1、第18讲导数的综合应用导数与不等式1定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为(A)Ax|x1 Bx|1x1Cx|x1 Dx|x1 令g(x)2f(x)x1，则g(x)2f(x)10，所以g(x)在R上为增函数，又g(1)2f(1)110，所以g(x)0x1.即原不等式的解集为x|x12f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有(A)Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Dbf(b)af(a) 设F(x)，则F(x)0，故F(x)在(0，)上是减函
2、数或常函数，由0ax(x0) Bsin x0)C.xsin x D以上各式都不对 令g(x)sin xx，则g(x)cos x10，所以g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(0)，所以sin x1，使得f(x0)0，则实数a的取值范围为(B)A0，) B(，0C1，) D(，1 由f(x)0，得axxex，令h(x)xxex(x1)，h(x)1(1x)ex，h(x)(x2)ex1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0恒成立，则实数m的取值范围是(，1). 因为f(x)3x210，所以f(x)在R上为增函数，又f(x)为奇函数，所以条件即为f(msin )f(m1)，所以
3、msin m1对0，恒成立，即m(1sin )1对0，恒成立，因为时，上式恒成立；当0，)时，m，则m1.7(2018全国卷文节选)已知函数f(x)aexln x1.证明：当a时，f(x)0. (证法1)当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.(证法2)f(x)(x0)，令g(x)axex1，g(x)a(x1)ex0，所以g(x)在(0，)单调递增，因为g(1)ae10，g(0)1，所以x0(0，1使g(x0)0，即ax0ex010，当x(0，x0)
4、，f(x)0，所以f(x)minf(x0)aex0ln x01ln x01，x0(0，1，令(x)ln x1，x(0，1，(x)0，所以(x)在(0，1上单调递减，所以(x)min(1)0.从而f(x)min0，所以f(x)0.故原不等式成立证法3：易证exx1，ln xx1.所以ex1x，ln xx1，所以f(x)aexln x1ex1ln x1x(x1)10，故原不等式成立8若0x1x2ln x2ln x1 Bex2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2 令f(x)(0x1)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)
5、，即x1ex2.由此可知选C.如何说明A和B不成立？下面进行探讨：设g(x)exln x(0x0，则不等式f(x)cos x的解集为_(0，)_ 因为x(，)，f(x)f(x)tan x0cos xf(x)f(x)sin x0，令g(x)，则g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增，又yf(x)1为奇函数，所以f(0)10，f(0)1，所以g(0)1.所以不等式f(x)cos x1g(x)g(0)，所以所以其解集为(0，)10(2017全国卷)已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，(1)(1)(1)m，求m的最小值 (1)f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为f()aln 20，所以不满足题意若a0，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)由(1)知当x(1，)时，x1ln x0.令x1，得ln(1)，从而ln(1)ln(1)ln(1)11.故(1)(1)(1)e.而(1)(1)(1)2，所以m的最小值为3.
