1、安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1.等腰三角形ABC绕底边上中线AD所在的直线旋转所得的几何体是()A. 圆台B. 圆锥C. 圆柱D. 球【答案】B【解析】由题意可得ADBC，且BDCD，所以形成的几何体是圆锥故选B.2.球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的（ ）倍A. 2B. 3C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】设出球半径，求出膨胀后球的半径，即可得到球的体积比。【详解】设球的半径为，所以球的体积为， 球的表面积膨胀
2、为原来的2倍，则球的半径为，所以球的体积为 所以膨胀后球的体积变为原来的故选：D【点睛】本题考查球的表面积以及体积公式，需熟记公式，属于基础题。3.一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）倍A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】梯形的直观图仍是梯形，且上下底保持不变，设原来梯形的高为，则在直观图中表示梯形高的线段应为，且与底边夹角为，故梯形直观图的高为【详解】设原来梯形上下底分别为，高为，则梯形面积为 在梯形直观图中，上下底保持不变，表示梯形高的线段为，且与底边夹角为，故梯形直观图的高为，梯形直观图的面积为 故选：A【点睛】本题考查斜二测画法中原图
3、与直观图的面积关系，直观图面积与原图面积比为。4.已知m，n是空间两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若则D. 若则【答案】D【解析】【详解】试题分析：对于A若，则可平行或异面，所以不成立，对于 B若，则，还可能相交，故错误。对于C若则，只有垂直于交线时才成立，对于 D若则，符合面面垂直的判定定理，可知成立，故选D.考点：空间中点线面的位置关系点评：主要是考查了空间中点线面的位置关系的运用，属于基础题。5.若，且，共面，则（ ）A. 1B. -1C. 1或2D. 【答案】A【解析】【分析】向量，共面，存在实数使得，坐标代入即可得出。详解】向量，共面
4、，存在实数使得，解得 故选：A【点睛】本题考查空间共面向量基本定理，属于基础题。6.如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱、 上的截点分别是E、F、G，则截面（ ）A. 一定是等边三角形B. 一定是钝角三角形C. 一定是锐角三角形D. 一定是直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意设，再求出，在中，利用余弦定理即可判断三角形的形状。【详解】如图，设，则， 在中， 所以是锐角，同理得到，是锐角。 故为锐角三角形。 故选：C【点睛】本题主要考查了立体几何中的截面问题，同时也考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题。7.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为
5、，截去的棱锥的高是，则棱台的高是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：棱台的上下底面的面积比为，则上下底面的边长比是，则截得棱锥与原棱锥的高之比是.则棱台的高等于3.考点：本题考查棱锥与棱台的性质.8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值。【详解】由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图），可在边长为的正方体中截取， 由图可知，所以侧面，侧面，侧面故侧面的面积最大值为 故选：B【点睛】本题考查三视图还原直观
6、图，考查学生的空间想象能力，属于中档题。9.如图所示，在棱长为 的正方体中，点分别是棱的中点，过三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】延长分别交于两点，连结交于，连结交于，则截面为五边形，截面周长为.本题选择B选项.点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置10.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的
7、外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径，最后即可求出外接球半径（其中为三棱柱垂直底面的棱长），再结合球的表面积公式,即可求解。【详解】解：如图所示，三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球，三棱锥的体积为，由正弦定理得：外接圆的直径 三棱锥的外接球的半径 球O的表面积为，故选B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，确定三棱锥的外接球的半径是关键11.正方体的棱长为2，为的中点，点是正方形内的动点，若面，则点的轨迹长度为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】A【解析】【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得。同理可得.可得面面平行，进而得出M点的轨迹.【详解】
8、如图所示，取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，。同理可得 .，与相交， 平面平面，点是正方形内的动点，若平面，点在线段上，M点的轨迹长度为： 故选：A【点睛】本题主要考查面面平行的判断定理以及性质定理的应用，需熟记定理内容，属于中档题.12.如图，正方体的棱长为a，分别是棱、的中点，过点的平面分别与棱、交于点，设，给出以下四个命题：（1）平面与平面所成角的最大值为；（2）四边形的面积的最小值为；（3）四棱锥的体积为；（4）点到平面的距离的最大值为，其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式，计算可得所求最
9、大值，可判断（1）；由四边形为菱形，计算面积，考虑的最小值，可判断（2）； 由棱锥的等体积法，计算可判断（3）；由等体积法和函数的性质可判断（4）；【详解】对于（1），由面面平行的性质定理可得，可得四边形为平行四边形，又直角梯形和直角梯形全等，可得,即有四边形为菱形，且，由平面在底面上的射影为四边形，由面积射影公式可得 由，可得，可得平面与平面所成角的最大值不为，故（1）错；对于（2），由，可得菱形的面积的最小值为 故（2）正确；对于（3），因为四棱锥的体积为，故（3）正确；对于（4） 设到平面的距离为，可得 ，可得 ，（其中），当即时，取得最大值，故（4）正确； 故选：C【点睛】本题考查面积
10、射影公式、棱锥的体积公式、等体积法求高，综合性比较强。第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决14.
11、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点出发沿该几何体的侧面环绕一周回到点，则蚂蚁所经过路程的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值详解】由题目所给三视图可知该几何体为圆锥的一半，展开图如图所示，依题意，蚂蚁经过的路程的最小值为线段AM的长度，因为PA=PB=2,侧面展开图的半径为2，弧长为，圆心角为，因为,所以,在中，根据余弦定理知 蚂蚁所经过路程的最小值为故答案为：【点睛】本
12、题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查立体图形转为平面图形以及余弦定理的应用，考查学生的计算能力15.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则_. 【答案】【解析】由已知，即=0，=0，=45，CD=216.已知四面体为正四面体，分别为的中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为_【答案】【解析】【分析】补成一个正方体，在正方体中可解决。详解】补成正方体，如图，截面为平行四边形，可得，又，且，可得， 当且仅当时取等号。故答案为：【点睛】本题考查立体几何中的截取问题，同时也考查了用
13、基本不等式求最值，属于综合性题目。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面 平面.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于
14、分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面【考点】线面平行与面面垂直18.如图，长方体中，为的中点（1）求三棱锥的体积（2）边上是否存在一点，使得平面? 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）M是AC的中点，【解析】【分析】（1）根据公式计算体积。 （2）取中点，连接，则可证明平面，从而得出的中点为所求点。【详解】（1） 平面，是三棱锥的高，为的中点，且,，又， （2）取中点，连接，因为为的中点，是的中点， 又平面，平面， 平面，即在边上存在一点，使得平面，此时是
15、的中点【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、线面平行的判定定理，属于中档题。19.如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)由题意利用线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可；(2)利用等体积法求解点到平面的距离即可.【详解】（1）证明：如图，连接.由题设可知，.，.而，平面.平面，. （2）如图，连接，.，又，.又，平面，即平面.，.设点到平面的距离为，由，得，解得.点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理，等体积法求点面距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力
16、和计算求解能力.20.如图，圆柱是矩形绕其边所在直线旋转一周所得， 是底面圆的直径，点C是弧的中点（1）求三棱锥体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点是线段的中点，求异面直线 与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设矩形的边长分别为，由体积公式分别求出三棱锥体积与圆柱体积，作比得答案； （2）连接，则，连接，则为异面直线与所成角，设，然后求解三角形得答案。【详解】（1）设矩形的边长分别为，则，设圆柱的体积为 ，则， （2）连接，则，连接，则为异面直线与所成角，设，则，点是弧的中点，平面，则 在中，有， 则异面直线CM与所成角的余弦值为 。【点睛】本
17、题考查了三棱锥与圆柱的体积公式、异面直线所成的角，需熟记公式以及掌握异面直线所成角的求法，属于基础题。21.如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，.（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，可证 ，又因为底面，可得，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（）四边形为菱形，连结，则为等边三角形，又为中点，由得底面，底面，又平面（）四边形为菱形，得， 又底面，分别以，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系、，设平面的一个法向量，则有，令，
18、则直线与平面所成角的正弦值点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合得到结论.22.已知矩形中，沿对角线将折起至，使得二面角为，连结。 （1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出，从而，进而，折起后，即为，则仍有，则即为二面角的平面角，即，连接，推导出平面，从而平面，由此能证明平面平面。（2）推导出，从而平面，即为二面角的平面角，推导出平面，由此能求出二面角的余弦值。【详解】（1）在矩形中，取中点，连接，与交于点。 则，与中，即。，。折起后，即为，则仍有，则即为二面角的平面角，即，连接。所以在中，即，即.由前所证，平面，而，平面，平面平面。 （2）由（1）可得，且，为中点，则为直角三角形，. 又，平面，即为二面角的平面角。由（1），平面平面，平面，而，即二面角的余弦值为。【点睛】本题考查面面垂直的判断定理以及求二面角的平面角，要证面面垂直，需先证线面垂直；求二面角的大小，步骤“作、证、求”，属于立体几何的综合性题目。
