘米，五步是360厘米。爸爸走一步是90厘米，二步是180厘米，三步是270厘米，四步是360厘米。他们两每走360厘米就有8个脚印。解答：360（808）=3600（厘米）=36米答：这个花圃的周长是36米。【例10】分数的分子和分母同时加上一个数后，约分得，分子和分母同时加上的数是多少？解析：本题考查的知识点是利用抓不变量的方法解答分数的约分问题。分数的分子和分
36、母同时加上一个相同的数，说明分子和分母的差不变，还是13-5=8；又由于新分数约分后是，则现在的分子和分母的差从8到1，可以知道分子和分母都缩小到了原来的，也就是将的分子和分母同时扩大到原来的8倍，分子和分母的差才是8，这样，的分子和分母同时扩大到原来的8倍是，8-5=3,16-13=3，所以同时加上的数是3。解答：（13-5）（2-1）-5=3答：时加上的这个数是3。【例11】在下图的方框中填上适当的数，直线的上面填假分数，直线的下面填带分数。解析：本题考查的知识点是利用对应法和数形结合思想解答填写直线上的数问题。解答时，明确线段图中每一小格代表多少、单位“1”被平均分成了多少份，要填写的方
37、框中的数在哪两个整数之间是解答此类问题的关键，最后根据上面的判断再填写出正确的结果。解答：【例12】把0.29、0.3、和按照从小到大的顺序排列。解析：本题考查的知识点有利用数学的转化思想把分数化成小数从而比较数的大小。解答时，先把分数化成小数，然后通过比较小数的大小，再比较出原来给出的数的大小。解答：0.29=0.29 0.3=0.3 0.2857、=0.25、0.33因为：0.250.28570.290.30.33所以，0.290.3【例13】填一填。（1）（2）解析：本题考查的知识点根据分数的基本性质，利用数学的转化思想来解答分数变形问题。（1）根据分数的基本性质和分数与除法的关系来进行
38、填空。填空时注意，抓住分数的值不变这一基本条件，变化的是分数的分子和分母。（2）先通分，把和化成和，这两个分数之间写不出分母是10的分数，接着根据分数的基本性质，把和转化为分母是20的分数为和，这两个分数之间只能写出分母是20的一个分数是；要求写出两个，继续根据分数的基本性质，转化为分母是30的分数为和，这样可以写出两个分母是30的分数，分别为 和解答：（1）4 36 9 16 96 3（2） 【例14】一个分数（a和b都是自然数），已知5a9, 1b3,这个分数可能是哪些分数？解析：本题考查的知识点有分类讨论思想和组合法。解答时，先分情况看分母可能取哪些整数，再看分子肯能取哪些整数，最后再确
39、定这个分数是多少。因为a和b都是自然数，且5a9，所以分母可能是6、7或8,分子只能是2，分数可能是、或。解答：这个分数可能是、或。【例15】一瓶水，亮亮喝了一半，妈妈喝了剩下的一半，他们喝的同样多吗？解析：本题考查的知识点是不同的单位“1”的。解答时为了区分和比较亮亮喝的一半和妈妈喝的一半的不同，可以采取图示法来理解（如下图）。解答：亮亮喝的多。【例16】比较和的大小解析：本题考查的知识点是异分母分数的大小比较，解答时可以用通分的方法比较分数的大小；还可以结合分数与的大小比较（找中间数比较的方法）、以及化成分子相同的数的方法来比较分数的大小。解答：方法提示：通分的方法方法一：因为，= =，所
40、以。方法提示：找中间数的方法方法二：因为， 所以，方法提示：化成相同的分子的方法方法三：因为，= =，所以， 第五单元 图形的运动（三）【例1】 图形绕A点顺时针旋转90后的图形是( )。解析：本题考查的知识点是图形的旋转。解答时，要抓住与点A相连的两条边的变化情况，根据这些边顺时针旋转90后的形状和位置来确定答案。图形绕A点顺时针旋转90后，上边的边长为3个单位的长边旋转成和左边2个单位的短边成垂直位置，2个单位的边在上，3个单位的边在右的。所以选B。解答：B【例2】观察图形，给风车的风叶涂上相应的颜色。解析：本题考查的知识点是利用对应法结合旋转知识解答风车涂色问题。解答时，根据旋转的角度、
41、旋转中心和旋转方向这三个要素，找到各风叶对应的图形，然后涂上颜色。要注意最后一个图形是在原图形按顺时针旋转90的基础上，再按逆时针旋转了180而得到的。解答：【例3】将下列图形绕着各自的中心点旋转120后，不能与原来的图形重合的是（）。解析：本题考查的知识点是图形的旋转，解答时要抓住绕中心点旋转120这一不变的条件。根据圆的特征，绕圆心旋转任何度数都能与原图重合；等边三角形每两个相邻顶点与三条高的交点的夹角都是120，绕三条高的交点旋转120能与原图重合；五角星两个相邻顶点与外接圆圆心的夹角是3605=72，它绕这点旋转72或是72的整数倍时才能与原图重合；正六边形两个相邻顶点与外接圆圆心的夹
42、角是3606=60，它绕这点旋转120后能与原图重合。解答：C 【例4】请你用图（1）的四块拼板，在图（2）中拼出图（3），并说一说你的操作过程。解析：本题考查的知识点是利用旋转知识解决拼图问题。解答时要抓住绕哪个点旋转多少度放在图（2）的什么位置。解答：将图（1）中左上角的一块绕某一点顺时针旋转90拼在图（2）的左上角；将图（1）中右上角的一块绕某一点按逆时针旋转90拼在图（2）的左下角；将图（1）中左下角的一块绕某一点顺时针（或逆时针）旋转180拼在图（2）的右下角；最后将图（1）中右下角的一块绕某一点逆时针旋转90拼在图（2）的右上角。【例5】下面左图的七巧板是如何平移或旋转得到右图的？
43、解析：本题考查的知识点是利用图形的变换解决实际问题。解答时要判断和确定图形向什么方向（沿水平方向、竖直方向）平移几个单位；绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度、180度、270度）。（1）先找出左、右图中图形位置没有变化和旋转的图形，通过观察发现：图1、2、4、6的位置没变，位置变化和旋转的是图形是3、5、7。（2）接着判断和确定位置变化的图形是如何变化的，对比左右图会发现：图3先向右平移2格然后再向上平移6格；图5先向上平移6格后再以直角顶点为中心逆时针方向旋转180度；图7先已直角顶点为中心顺时针旋转45度后再向上8格。解答：左图中的图3先向右平移2格然后再向上平移6格；图5先向
44、上平移6格后再向左旋转180度；图7先顺时针旋转45度后再向上8格；图1、2、4、6位置不变就得到右图。第六单元 分数的加法和减法【例1】看图填空。解析：本题考查的知识点是利用数学的“数形结合和转化思想”进行异分母分数加减法。解答时，先通分，化成分母相同的分数，然后再利用同分母分数加法的法则进行计算。解答：+=+= +=+=【例2】一块蛋糕，小红第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，则小红三天共吃了这块蛋糕的（）。A B 1- C D 1-解析：本题考查的知识点是利用对不同的单位“1”的理解来解答分数问题。解答时，要利用“转化法”先统一单位“1”。抓住每次吃掉的一半的单
45、位“1”不同是解答此题的关键。第一天吃的一半是这个蛋糕的一半，也就是单位“1”的，第二天吃了剩下的一半，也就是剩下的1-=的一半，即单位“1”的；第三条吃了剩下的一半，即1-=的一半，也就是单位“1”的；这样3天一共吃了这块蛋糕的+=即1-。解答：D【例3】在计算+中，必须去掉（ ），才能使余下的分数之和为1。解析：本题考查的知识点是异分母分数的加法，采用的方法是“排除法”。仔细观察算式发现：、和，这几个分数的分母是倍数关系，它们相加时，+和为1，所以选C。解答：C 【例4】西西喝一瓶饮料，第一次喝了一半后加满水，第二次喝了后加满水，第三次一饮而尽，西西喝的水多还是饮料多？为什么？解析：本题考
46、查的知识点是用比较法来比较水和饮料的多少，解答时先抓住不变的量，西西一共喝了一瓶饮料；西西第一次喝了一半后加满水，第二次喝了后加满水，第三次一饮而尽，说明西西一共喝了+=（杯）水，1，所以喝的水多。解答：西西喝的水多。因为：西西先后一共喝了一杯饮料；水一共喝了：（杯） 1，所以喝的水多。【例5】在每组括号里填上不同的数，使等式成立。 （1） （2） 解析：本题考查的知识点是用分情况讨论的方法、类推的方法以及分数的基本性质、约分等知识来解答分数变形问题。解答时，抓住把一个分子为1的分数写成两个分子是1的分数的和这一基本特征来进行转化。（1）把写成两个分子为1的分数和，可以先根据分数的基本性质，把
47、变形为或或，从分母是20的分数开始分析：要把写成两个分子是1的分数和，可以写成+，但是要求写出的数是不同的数，不符合题意；从分母是30的分数开始分析，可以写成+，约分后是，符合条件的数可以是=+；同理，按此方法还可以写出=+等等。（2）按照解答（1）的方法，可以类推写出=+等。解答：（答案不唯一）（1）=+ （2）=+【例6】用简便方法计算下面各题。（1） （2） 11 解析：本题考查的知识点是加法的交换律、结合律以及减法的运算性质。（1）计算时，利用凑整的方法和加法的交换律把分母相同的加数结合在一起计算凑整，即=（+ ）+（+），这样可以转化为1+1=2来计算。（2）计算时，运用减法的运算性
48、质a-b-c=a-(b+c)先计算出与 的和等于1，然后用11-1=10来计算。解答：（1） （2） 11 =（+ ）+（+） =11-(+ )=1+1 =11-1=2 =10【例7】计算前3个算式，你发现了什么？根据你的发现，请直接写出后2个算式的得数。 += += += += +=解析：本题考查的知识点是用归纳和类推的方法进行异分母分数加法计算。解答时，先求出前3个算式的结果，归纳出规律，然后利用规律再类推出后2个算式的得数。+=1= 分母不变，分子相加，计算结果约分后分子是真分数+= 的个数，分母是2.+=解答：+=1=+=+=发现：分母都是2，分子是真分数的个数。+= +=【例8】因为
49、-=、-=、-=，那么-=（ ）。A B C 解析：本题考查的知识点是先计算归纳规律，后利用类推法写出同样算式的得数。观察算式-=、-=、-=发现：被减数和减数的分母是连续的自然数，分子都是1，差的分母是两个连续自然数的乘积，分子是1。根据此规律可以直接写出-=。解答：A【例9】不通分，直接写出下面算式的得数。（1）+ （2）+解析：本题考查的知识点是异分母分数的加法，解答时，可以利用数形结合思想并结合算式的特征采用“图示法”或“借数法”来解答。（1）图示法：观察两个算式发现：每个分数的分子都是1，加数中后一个分数的分母是前一个加数分母的2倍，所以可以结合数形结合思想，画出示意图来解答（如下图
50、）。 （2）借数法：根据上图可以看出，如果（1）借一个，（2）借一个，两个算式的和都是1，然后再分别减去和，这样先借（加上）再还（减去）的方法也可以计算出得数，而且计算简单。解答：方法一：图示法（1） （2） +=1-= +=1-=方法二：借数法（1）+ （2）+=（+）- =（+）-=1- =1-= =【例10】计算+解析：本题考查的知识点是用拆数法计算异分母分数加法。解答时，先仔细观察算式中的每一个分数：这些分数的分子是1，分母是相邻的两个连续自然数的积。 这些分数都可以拆成分子是1，分母是两个连续自然数的分数的差，如：=1-、=-、，这些分数相加后，前后两个分数的和是0。如：-+=0、-
51、+=0、-+=0。解答：+=（1-）+（-）+（-）+(-)+（-）=1-+-+-+-+-=1-=【例11】比较、和大小。解析：本题考查的知识点是利用转化法比较分数的大小。解答时观察每一个分数，这些分数的特点是：每个分子和分母都只差1，而且前一个分数的分母恰好是下一个分数的分子。比较时，可以把这些分数分别转化为1与这个分数单位的差:=1-、=1-、=1-，因为：，所以，。解答：【例12】a + = + b ，则a与b的关系是（ ）。A.a b B. a b。方法二：假设 a + = + b=1，所以a= ，b= ，因为，因此ab。 解答：A第七单元 折线统计图【例1】某市规定每户用水量不超过1
52、0吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过10吨时，超过部分每吨水价为3元。下图能表示每月水费与用水量关系的示意图是（ ）。解析：本题考查的知识点是根据条件判断折线统计图。解答时，可以采用比较分析法，边比较边分析：水量不超过10吨，水费价格是2.5元，也就是说水费不变，这样排除了A、B、C，因为A、B、C都是水费随着水量的变化而变化，只有D符合条件。解答：D【例2】“龟兔赛跑”：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，下面图（）与故事情节相吻合。解析：本题考查的知识点
53、是根据题意判断折线统计图，解答时可以采用比较法和排除法来解答。从题中可以得出：龟兔赛跑，兔子领先骄傲，睡了一觉，醒来时，发现乌龟快到终点了，急忙追赶，也没追上，乌龟先到终点。图A和图C得出的结论是同时到达终点，所以排除；图B反应的信息是兔子没有醒来，一直睡觉，所以也排除，这样图D正确。解答：D【例3】下面是A、B两市去年上半年降水量情况统计图。（1）表示A市、B市降水量的分别是哪一条折线？（2）哪个月两个城市的降水量最接近？哪个月两个城市的降水量相差最大？解析：本题考查的知识点是根据复式折线统计图解答问题，解答时，可以采用观察法、比较法、对应法来进行解答。（1）观察图例发现，实线表示A市，虚线
54、表示B市；（2）比较哪两个月降水量最接近和相差最大，需要分别计算出两个城市每个月的降水量，然后再确定。解答：（1）A市是实折线；B市是虚折线。（2）从统计图看出，3月两个城市的降水量最接近，4月两个城市的降水量相差最大。【例4】下面是五（3）班小军（男）和小娟（女）6-12岁的身高统计图，看图回答问题。（1）9岁时，小军比小娟高（ ）厘米。（2）（ ）岁时，小军和小娟一样高。（3）（ ）岁时，小军比小娟矮3厘米。（4）小娟从6-12岁身高每年平均增长多少厘米？解析：本题考查的知识点是根据复式折线统计图解答简单的实际问题。解答时要学会使用对应法（每人的年龄和身高对应）分析和思考；计算增长的平均身
55、高时，要用6岁和12岁的身高差除以6计算出平均数。解答：（1）2（2）10（3）12（4）（153-117）6=6（厘米） 答：每年平均增长6厘米。【例5】某家电商场A、B两种品牌冰箱（价格相同）今年上半年销售量统计如下表。（1）根据表中的数据，画出折线统计图。（2）如果你是商场经理，你将采取什么销售策略？解析：本题考查的知识点是根据信息画出复式折线统计图并利用分析法作出销售策略。画复式折线统计图时要注意月份和销量的对应，另外还要注意图例实线和虚线的对应；作出策略时要采用综合分析法来进行综合判断和决策。解答：（1）（2）A冰箱的销量是先上升，后下降，而B的销量是逐步上升，最后比A多出很多，所以
56、应多进B种冰箱。【例6】如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的关系大致是下列图象中的（）。解析：本题考查的知识点是根据实际情况选择折线统计图，解答时注意已知的信息中的关键因素和使用排除法。先是往水杯中注水， 所以有一段时间水槽中的水是没有的，也就是高度是0，当水杯中的水注满后才开始向水槽注水，开始是缓慢的，当水超过到杯子的高度时，水面上升的高度更加缓慢。根据上面描述，首先排除掉c和D，因为这两幅图高度从开始就有变化；再看A和B，前者是慢后快，不符合题意，排除掉，只有B满足先缓慢后来更加缓慢这一基本条件。解答：B第八单元
57、找次品【例1】有5瓶口香糖，其中一瓶数量不够，至少称（）次才能找出这瓶口香糖。解析：本题考查的知识点是排除法和推理法解答找次品问题。第一次：从5瓶口香糖中任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶即为数量不够的，若天平秤不平衡；第二次：把天平秤较高端2瓶，分别放在天平秤两端，天平秤较高端即为数量不够的。解答：2【例2】有6颗外观一样的铁珠，其中有5颗一样重，另外1颗比其他5颗稍微轻一些，如果用天平称2次就保证找出这颗稍轻的铁珠，下列分法中正确的是（）。A按（2，2，2）分成三份 B按（3，3）分成两份CA、B两种方法都正确解析：本题考查的知识点是用天平找次品
58、时分组的方法，解答时需要用到分情况讨论数学思想。方法一：第一步：把6颗外观一样的铁珠按（2，2，2）分成三份，从中任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，那么较轻的一颗就在未取得2个中，再按照第二步方法即可找出，若不平衡；第二步：把较轻端两个铁珠，分别放在天平秤两端，天平秤较高一端铁珠即为较轻的铁珠。方法二：也可以把6颗外观一样的铁珠按（3，3）分成两份，按照上述方法两次即可找出，据此即可解答。解答：C【例3】有15袋瓜子，其中有一袋是轻的。(1)至少称几次能找出来？（用图表示）(2)称一次有可能找出轻的那一袋吗？为什么？解析：本题考查的知识点是用图示法解答找次品问题。（1）第一次：把15
59、袋瓜子平均分成三份，每份5袋，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那袋即在未取的5袋中（按照下面的方法操作），若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端5袋瓜子中，任取4袋，平均分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那袋即是未取，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端的2袋瓜子，分别放在天平秤两端，较高端即为较轻的那袋，据此即可解答，（2）有可能，从15袋瓜子中，任取14袋，平均分成两份，每份7袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为较轻的，据此即可解答。解答：（1）第一次：把15袋瓜子平均分成三份，每份5袋，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平
60、秤平衡，则较轻的那袋即在未取的5袋中（按照下面的方法操作），若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端5袋瓜子中，任取4袋，平均分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那袋即是未取，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端的2袋瓜子，分别放在天平秤两端，较高端即为较轻的那袋，第一次：第二次：第三次：（2）有可能，从15袋瓜子中，任取14袋，平均分成两份，每份7袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为较轻的。【例4】7枚外观一样的硬币，其中有一枚假币比真币要重些。用天平称的办法去找，至少几次能把假硬币找出来？用 表示称的过程。解析： 本题考查的知识点是用图示法表示找次
61、品的过程。解答时，先用数字卡片分别对应代表7枚硬币，再从7个硬币中任取4枚，平均分成2份，每份2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则假硬币在未取的3枚中（再从中任取2枚，按照下面的操作方法即可）；若不平衡：把在天平较低端的2枚硬币，分别放在天平两端，较低端的硬币即为假硬币。解答：至少2次就可以找到假硬币，操作过程如下：【例5】有5个砝码，它们的重量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的重量。请问至少称几次就可以找出重量为100克的砝码？解析：因一次只能称出300克以内的物体的重量，可把任意4个砝码放在天平的两侧，找出轻的一组；再把轻的这一组放在天平上称找出轻的一个；再把这个轻的和没称的一个放在天平称，则轻的这个就是100克的砝码。解答：最少需要3次。
