1、大题规范练(五)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分12分)已知等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn3n1a(nN*)(1)求a的值及数列an的通项公式；(2)若bn(1an)log3(aan1)，求数列的前n项和Tn.解：(1)6Sn3n1a(nN*)，当n1时，6S16a19a，当n2时，6an6(SnSn1)(3n1a)(3na)23n，即an3n1，an是等比数列，a11，则9a6，得a3，数列an的通项公式为an3n1(nN*)(2)由(1)得bn(1an)log3(aan1)(3n2)(3n1)，Tn.2(本
2、小题满分12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DABDBE60，设AC与BD相交于点O，且FAFC.(1)求证：平面FBC平面EAD；(2)求二面角AFCB的余弦值解：(1)因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以ADBC，DEBF.因为AD平面FBC，DE平面FBC，所以AD平面FBC，DE平面FBC.又ADDED，AD平面EAD，DE平面EAD，所以平面FBC平面EAD.(2)如图所示，连接FO，FD，因为四边形BDEF为菱形，且DBF60，所以DBF为等边三角形因为O为BD的中点，所以FOBD.因为O为AC的中点，且FAFC，所以ACFO.又ACBDO，所以FO平面ABCD.
3、由OA，OB，OF两两垂直，则以O为坐标原点OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，因为四边形ABCD为菱形，DAB60，则BD2，OB1，OAOF，所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，F(0,0，)，(，0，)，(，1,0)设平面BFC的法向量为n(x，y，z)，则有所以令x1，则n(1，1)为平面BFC的一个法向量因为OB平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为(0,1,0)因为二面角AFCB为锐二面角，设其平面角为，则cos |cosn，|.所以二面角AFCB的余弦值为.3(本小题满分12分)某公司为招聘新员
4、工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解：(1)设甲正确完成面试的题数为，则的可能取值为1,2,3.P(1)；P(2)；P(3).应聘者甲正确完成题数的分布列为123PE()1232.设乙正确完成面试的题数为，则的可能取值为0,1,2,3.P(0)C；P(1)C；P(2)C；P(3)C.应聘
5、者乙正确完成题数的分布列为0123PE()01232.(或因为B，所以E()32)(2)因为D()(12)2(22)2(32)2，D()3.所以D()D()综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大4(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值解：(1)由题意可知F，则直线MN的方程为：yx，代入y22px(p0)中，得x23px0，设
6、M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p，|MN|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x.(2)设l的方程为yxb，代入y24x中，得x2(2b4)xb20，l为抛物线C的切线，0，即(2b4)24b20，解得b1，l：yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21，设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y2(x11)(x21)4，yy4(x1x2)，y1y244
7、，16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当m2，即点P的坐标为(2,3)时，取得最小值14.5(本小题满分12分)已知函数f(x)xaln x，g(x)，其中aR.(1)设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；(2)若存在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围解：(1)h(x)xaln x，h(x)1，当a10，即a1时，在(0,1a)上h(x)0，在(1a，)上h(x)0，所以h(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增当1a0，即a1时，在(0，)上h(x)0，所以函数h(x)在(0，)上单调递增(2)若存
8、在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，即存在x01，e，使得h(x0)f(x0)g(x0)0成立，即函数h(x)xaln x在1，e上的最小值小于零由(1)可知：当1ae，即ae1时，h(x)0，h(x)在1，e上单调递减，所以h(x)在1，e上的最小值为h(e)，由h(e)ea0可得a，因为e1，所以a.当1a1，即a0时，h(x)在1，e上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)，由h(1)11a0可得a2.当11ae，即0ae1时，可得h(x)的最小值为h(1a)，因为0ln(1a)1，所以0aln(1a)a，故h(1a)2aaln(1a)20，不合题意综上可得，所求a的取值范围是
9、.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是2asin ，直线l的参数方程是(t为参数)(1)若a2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；(2)若直线l被圆C截得的弦长为2，求a的值解：(1)由24sin 得圆C的直角坐标方程为x2y24y0，即x2(y2)24.将直线l的参数方程化为普通方程，得y(x2)，令y0，得x2，即点M的坐标为(2,0)又圆C的圆心坐标为(0,2)，半径r2，则|MC|2，所以|MN|的最大值为|M
10、C|r22.(2)因为圆C：x2(ya)2a2，直线l：4x3y4a0，所以圆心C到直线l的距离d，所以2 2，即|a|2，解得a.7(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)4|x1|；(2)若f(x)1的解集为x|0x2，a(m0，n0)，求证：m2n4.解：(1)当a2时，不等式f(x)4|x1|即为|x2|4|x1|，当x1时，原不等式化为2x4(x1)，得x，故x；当1x2时，原不等式化为2x4(x1)，得25，故1x2不是原不等式的解；当x2时，原不等式化为x24(x1)，得x，故x.综合知，原不等式的解集为.(2)证明：由f(x)1得|xa|1，从而1ax1a，f(x)1的解集为x|0x2，得a1，a1.又m0，n0，m2n(m2n)2224，当且仅当，即m2n时，等号成立，此时，联立1，得则m2n4，故m2n4，得证
