1、上海市黄浦区2015年高考模拟考数学试卷(理)(2015年4月21日)考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域是 2函数的单调递减区间是 3已知集合，若，则正实数的取值范围是 4若二次函数是定义域为的偶函数，则函数的反函数= 5已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在轴的正
2、半轴上，终边经过点，则的值是 .6在中，内角所对的边分别为，且，则 = 7在等差数列中，若，则正整数 8已知点，则直线的点法向式方程是 9已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 10已知是球的一条直径，点是上一点，若，平面过点且垂直，截得圆，当圆的面积为时，则球的表面积是 11若二次函数对一切恒有成立，且，则 12(理科)在平面直角坐标系中，直线：，圆 ，则圆心到直线的距离是 13(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量表示随机摸一个球的得分
3、，则随机变量的数学期望的值是 分14(理科)已知点，平面直角坐标系上的动点满足(其中是坐标原点，且)，若动点组成的区域的面积为8，则的最小值是 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在空间中，下列命题正确的是 ( ) A若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么ab B空间不同的三点确定一个平面C如果直线l/平面且/平面，那么D若直线与平面没有公共点，则直线/平面 16设实数均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件D非
4、充分非必要条件17若复数同时满足，则 (是虚数单位，是的共轭复数) ( )A B C D 18已知数列共有5项，满足，且对任意，有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：(1)；(2)；(3)数列是等差数列；(4)集合中共有9个元素则其中真命题的序号是 ( )(1)、(2)、(3)、(4)(1)、(4)(2)、(3)(1)、(3)、(4)三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分在长方体中，过、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体(理科)(1)
5、 若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)求点D到平面的距离 第19题图 20(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分已知函数，函数与函数的图像关于原点对称(1)求的解析式；(2)(理科)求函数在上的单调递增区间21(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上设cm，矩形的面积为 (1)试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式， 并写出定义域；(2)试
6、问如何截取(即取何值时)，可使得到的矩形的面积最大？ 第21题图22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分（理科）已知数列满足，对任意都有(1)求数列()的递推公式；(2)数列满足()，求通项公式；(3)设，问是否存在实数使得数列()是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的轨迹方程；(2)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围； (3)（理科）已
7、知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程黄浦区2015年高考模拟考数学试卷(文理合卷)参考答案 (2015年4月21日)一、填空题1； 8；2； 9；3 ； 10；4； 11；5； 12（理科）；（文科）；6； 13（理科）；（文科）；7； 14（理科）（文科）或二、选择题 15D16B17D18A三、解答题19(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分（理科）解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系由题知，可得点、 由是中点，可得. 于是， 设异面直线与所成的角为，则 因此，异面直线与所成的角为 (2)设是平面的法向量 又
8、， 取，可得即平面的一个法向量是 （文科）解(1) ， 左视图如右图所示 (2)依据题意，有，即 就是异面直线与所成的角 又， 异面直线与所成的角是 20(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分解(1)设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的 图像上， 于是有 所以， （理科）(2)由(1)可知，记 由，解得， 则函数在形如的区间上单调递增. 结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数只能是0和1 令得；时，得. 所以， 于是，函数在上的单调递增区间是和 （文科）(2)由(1)可知， 又，所以， 考察正弦函数的图像，可知， 于是， 所以，当时，函数的取值范围
9、是 21(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解(1)依据题意并结合图形，可知： 当点在线段上，即时，； 当点在线段上，即时，由，得 于是， 所以， 定义域 (2)由(1)知，当时，； 当时， ，当且仅当时，等号成立 因此，的最大值为 答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为 22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分（理科）解(1) 对任意都有成立， 令，得 数列()的递推公式是 (2)由(1)可知，数列()是首项和公比都为的等比数列，于是
10、由()，得()故 当时， 所以 (3) ， 当时， ， 依据题意，有，即 当为大于或等于4的偶数时，有 恒成立，又 随增大而增大，则，故的取值范围为； 当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为； 当时，由，得 综上可得，所求的取值范围是 （文科）解(1) 对任意都有成立， 令，得 数列()是首项和公比都为的等比数列 (2) 由()，得() 故 当时， 于是， 当时，； 当时， 又时， 综上，有 (3)， ， 数列()是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3 23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分解(1)依据题意，动点满足.
11、 又，因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且 所以，所求曲线的轨迹方程是 (2) 设是曲线上任一点依据题意，可得是直径，又， 由，可得，即 的取值范围是 (另解：结合椭圆和圆的位置关系，有(当且仅当共线时，等号成立)，于是有) （理科）(3)证明因是曲线上满足的两个动点，由曲线关于原点对称，可知直线也关于原点对称若直线与定圆相切，则定圆的圆心必在原点因此，只要证明原点到直线的距离()是定值即可 设，点，则 利用面积相等，有，于是 又两点在曲线上，故 可得 因此， 所以，即为定值 所以，直线总与定圆相切，且定圆的方程为： （文科） (3)证明设原点到直线的距离为，且是曲线上满足的两个动点若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，即若点不在坐标轴上，可设 由 得 设点，同理可得， 于是， 利用，得 综合可知，总有，即原点到直线的距离为定值 (方法二：根据曲线关于原点和坐标轴都对称的特点，以及，求出的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)
