1、送分专题(三)平面向量全国卷 3 年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2017 卷 向量的模与向量的数量积T13 1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第37或第1315题的位置上，难度较低主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等.卷 平面向量的数量积T12 卷 平面向量的线性运算、直线与圆的位置关系T12 2016 卷 向量的数量积、向量数量积的坐标运算T13 卷 向量垂直的应用T3 卷 向量的夹角问题T3 2015 卷 平面
2、向量的线性运算T7 卷 平面向量共线定理的应用T13 平面向量的概念及线性运算题点考法全练1(2017贵州适应性考试)已知向量 e1 与 e2 不共线，且向量 ABe1me2，ACne1e2，若 A，B，C 三点共线，则实数 m，n 满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1Dmn1解析：法一：因为 A，B，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数，使得 AB AC，所以有 e1me2ne1e2，由此可得1n，m，所以 mn1.法二：因为 A，B，C 三点共线，所以必有1nm1，所以 mn1.答案：A 2如图所示，下列结论正确的是()PQ32a32b；PT32ab；PS32a12b；PR32a
3、b.A BC D解析：根据向量的加法法则，得 PQ32a32b，故正确；根据向量的减法法则，得 PT32a32b，故错误；PS PQ QS32a32b2b32a12b，故正确；PR PQ QR32a32bb32a12b，故错误故正确命题的结论为.答案：C 3已知平面内不共线的四点 O，A，B，C，若 OA3 OB2 OC0，则|AB|BC|_.解析：由已知得 OA OB2(OB OC)，即 BA2 CB，|BA|2|CB|，|AB|BC|2.答案：24已知 e1，e2 是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且 mn0，若 ab，则mn等于_解析：ab，ab，即 me12e2(ne1e2)
4、，则nm，2，解得mn2.答案：2准解快解悟通快审题1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则2.看到向量平行，想到向量平行的条件准 解 题1.掌握平面向量线性运算的 2 种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时，ab存在唯一实数，使得 ab)来判断2.记牢向量共线问题的 4 个结论(1)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0.(2)直线的向量式参数方程
5、，A，P，B 三点共线 OP(1t)OAt OB(O 为平面内任一点，tR).(3)OA OB OC(，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y1，当且仅当 x2y20 时，abx1x2y1y2.平面向量的数量积题点考法全练1已知向量 m(t1,1)，n(t2,2)，若(mn)(mn)，则 t()A0 B3C3 D1解析：法一：由(mn)(mn)可得(mn)(mn)0，即 m2n2，故(t1)21(t2)24，解得 t3.法二：mn(2t3,3)，mn(1，1)，(mn)(mn)，(2t3)30，解得 t3.答案：B 2(
6、2017洛阳统考)已知向量 a(1,0)，|b|2，a 与 b 的夹角为 45，若 cab，dab，则 c 在 d 方向上的投影为()A 55B 55 C1 D1解析：依题意得|a|1，ab1 2cos 451，|d|ab2 a2b22ab1，cda2b21，因此 c 在 d 方向上的投影等于cd|d|1.答案：D 3已知向量 a(2,1)，b(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是()A2，12B2，12 12，C(2，)D2，)解析：当 a，b 共线时，2k10，k12，此时 a，b 方向相同，夹角为 0，所以要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 ab0且 a，b
7、 不共线由 ab2k0 得 k2，又 k12，即实数k 的取值范围是2，12 12，选 B.答案：B 4(2017全国卷)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.解析：法一：易知|a2b|a|24ab4|b|244211242 3.法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|OC|.又AOB60，所以|a2b|2 3.答案：2 35(2017山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若 3 e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_解析：因为 3e1e2e1e2|3e1e2|e1e2|32 12，故
8、32 1212，解得 33.答案：33快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式避误区两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.准解快解悟通平面向量在几何中的应用题点考法全练1在ABC中，ABC90，AB6，点D在边AC上，且2 AD DC，则 BA BD的值是()A48 B24C12 D6解析：法一：由题意得，BA BC0，BA CA BA(BA BC)|BA|236，BA BD BA(BC CD)BABC23 CA
9、0233624.答案：B 法二：(特例法)若ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(6,0)，C(0,6)由2 AD DC，得D(4,2)BA BD(6,0)(4,2)24.2如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 AMx AB，ANy AC，则x2y的最小值为()A2 B13 C32 23D34解析：由已知可得 AG2312(AB AC)13 AB13 AC13x AM 13y AN，又M，G，N三点共线，故 13x 13y1，1x1y3，则x2y(x2y)1x1y 131332yx xy 32 23(当且仅当x 2y时取等号
10、)答案：C 3(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 PA(PB PC)的最小值是()A2B32 C43D1解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则 PA(x,3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)，所以 PA(PB PC)(x，3y)(2x，2y)2x22y 32232，当x0，y 32 时，PA(PB PC)取得最小值，为32.答案：B 4如图，已知ABC中，BAC90，B30，点P在线段BC上运动，且满足 CP CB，当 PA
11、 PC取到最小值时，的值为()A14 B15C16D18解析：如图所示，建立平面直角坐标系不妨设BC4，P(x,0)(0 x4)，则A(3，3)，C(4,0)，PA PC(3x，3)(4x,0)(3x)(4x)x27x12x72214.当x72时，PA PC取得最小值14.CP CB，12，0(4,0)，412，解得18.故选D.答案：D 5如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，CP3 PD，AP BP2，则 AB AD的值是_解析：因为 AP AD DP AD14 AB，BP BC CP AD34 AB，所以 AP BPAD14 AB AD34 AB|AD|2 316|AB|21
12、2 AD AB2，将AB8，AD5代入解得 AB AD22.答案：22准解快解悟通快审题看到有关几何图形问题，想到选取合理基底，想到建立适当的坐标系.准 解 题1.记牢 2 个常用结论(1)ABC中，AD是 BC边上的中线，则 AD12(AB AC)(2)ABC 中，O 是ABC 内一点，若 OA OB OC0，则 O 是ABC 的重心2.掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系用妙法特例法妙解图形中平面向量数量积问题解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解.“专题过关检测”见“专题检测(三)”(单击进入电子文档)
