1、高一数学暑假作业一单选题1. 设iz=4-3i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. -4B. 4C. -4iD. 4i2. 已知在m、n、l1、l2表示直线，、表示平面，若m，n，l1，l2，l1l2=M，则/的一个充分条件是()A. m/且l1/B. m/且n/C. m/且n/l2D. m/l1且n/l23. 在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且BCBO=3，则BC边的长度为()A. 6B. 23C. 26D. 64. 函数f(x)=sinxln(x2+2)的图象大致是()A. B. C. D. 5. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsi
2、nC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则ABC的面积为()A. 33B. 233C. 3D. 346. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当EAA1时，AE+BF是定值其中正确说法的是()A. B. C. D. 7. 已知平面向量a,b,c均为单位向量，且ab=0，则|a+b-c|的取值范围是()A. 2-1,2+1B. 1,2C. 2-1,1D. 2,38. 已知函
3、数f(x)=lnx-1x,x0x2+2x,x0，则函数y=ff(x)+1的零点个数是()A. 2B. 3C. 4D. 59. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AB1BC，则B1在底面ABC上的射影H必在()A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. ABC内部二多选题10. 如图所示，ABCD-A1B1C1D1为正方体，给出以下四个结论中，正确结论的序号为()A. AC1平面CB1D1B. AC1与底面ABCD所成角的正切值是2C. 二面角C-B1D1-C1的正切值是2D. 若点O是BD的中点，则OA1/平面CB1D111. 下列说法中错误的为()A. 已知a=(1,
4、2)，b=(1,1)且a与a+b的夹角为锐角，则实数的取值范围是(-53,+)B. 向量e1=(2,-3)，e2=(12,-34)不能作为平面内所有向量的一组基底C. 非零向量a，b，满足|a|b|且a与b同向，则abD. 非零向量a和b，满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为3012. 已知a、b是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若a，a，则/B. 若a，b，则a/bC. 若ab，b，a/，则/D. 若/，a与所成的角和b与所成的角相等，则a/b三填空题13. 已知复数z=3+i(1-3i)2，则zz-= _ 14. 在ABC中，角A，B，C
5、的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为15，c-a=2，cosB=14，则b的值为_ 15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，ADB=135，BDC=DCA=15，ACB=120，则AB两点的距离为_ m.16. 已知a=(2,3)，b=(-2,4)，向量a在b上的投影向量_ 17. 已知函数f(x)=12sinx+32cosx，xR，则函数f(x)的最大值是_ ，且取到最大值时x的集合是_ 18. 在边长为2的正方体A
6、BCD-A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM/平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是_ 19. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,+)上单调递增.若对任意xR，不等式f(a+|x-b|)f(|x|-2|x-1|)(a,bR)恒成立，则2a2+b2的最小值是_ 20. 九章算术是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，三棱锥P-ABC为鳖臑，且PA平面ABC，AC=BC=1，PA=2，则该鳖臑外接球的表面积为_ 四解答题21. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设
7、EF=AB+AD，求+的值(2)若AB=2，当AEBF=1时，求DF的长22. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinA+3asin(C+2)=0，c=6(1)求ABC外接圆的面积；(2)若c=3b，AM=13AB，求ACM的周长23. 设函数f(x)=4sinxcos(x-6)-1的最小正周期为，其中0(1)求函数f(x)的递增区间；(2)若函数g(x)=f(x)+m在x12,2上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围24. 已知四棱锥P-ABCD，PAPB，PA=PB=2，AD平面PAB，BC/AD，BC=3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为4，M是线段A
8、B的中点(1)求证：CD平面PDM；(2)求点M到平面PCD的距离25. 如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点()试确定点P距离地面的高度h(单位：m)关于旋转时间t(单位：min)的函数关系式；()在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？26. 如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若BAC=90，AB=AC，CBD=90，BDC=60，BC=6(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值；(3)求异面
9、直线AD与BC间的距离答案和解析1.【答案】A【解析】解：iz=4-3i，z=4-3ii=(4-3i)ii2=4i-3i2-1=-3-4i，复数z的虚部为-4，故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的虚部的概念，是基础题2.【答案】D【解析】【分析】本题考查两个平面平行的判定定理的应用，明确已知条件的含义是解题的关键，属于基础题根据题意，要使/，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可【解答】解：由题意得，m、n是平面内的两条直线，l1、l2是平面内的两条相交直线，要使/，只要一个平面内有两条相交直线和另一个
10、平面平行即可，故选D3.【答案】A【解析】解：在ABC中，由AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且BCBO=3，结合图象可得|BC|BO|cos=3，即12BC2=3，所以|BC|=6故选：A画出图形，利用两个向量的数量积的定义求出结果本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，是基础题4.【答案】A【解析】解：函数的定义域为R，f(-x)=sin(-x)ln(-x)2+2=-sinxln(x2+2)=-f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项B，C；当x0+时，sinx0,ln(x2+2)0,sinxln(x2+2)0，故可排除选项D故选：A由函数的
11、奇偶性排除选项BC，由函数值的正负排除选项D，进而得解本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题5.【答案】B【解析】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，bsinC+csinB=4asinBsinC，sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，即2sinBsinC=4sinAsinBsinC，sinBsinC0，sinA=12，由余弦定理知，cosA=b2+c2-a22bc=82bc=4bc0，cosA=1-sin2A=32，4bc=32，即bc=833，ABC的面积S=12bcsinA=1283312=233故选：B利用正弦定理化边
12、为角，可得sinA=12，由余弦定理知，cosA=4bc0，再结合同角三角函数的关系式，可得bc的值，最后由S=12bcsinA，得解本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式是解题的关键，考查转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题6.【答案】C【解析】【分析】水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；水面四边形EFGH的面积改不改变；可以通过EF的变化EH不变判断正误；棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；当EAA1时，AE+BF是定值通过水的体积判断即可本题属于中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等
13、知识【解答】解：水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断正确；水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的，EH是不变的，所以面积是改变的，是不正确的；棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1/EH，所以结论正确；当EAA1时，AE+BF是定值水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确故选：C7.【答案】A【解析】解：根据题意，三个平面向量a,b,c均为单位向量，ab=0，设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，则a+b-c=(1-x,1-y)，若c为单位向量，则x2+y2=1，表示单位圆上的任意一点
14、，|a+b-c|2=(1-x)2+(1-y)2它表示单位圆上的点到定点P(1,1)的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+2，最小值是|OP|-r=2-1|a+b-c|的取值范围是2-1,2+1故选：A根据题意，求出a+b-c的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点P(1,1)的距离，由点与圆的位置关系分析可得答案本题考查向量数量积的计算，关键是涉及向量的坐标，分析向量模的几何意义8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点个数问题，考查数形结合思想，属于中档题令t=f(x)+1，结合零点存在定理得出函数f(t)的零点t1(1,2)，t2=-2，t3=0，然后作出函数t=f(x)+1，直
15、线t=t1、t=-2、t=0的图象，观察三条直线与函数t=f(x)+1的图象的交点个数，由此得出结论【解答】解：令t=f(x)+1=lnx-1x+1,x0(x+1)2,x0，当t0时，f(t)=lnt-1t，则函数f(t)在(0,+)上单调递增，由于f(1)=-10，由零点存在定理可知，存在t1(1,2)，使得f(t1)=0；当t0时，f(t)=t2+2t，由f(t)=t2+2t=0，解得t2=-2，t3=0，作出函数t=f(x)+1，直线t=t1、t=-2、t=0的图象如下图所示：由图象可知，直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点
16、，直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且仅有一个交点，综上所述，函数y=ff(x)+1的零点个数为5故选：D9.【答案】A【解析】解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AB1BC，BCAC，又ACAB1=A，BC平面ACB1，BC平面ABC，平面ACB1平面ABC，B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上故选：A由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的
17、判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题10.【答案】ACD【解析】解：对于A，连结A1C1，因为B1D1A1C1，B1D1AA1，又A1C1AA1=A1，A1C1，AA1平面AA1C1，故B1D1平面AA1C1，因为AC1平面AA1C1，所以AC1B1D1，同理可证AC1B1C，又B1D1B1C=B1，B1D1，B1C平面CB1D1，所以AC1平面CB1D1，故选项A正确；对于B，连结AC，因为CC1平面ABCD，则C1AC即为直线AC1与平面ABCD所成的角，故tanC1AC=CC1AC=22，故选项B错误；对于C，设A1C1B1D1=O1，连结O1C
18、，则CO1C1为二面角C-B1D1-C1的平面角，所以tanCO1C1=CC1OC1=2，故选项C正确；对于D，因为A1O1/OC，且A1O1=OC，所以四边形A1O1CO为平行四边形，则OA1/CO1，又OA1平面CB1D1，CO1平面CB1D1，所以OA1/平面CB1D1，故选项D正确故选：ACD利用线面垂直的性质定理证明AC1B1D1，AC1B1C，即可判断选项A；利用异面直线所成角的定义得到C1AC即为直线AC1与平面ABCD所成的角，求解即可判断选项B；利用二面角的平面角的定义得到CO1C1为二面角C-B1D1-C1的平面角，求解即可判断选项C；利用线面平行的判定定理即可判断选项D本
19、题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题11.【答案】AC【解析】解：对于A，a(a+b)=3+50，且0，所以A不正确；对于B，向量e1=(2,-3)，e2=(12,-34)，满足e1=4e2，两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确；对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；对于D，非零向量a和b，满足|a|=|b|=|a-b|，所以以向量a和b的长度为边，构造菱形，满足a与a+b的夹角为30，所以D正确；故选：
20、AC利用斜率的数量积，求解实数的取值范围判断A；判断斜率是否共线，判断B；利用向量的定义判断C；利用向量的平行四边形法则判断D即可本题考查命题的真假的判断与应用，向量的基本定理以及向量共线，平行四边形法则的应用，是基础题12.【答案】AB【解析】解：对于A，若a，a，由直线与平面垂直的性质可得/，故A正确；对于B，若a，b，由直线与平面垂直的性质可得a/b，故B正确；对于C，若ab，a/，则b与不一定垂直，而b，则与不一定平行，故C错误；对于D，若/，a与所成的角和b与所成的角相等，可得a与所成的角和b与所成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误故选：AB由直线与
21、平面垂直的性质判断A与B；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断C；由直线与平面所成角判断D本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题13.【答案】14【解析】解：zz-=|z|2=|3+i(1-3i)2|2=|3+i|2|-2-23i|2=416=14故答案为：14利用复数与共轭复数的性质，结合复数模的运算性质进行求解即可本题考查了复数与共轭复数的应用，复数模的运算性质的应用，考查了运算能力与转化化归能力，属于基础题14.【答案】4【解析】解：因为cosB=14，所以sinB=1-cos2B=154，因为ABC的面积为15=12
22、acsinB=12ac154，解得ac=8，又c-a=2，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-12ac=(c-a)2+2ac-12ac=4+16-4=16，解得b=4故答案为：4由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式可求ac的值，结合已知利用余弦定理可求b的值本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15.【答案】455【解析】解：如图所示：BCD中，CD=45，BDC=15，BCD=ACB+DCA=120+15=135，CBD=30，由正弦定理，得BDsin1
23、35=45sin30，解得BD=452，ACD中，CD=45，DCA=15，ADC=ADB+BDC=135+15=150，CAD=15，AD=CD=45，ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=452+(452)2-245452cos135=4525，AB=455，即A，B两点间的距离为455，故答案为：455根据题意画出图形，BCD中利用正弦定理求出BD的值，ACD中利用等角对等边求出AD的值，再在ABD中由余弦定理求出AB的值本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查学生逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题16.【答案】(-45,85)【解析】解：
24、a与b的夹角，向量a在b上的投影向量为ab|b|b|b|=2(-2)+34(-2)2+42(-2,4)=(-45,85).故答案为：(-45,85).a与b的夹角，向量a在b上的投影向量计算方法为ab|b|b|b|，依据此法可解决此题本题考查平面向量数量积性质及运算、投影向量计算方法，考查数学运算能力，属于基础题17.【答案】1 x|x=2k+6,kZ【解析】解：f(x)=12sinx+32cosx=sin(x+3)，则当sin(x+3)=1时，函数取得最大值1，此时x+3=2k+2，kZ，即x=2k+6，kZ，即对应集合为x|x=2k+6,kZ，故答案为：1，x|x=2k+6,kZ利用辅助角
25、公式结合两角和差的三角公式，结合三角函数的最值性质进行求解即可本题主要考查三角函数值的求解，利用辅助角公式结合三角函数的最值性质是解决本题的关键是基础题18.【答案】23【解析】解：因为平面BA1C1/平面ACD1，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM/平面AD1C，所以点M的轨迹是A1C1B三角形及其内部，所以A1BC1的面积为S=34(22)2=23故答案为：23根据平面BA1C1/平面ACD1，可得点M的轨迹是A1C1B三角形及其内部，然后利用正三角形的面积公式进行求解即可本题主要考查了面面平行的性质，以及三角形的面积公式，同时考查了转化思想和运算求解的能力，属于中档题19.【答案
26、】83【解析】解：如图，作出函数y=|x|-2|x-1|的图象，f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,+)上单调递增，f(a+|x-b|)f(|x|-2|x-1|)(a,bR)恒成立，y=|a+|x-b|的图象始终在y=|x|-2|x-1|的上方，x=0时，a+|b|2且b0，所以a+b2b0，2a2+b22(2-b)2+b2=3b2-8b+8=3(b-43)2+8383，当且仅当“a=23,b=43”时取等号故答案为：83由题意，y=|a+|x-b|的图象始终在y=|x|-2|x-1|的上方，结合图象可知，a+b2b0，进而得解本题考查函数性质的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题20.【
27、答案】4【解析】解：PA平面ABC，AB，BC平面ABC，ABPA，BCPA，又ABC是直角三角形，AC=BC=1，BCAC，又PAAC=A，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC，该鳖臑外接球的球心为PB的中点，则(2R)2=PA2+AC2+BC2，4R2=1+1+2=4，该鳖臑外接球的表面积为4R2=4故答案为：4利用已知条件求出几何体的外接球的位置，求解外接球的半径，然后求解外接球表面积本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体的形状，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题21.【答案】解：(1)点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，CF=-1
28、3DC=-13AB，EC=12BC=12AD，EF=EC+CF=-13AB+12AD，=-13，=12，故+=-13+12=16(2)设CF=CD，则BF=BC+CF=AD-AB，又AE=AB+BE=AB+12AD，ABAD=0，AEBF=(AB+12AD)(AD-AB)=-AB2+12AD2=-4+2=1，故=14，DF=(1-)2=32【解析】(1)用AB,AD表示出EF，得出，的值即可得出+的值；(2)设CF=CD，用AB,AD表示出AE,BF，根据AEBF=1计算，从而可得DF的长本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题22.【答案】解：(1)csinA+3asin
29、(C+2)=0，csinA+3acosC=0，sinCsinA+3sinAcosC=0，sinA0，tanC=-3，0C，C=23，ABC外接圆的半径R=12csinC=12632=23，ABC外接圆的面积为12(2)由正弦定理得，sinB=bsinCc=b323b=12，0B3，B=6，A=-B-C=6，在ACM中，由余弦定理得，CM2=AM2+AC2-2AMACcosA，解得CM=2，则ACM的周长为4+23【解析】(1)利用诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanC的值，结合0C，可求C的值，利用正弦定理，圆的面积公式即可求解(2)由已知利用正弦定理可求sinB的
30、值，结合0B0，22=，解得=1，f(x)=2sin(2x-6)，设u=2x-6，函数y=sinu的递增区间是2k-2,2k+2(kZ)，由2k-22x-62k+2(kZ)，得k-6xk+3(kZ)函数f(x)的递增区间是k-6,k+3(kZ)；(2)当x12,2时，u=2x-60,56.令F(u)=2sinu，则F(6)=F(56)=1，F(u)=2sinu在u0,2上递增，在u2,56上递减F(u)max=F(2)=2，函数g(x)=f(x)+m在x12,2上有两个不同的零点，函数y=f(x)与y=-m两图像在x12,2上有两个不同的交点，函数y=F(u)与y=-m两图像在u0,56上有两
31、个不同的交点，1-m2，解得-270时，解得2k-13t2k+13；又0t2，所以符合题意的时间段为0t13或5370时t的取值范围，再求对应的时间段26.【答案】证明：(1)平面BCD平面ABC，BDBC，平面BCD平面ABC=BCBD平面ABC，AC平面ABC，ACBD，又ACAB，BDAB=B，AC平面ABD又AC平面ACD，平面ABD平面ACD(2)设BC中点为E，连AE，过E作EFCD于F，连AF，由三垂线定理：EFA为二面角的平面角EFCDBC，EFBD=CFCD，EF=32,又AE=3，tanEFA=AEEF=2二面角的平面角的正切值为2(3)解：过点D作DG/BC，且CB=DG，连AG，设平面ADG为平面BC/平面ADG，B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离为hVC-AGD=VA-CBD13SAGDh=13SBCDAEh=677【解析】(1)要证平面ABD平面ACD，关键是证AC平面ABD，只需证ACBC，ACAB，利用平面BCD平面ABC，BDBC可证；(2)设BC中点为E，连AE，过E作EFCD于F，连AF，由三垂线定理，可得EFA为二面角的平面角，从而可求；(3)将异面直线AD与BC间的距离转化为点到面的距离求解本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查面面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查异面直线间的距离，有一定的综合性
