1、课时作业梯级练五十四曲线与方程一、选择题(每小题5分，共35分)1如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹是()A圆 B椭圆C抛物线 D直线【解析】选A.如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，再过点B作BEAD于E，连接HE，因为AB平面BCD，所以ABCD.又由BD为圆的直径得BCCD，且ABBCB，所以CD平面ABC，所以CDBH.又BHAC，且ACCDC，所以BH平面ACD，所以BHAD，BHHE.所以当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆2曲线：x22xyy21的图象()A关于x轴对称B关于原点对称，但
2、不关于直线yx对称C关于y轴对称D关于直线yx对称，关于直线yx对称【解析】选D.A.f x22xyy21f ，所以不关于x轴对称；Bf x22xyy21f ，f y22xyx21f ，所以关于原点对称，也关于直线yx对称；Cf x22xyy21f ，所以不关于y轴对称；Df y22xyx21f ，所以关于直线yx对称，同时也关于直线yx对称3在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若1，则点C的轨迹为()A圆 B椭圆C抛物线 D直线【解析】选A.设AB2a，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A,B,设C,可得:=,=,从而=+y2,结合题意可得:+y2=1,整理可得:x2+y
3、2=a2+1,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,为半径的圆.4已知点F(0，1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且=，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24y By23xCx22y Dy24x【解析】选A.设点P(x，y)，则Q(x，1).因为=，所以(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，所以动点P的轨迹C的方程为x24y.5方程|y|1表示的曲线是()A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆【解析】选D.当y0时，(x1)2(y1)21且y1，表示一个半圆；当y0时，(x1)2(y1)21且y1，表示一个半圆6
4、关于方程x0与x2(x2y24)20表示的曲线，下列说法正确的是()A都表示一条直线和一个圆B都表示两个点C前者是两个点，后者是一条直线和一个圆D前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【解析】选D.因为x0化简为x0或x2y24，所以表示直线和圆；因为x220化简得所以表示两个点7在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A(1，0)和点B(1，0)的距离之积等于的所有点组成的对于曲线C，有下列3个结论：曲线C是轴对称图形；曲线C是中心对称图形；曲线C上所有的点都在单位圆x2y21内，其中，所有正确结论的序号是()A BC D【解析】选A.由题意，设动点坐标为(x，y)，利用题意及两点间的距离公式
5、得：，对于，分别将方程中的x被x代换y不变，y被y代换x不变，方程都不变，故此曲线关于y轴对称和x轴对称，即曲线C是轴对称图形，故正确；对于，把方程中的x被x代换且y被y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，即曲线C是中心对称图形，故正确；对于，令y0可得，即x211，此时对应的点不在单位圆x2y21内，故错误二、填空题(每小题5分，共15分)8已知平面内两个定点M(3，0)和N(3，0)，P是动点，且直线PM，PN的斜率乘积为常数a(a0)，设点P的轨迹为C. 存在常数a(a0)，使C上所有点到两点(4，0)，(4，0)距离之和为定值； 存在常数a(a0)，使C上所有点到两点(0，4)，(0
6、，4)距离之和为定值； 存在常数a(a0)，使C上所有点到两点(4，0)，(4，0)距离差的绝对值为定值； 存在常数a(a0)，使C上所有点到两点(0，4)，(0，4)距离差的绝对值为定值其中正确的是_(填出所有正确的序号)【解析】设点P的坐标为P(x，y)，依题意，有：a，整理，得1，对于，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c4，a0，椭圆在x轴上两顶点的距离为26，两焦点的距离为248，不符合题意；对于，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c4，椭圆方程为1，则9a916，解得：a，符合题意；对于，当a时，1，所以，存在满足题意的实数a，符合题意；对于，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即1，不可
7、能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，不符合题意答案：9已知点A的坐标为(2，0)，圆C的方程为x2y24，动点P在圆C上运动，点M为AP延长线上一点，且|AP|PM|.则点M的轨迹方程为_【解析】设M(x，y)，已知点A的坐标为(2，0)，动点P在圆C上运动，点M为AP延长线上一点，且|AP|PM|，则点P为AM的中点，所以得P，代入圆C的方程x2y24，得(x2)2y216.答案：(x2)2y21610已知两个定点A(0，4)，B(0，1)，动点P满足|PA|2|PB|，则动点P的轨迹方程为_【解析】由题意，设点P的坐标为(x，y)，因为|PA|2|PB|，即2，整理得
8、x2y24，所以动点P的轨迹方程为x2y24.答案：x2y241数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上存在到原点的距离超过的点；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中所有正确结论的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选B.将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x0时，代入可得y21，所以y1，即曲线经过，；当x0时，方程变为y2xyx210，所以x240，解得x，所以x只能取整数1，当x1时，y2y0，解得y0或y1，即曲线经过，根据对称性可得曲线经过，
9、所以曲线一共经过6个整点，故正确；当x0时，由x2y21xy可得x2y21xy(当xy时取等号)，所以x2y22，所以，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故错误；在x轴上方图形面积大于矩形的面积122，在x轴下方图形面积大于等腰三角形的面积211，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故错误2曲线C是平面内到定点F和定直线l：x的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C关于y轴对称；若点P(x，y)在曲线C上，则y满足|y|4；若点P(x，y)在曲线C上，则1|PF|5.其中，正确结论的序号是_【解析】设动点M(
10、x，y)是曲线C上任意一点，则|MF|5，即5，当x时，5x，整理得xy2，当x时，5x，整理得xy2，作出曲线C的图象，如图，显然不正确；曲线C不关于y轴对称；当x时，可得y4，所以当点P(x，y)在曲线C上时，y满足|y|4成立，即正确；令y0，可得x，所以当点P(x，y)在曲线C上时，x满足|x|，且04，又|PF|5，所以|PF|5，1|PF|5，即正确答案：3数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：(x2y2)34x2y2被称为“四叶玫瑰线”(如图所示).给出下列三个结论：曲线C关于直线yx对称；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此
11、正方形区域内(含边界).其中，正确结论的序号是_【解析】对于，将(y，x)代入C：(x2y2)34x2y2得(y2x2)34y2x2成立，所以曲线C关于直线yx对称，故正确；对于，因为x2y2，所以x2y21，所以1，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确；对于，联立得x2y2，从而可得四个交点A，B，C，D，依题意满足条件的最小正方形是各边以A，B，C，D为中点，边长为2的正方形，所以不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此正方形区域内(含边界)，故不正确答案：4已知方程k2x2(k22k2)y2k.(1)当k为何值时，方程表示直线？(2)当k为何值时，方程表示圆？(3)当k为何值时，方程表示椭圆？【解析】因为k22k2(k1)211，所以(1)当k20，即k0时，方程表示直线，该直线为y0.(2)若表示圆，则k22k2k2，且k0，解得k1.(3)若表示椭圆，则k20，k0且k22k2k2，解得k0，且k1.综上知，(1)当k0时，方程表示直线；(2)当k1时，方程表示圆；(3)当k0，且k1时，方程表示椭圆
