1、天津市耀华中学20192020学年度高三年级第一学期第二次月考一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合,集合,则图中阴影部分表示 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：；又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，故选A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.2.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C.
2、必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别判断充分性和必要性：当时，；当时，；当时，故不充分；当时，必要性，得到答案.【详解】若，则当时，；当时，；当时，；故不充分；当时，即故，必要性；故选：【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ）A. 1B. 2019C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算部分数值，归纳得到
3、，计算得到答案.【详解】；归纳总结： 故故选：【点睛】本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.4.已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.【详解】由已知可得，设的夹角为，则有，又因为，所以，故选C.【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.5.设函数,则使成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，定义域为，函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，的范围为故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路
4、点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可【此处有视频，请去附件查看】6.已知为锐角，角的终边过点（3，4），sin（+），则cos（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sin和cos，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得coscos（+）的值【详解】为锐角，角的终边过点（3，4），sin
5、，cos，sin（+）sin，+为钝角，cos（+），则coscos（+）cos（+） cos+sin（+） sin，故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题7.已知函数，若，且的最小值为，则（ ）A. 在上是增函数B. 在上是减函数C. 在上是增函数D. 在上是减函数【答案】D【解析】【分析】化简得到，分别计算和时的单调性得到答案.【详解】，且的最小值为，故 当时，函数有增有减，故错误；当时，函数单调递减，故正确，错误；故选：【点睛】本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.8.已知函
6、数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可【详解】当时，则不成立，即方程没有零解.当时，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；当时，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选B.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式
7、，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题9.若复数满足（为虚数单位），则_【答案】【解析】由，得，则，故答案为.10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是 .【答案】【解析】试题分析：由球的体积公式，得，解得,所以正三棱柱的高h=2R=4设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：，得，所有该正三棱柱的体积为.考点：1.球的体积；2.柱体的体积11.已知的展开式中，的系数为，则常数的值为
8、【答案】【解析】 ，所以由 得 ，从而点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.12.已知，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】化简得到，再利用均值不等式计算得到答案.详解】当即时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力.13.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为_【答案】【
9、解析】分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率.【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故 故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.14.在平行四边形中，为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：设，用表示出题中所涉及的向量，得出关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设，则，结合二次函数的性质，可知当时取得最小值，当时取得最大值，故答案是.点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值
10、域问题来求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且，求ABD的面积.【答案】（1）c=4（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得.（2）先求得三角形和三角形的面积比，再由三角形的面积，求得三角形的面积.【详解】（1）由已知可得，所以.在ABC中，由余弦定理得，即，解得c=-6（舍去），c=4.（2）由题设可得，所以.故ABD与ACD面积的比值为.又ABC的面积为，所以ABD的面积为.【点睛】本小题主要考查余弦
11、定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.16.如图，在三棱锥中，底面，点、分别为棱、的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）4【解析】【分析】（1）取中点，连接、，证明平面平面得到答案.（2）以为原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.（3）设，则，利用夹角公式计算得到答案.【详解】（1）取中点，连接、，为中点，平面，平面，平面为中点，又、分别为、的中点，则平面，平面，平面又
12、，平面，平面平面平面，又平面，则平面（2）底面，以为原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得由图可得平面的一个法向量为二面角的余弦值为，则正弦值为（3）设，则，直线与直线所成角的余弦值为，解得：或（舍）当与重合时直线与直线所成角的余弦值为，此时线段的长为4【点睛】本题考查了线面平行，二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17.在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率【答案】（1）；（2）【解析
13、】【分析】（1）将点和点代入椭圆方程计算得到答案.（2）设直线的斜率为，直线的方程为，联立方程解得点坐标为，点坐标为，根据计算得到答案.详解】（1）椭圆经过点和点，解得，椭圆的方程为.（2）设直线的斜率为，直线的方程为，由方程组，消去，整理得，解得或，点坐标为由知，点在的中垂线上，又在直线上，点坐标为，若，解得，直线的斜率【点睛】本题考查了求椭圆方程，直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.已知数列的前项和为，满足，且正项数列满足，其前7项和为42（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在
14、前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和【答案】（1），；（2）；（3），【解析】【分析】（1）是首项为，公差为等差数列，计算得到；化简得到，计算得到答案.（2），设，根据单调性得到，只需即可.（3）讨论为偶数，和三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1），故是首项为，公差为的等差数列，故，当时，时满足，故 ，则，即前7项和，故（2），即易知函数，单调递增，故 （3）当为偶数时： ；当时，；当时，故【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.设函数（1）若不等式对恒成立，求的值；（2）若在内有两
15、个极值点，求负数的取值范围；（3）已知，若对任意实数，总存在正实数，使得成立，求正实数的取值集合【答案】（1）=；（2）；（3）【解析】【分析】（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.（2）求导得到，讨论，三种情况，分别计算得到答案.（3）在上是增函数，其值域为，若，则函数在上是增函数，值域为，记，则根据得到答案.【详解】（1）若，则当时，不合题意；若，则当时，不合题意；若，则当时，当时，当时，满足题意，因此=（2），令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，因此 点，在（i）当时，在内至多有一个极值点（ii）当时，由于，所以，而，因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，从而上有且仅有一零点，在
16、内有且仅有一个极值点（iii）当时，因此在上有且仅有一个零点，从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点综上所述，的取值范围为（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，所以函数的值域为在上是增函数，其值域为，对于函数，当时，当时，函数在上为单调减函数，当时，函数在上为单调增函数若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；若，则函数在上是增函数，值域为，由题意得，即 记，则当时，在上单调减函数当时，在上为单调增函数所以，当时，有最小值，从而恒成立（当且仅当时， 由得，所以综上所述，正实数的取值集合为【点睛】本题考查了恒成立问题，存在性问题，极值点，意在考查学生对于函数和导数知识的综合应用.
