1、第三节平面向量的数量积及其应用本节主要包括3个知识点：1.平面向量的数量积；2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.突破点(一)平面向量的数量积基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则0180.(3)共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量
2、积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积(3)坐标表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可2根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求
3、得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解典例(1)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()ABC. D.(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_解析(1)a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以b，所以ab121.(
4、2)取，为一组基底，则，|2|2421.答案(1)D(2)易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补(2)两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“”能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为()A B3 C. D3解析：选C因为点C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos，.2在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca()A B0 C. D3 解析：选A依题意有abbcca11
5、cos 12011cos 12011cos 120.3已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2 C.a2 D.a2解析：选D如图所示，()2a2aacos 60a2.故选D.4已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.解析：因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.答案：105.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OAOB1，4，则()_.解析：由已知得|，|，则()()1cos.答案：突破点(二)平面向量数量积的应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零
6、向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数例1(1)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1
7、 D(4ab)(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.解析(1)在ABC中，由2ab2ab，得|b|2，A错误又2a且|2，所以|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，B，C错误所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，D正确，故选D.(2)(2a3b)c，(2a3b)c0.a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，2a3b(2k3，6)(2k3，6)(2,1)0，即(2k3)260.k3.答案(1)D(2)C易错提醒x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(
8、x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2；(2)|ab|.例2(1)(2017衡水模拟)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12(2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析(1)|4ab|216a2b28ab1614812cos12.|4ab|2.(2)e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|co
9、s 301，|b|.答案(1)C(2)方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cosa，b求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是0，及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角例3(1)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3
10、a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D(2)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)a2(3e12e2)2942329，b2(3e1e2)2912318，ab(3e12e2)(3e1e2)929118，cos .答案(1)A(2)易错提醒(1)向量a，b的夹角为锐角ab0且向量a，b不共线(2)向量a，b的夹角为钝
11、角ab0且向量a，b不共线能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B. C1 D.解析：选B由题意知即将2得，2a2b20，b2|b|22a22|a|22，故|b|.2.已知|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为()A30 B60 C120 D150解析：选C设向量a与b的夹角为，cab，ca，ca(ab)aa2ab0，|a|2|a|b|cos ，cos ，120.3.(2016兰州一模)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B. C2 D10解析：选Bab，ab0，即x20
12、，解得x2，ab(3，1)，于是|ab|，故选B.4.(2017湖北八校联考)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若(ac)b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A. B. C D解析：选A由已知得ac(3k,3)，(ac)b，3(3k)30，k2，即c(2，2)，cosa，c.5.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：a与b为两个不共线的单位向量，|a|b|1，又ab与kab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20，k1kabab0，即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)，(k1)(1cos )0.又a与b不共
13、线，cos 1，k1.答案：16.(2017泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|1，且a与ba的夹角为120，则a的模的取值范围为_解析：在ABC中，设a，b，则ba，a与ba的夹角为120，B60，由正弦定理得，|a|sin C，C，sin C(0,1，|a|.答案：突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量与三角函数的综合问题例1已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,
14、1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值解(1)f(x)ab2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1.又0A，故0且a与b不共线，则解得或0，所以的取值范围是.答案：10.如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则的最大值为_解析：设，因为N在菱形ABCD内，
15、所以01,01.所以()22422445.所以09，所以当1时，有最大值9，此时，N位于C点答案：9三、解答题11在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)若mn，则mn0.由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m与n的夹角为，mn|m|n|cos11，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.12已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求边c的长解：(1)mnsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)，对于ABC，ABC,0C，sin(AB)sin C，mnsin C，又mnsin 2C，sin 2Csin C，cos C，C.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin Csin Asin B，由正弦定理得2cab.()18，18，即abcos C18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，c24c2336，c236，c6.
