1、课时作业梯级练三十二基本不等式一、选择题(每小题5分,共25分)1.设x0,则y=3-3x-的最大值是()A.3B.3-2C.-1D.3-2【解析】选D.因为x0,所以3x+2=2,当且仅当x=时取等号,-2,则y=3-3x-3-2.2.已知实数x,y满足x+2y=4,则3x+9y()A.有最大值6B.有最小值6C.有最大值18D.有最小值18【解析】选D.x+2y=4,由基本不等式得3x+9y2=2=18,当且仅当x=2,y=1时取等号.3.(2021玉溪模拟)若x0,y0,且x+y=S,xy=P,则下列说法中正确的是()A.当且仅当x=y时S有最小值2B.当且仅当x=y时P有最大值C.当且
2、仅当P为定值时S有最小值2D.若S为定值,当且仅当x=y时P有最大值【解析】选D.因为x,yR+,x+y=S,xy=P,所以S=x+y2=2,当且仅当x=y时取等号;所以如果P是定值,那么当且仅当x=y时S的值最小,故A,C错误;由得,P=,当且仅当x=y时取等号;所以如果S是定值,那么当且仅当x=y时P有最大值,故D正确,B错误.4.已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.原式可化为(x+y)2=1+3xy1+,解得-2x+y2,当且仅当x=y=1时取最大值.5.(一题多解)若正数a,b满足+=1,则+的最小值为()A.4B.6C.
3、9D.16【解析】选A.方法一:由+=1,可得a=,所以+=b-1+.由a,b为正数且+=1,可得a1,b1.所以+=b-1+2=4,当且仅当b-1=,即b=3,a=时等号成立.方法二:由+=1,可得=,=,所以+=+2=4,当且仅当=,即a=,b=3时等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2021大理模拟)若实数x,y满足xy0,且log2x+log2y=2,则+的最小值为_;的最大值为_.【解析】因为log2x+log2y=2,所以xy=4.实数x,y满足xy0,所以+2=(当且仅当x=2,y=时等式成立).=(当且仅当x=2+2,y=2-2时等式成立).答案:7.设x,y(0
4、,+),(x+y)a恒成立,则实数a的最大值为_.【解析】由于(x+y)=2+2+2=4,当且仅当x=y=1时等号成立,而x,y(0,+),(x+y)a恒成立,故a4,也即a的最大值为4.答案:48.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=_吨.【解析】每次都购买x吨,则需要购买次.因为运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和为4+4x万元.因为4+4x160,当且仅当4x=时取等号,所以x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:20三、解答题(每
5、小题10分,共20分)9.(1)已知x0,求f(x)=+3x的最小值;(2)已知x0,所以f(x)=+3x2=12,当且仅当=3xx=2时取等号,所以f(x)的最小值为12.(2)因为x0,f(x)=+x-3+3=-+3-2+3=-1,当且仅当=3-xx=1时取等号,所以f(x)的最大值为-1.10.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系式为y=(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量是多少(精确到0.1千辆/时)?(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应该在
6、什么范围内?【解析】(1)依题意y=,当且仅当v=40等号成立,最大车流量y=11.1(千辆/时).(2)由条件得10,整理得v2-89v+1 6000,解得25v64.故汽车的平均速度应该在范围内.1.(5分)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为()A.B.C.D.1【解析】选A.因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy得,+=1.求的最大值,即求=+的最小值,所以1=+2+=3,当且仅当=时取等号,所以的最大值为.2.(5分)已知a,b均为正数,函数f(x)=alog2x+b的图象过点(4,1),则的最小值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.
7、因为f(x)=alog2x+b的图象过点(4,1),所以alog24+b=1,即2a+b=1,又a,b均为正数,所以=+=+=+1+4+5+2=9,当且仅当=,即a=b=时,等号成立.3.(5分)如图,某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(xN)为二次函数关系,若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运()A.3年B.4年C.5年D.6年【解析】选C.可设y=a(x-6)2+11,又曲线过(4,7),所以7=a(4-6)2+11,所以a=-1.即y=-x2+12x-25,所以=12-12-2=2,当且仅当x=5时取等号.4.
8、(5分)(2021乐山模拟)已知正数x,y满足x+y=1,且+m,则m的最大值为()A.B.C.2D.4【解析】选B.根据题意,正数x,y满足x+y=1,则+=+=(y+1)+-4+(x+1)+-4=-5,又由+=(x+1)+(y+1)=,当且仅当x=y=时等号成立,则+=-5-5=,即+的最小值为,若+m,则m的最大值为.5.(10分)若两个正实数x,y满足+=1,且存在这样的x,y使不等式x+m2+3m有解,求实数m的取值范围.【解析】因为不等式x+m2+3m有解,所以0,y0,且+=1,所以x+=+22+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取“=”,所以=4,故m2+3m4,即(m-1
9、)(m+4)0,解得m1,所以实数m的取值范围是(-,-4)(1,+).6.(10分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1 km.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2 km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【解析】(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的
10、最大射程为10 km.(2) 因为a0,所以炮弹可击中目标等价于存在k0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立,即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0,解得a6,所以0a6.所以当a不超过6 km时,炮弹可击中目标.1.蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画,现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为:纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客离墙距离为x cm,视角为.为使观赏视角最大,x应为()A.77B.80C.100D.77【解析】选D.如图所示,设BCD=,则tan =.tan (+)=,解得tan =,当且仅当x=,即x=77 时取等号.故选D.2.在ABC中,设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin B=,则+的最小值为_.【解析】由正弦定理可得b=,cos B=,当且仅当a=c时,等号成立,则B,+=+=+2=,当且仅当a=c时,等号成立.因为sin B,即+.答案:
