1、限时：40分钟满分：56分1(满分14分)设a0，函数f(x)x2(a3)x2a3ex，g(x)2ax.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)假设存在x1，x2(0，)，使得|f(x1)g(x2)|0，令h(x)x2(a3)x2a3，则其图像的对称轴为xa，h(a)a30，当xa时，h(x)x2(a3)x2a30，f(x)0.当xa时，f(x)的最小值为f(1)(1a)e0.f(x)的最小值是(1a)e.(2)由(1)知，当a1时，f(x)在(0，)上的值域是(1a)e，)，当0a1时，f(x)在(0，)上的值域是(0，)而g(x)2ax3a2 a1，当且仅当x1时，等号成立，故g(x)在
2、(0，)上的值域为(，a1，当a1时，令(1a)e(a1)，当0a1时，令0(a1)1时，f(x)ln x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x(x0)，由f(x)0得0，又x0，所以x1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)(2)依题意得f(x)ln x0，即x2aln xln x0，所以(a1)ln xx2，x1，ln x0，a1，a1max.设g(x)，g(x)，令g(x)0，解得xe，当1x0，g(x)在(1，e)上单调递增；当xe时，g(x)e，即a1e.即a的取值范围是(1e，)3(满分14分)(2012山东高考)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28
3、是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)xf(x)，其中f(x)为f(x)的导函数证明：对任意x0，g(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，函数h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减所以当x(0，)时，h(x)h(e2)1e2.又当x(0，)时，01，所以当x(0，)时，h(x)1e2，即g(x)2)上的函数f(x)(x23x3)ex.(1)当t1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)设mf(2)，nf(t)，试证
4、明m1时，试判断方程g(x)x的根的个数解：(1)f(x) (2x3)exex(x23x3)exx(x1)由于t1，故当x(2,0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增综上，函数yf(x)的单调递增区间为(2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)(2)证明：mf(2)13e2，nf(t)(t23t3)et，设h(t)nm(t23t3)et13e2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t2)h(t)，h(t)随t的变化情况如下表：t(2,0)0z+zs+(0,1)1(1，)h(t)00h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极
5、小值为h (1)e0，又h(2)0，所以当t2时，h(t)h(2)0，即h(t)0，因此，nm0，即m1时，方程(x1)2exx的根的个数设(x)(x1)2exx(x1)，(x)ex(x21)1，再设k(x)ex(x21)1(x1)，k(x)ex(x22x1)，当x1时，k(x)0，即k(x)在(1，)上单调递增，又k(1)10，因此，在(1,2)上存在唯一的x0，使k(x0)0，即存在唯一的x0(1,2)，使(x0)0，(x)，(x)随x的变化情况如下表：x(1，x0)x0(x0，)(x)0(x)极小值由上表知(x)min(x0)(1)10，故y(x)的大致图像如图，因此y(x)在(1，)上只有一个零点，即当x1时，方程g(x)x只有一个实根
