1、西藏日喀则市第二高级中学2021届高三数学上学期期中试题 理一、选择题：在每小题给出的4个选项中，有且只有一个符合题目要求1.设全集，集合，则( )A.B.C.D. 2.若,则( )A.0B.1C.D.23.函数的图象大致为( )A.B.C.D.4.若为第四象限角，则( )A. B. C. D. 5.在中，则（ ）A.B.C.D.6.已知向量，若，则的值为( )A0 B4 C D7.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ） A.B.C.D.8.执行如图所示程序框图输出的值为( )A.B.C.D.9.函数的图像在点处的切线方程为( )A.B.C.D.10在的展开式中，
2、的系数为（ ）A.B.5C.D.1011.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种12.已知，.设，则（ ）A.B.C.D.二、填空题：把答案填写在题中横线上13. 若满足约束条件则的最大值为_.14.函数的最小正周期为_.15.在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是_.16.已知是公差不为零的等差数列，且， .三、解答题：简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）在边上取一点，使
3、得，求的值.18.如图，在正方体中，E为的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。19.已知函数。（1）求曲线的斜率等于的切线方程；（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值.20.已知椭圆的离心率为，且过点（1）求的方程；（2）点在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.21.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的
4、平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好附：，选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.已知曲线的参数方程分别为（为参数），（t为参数）.（1）将的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标
5、方程.23.已知函数（1） 当时，求不等式的解集；（2） 若的最小值为2，求证：参考答案1.答案：C解析：解法一 由题知，所以，故选C.解法二 易知中的元素不在集合中，则排除选项A，B，D，故选C.2.答案：D解析：通解 .故选D.光速解 .故选D.3.答案：A解析：解法一 令，显然，为奇函数，排除C，D，由，排除B，故选A.解法二 令，由，故选A.4.答案：D解析：通解 由题意，知，所以，所以或，故选D.优解 当时，排除A，B，C，故选D.5.答案：A解析：由余弦定理得，所以，故选A.6.答案：C解析：故选：C 7.答案：D解析：将三视图还原为直观图(图略)，知该三棱柱是正三棱柱，其高为2，
6、底面是边长为2的等边三角形，正三棱柱的上、下两个底面的面积均为，三个侧面的面积均为，故其表面积为，选D.8.答案：D解析：由程序框图知,输出,故选D.9.答案：B解析：通解 ，又，所求的切线方程为，即.故选B.优解 ，切线的斜率为2，排除C，D.又，切线过点，排除A.故选B.10.答案：C解析：由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C.11.答案：C解析：.12.答案：A解析：因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，即.又，所以，所以，所以，所以，而，所以，所以，所以，所以.13.答案：1解析：通解 作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故.作出直线，数形结合可知，当直线
7、过点时，取得最大值，为1.优解 作出可行域，如图中阴影部分所示，易得，当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，.所以的最大值为1.14.答案：解析：函数，故函数的最小正周期的最小正周期为.15.答案：解析：由双曲线的一条渐近线方程为得，则该双曲线的离心率.16.答案：17.答案：（1）在中，因为，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.（2）在中，因为，所以为钝角，而，所以为锐角，故，则.因为，所以，.从而.解析：18.答案：（1）在立方体中，四边形是平行四边形面，面面（2）分别以、为轴，z轴建系，设正方体棱长为2则 设面的法向量为， 令，则，直线与面所成角的正弦值为解析：19
8、.答案：（1）设切点为 切线（2）定义域R 为偶函数关于y轴对称只须分析既可当不合题意舍 ：在处切线令 得；令时 令 解析：20.答案：（1）由题设得，解得.所以的方程为.（2）设.若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得.于是.由知，故，可得.将代入上式可得.整理得.因为不在直线上，所以，故.于是的方程为.所以直线过点，若直线与轴垂直，可得，由得.又，可得.解得（舍去），.此时直线过点.令为的中点，即.若与不重合，则由题设知是的斜边，故.若与重合，则.综上，存在点，使得为定值.解析：21.答案：解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为.（3）根据所给数据，可得列联表：人次人次空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得.由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.解析： 22.答案：（1）；（2）.解析：（1）的普通方程为.由的参数方程得，所以.故的普通方程为.（2）由得所以的直角坐标为.设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，解得.因此，所求圆的极坐标方程为23.答案：（1）依题意，解集为 （2），所以
