1、第2讲空间几何体的表面积与体积, 学生用书P123)1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2.空间几何体的表面积与体积公式名 称几何体表面积体积柱 体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥 体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台 体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式
2、计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.1如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的
3、体积为()A1BC DD解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥，VSh111，故选D.2. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为()A12 B23C34 D13B解析 设球的半径为R.则，故选B.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A6 B3C2 D3B解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以几何体的体积VSh33.4. 已知圆锥的侧面积为a m2，且它的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为_m3.解析 圆锥的直观图与侧面展开图如图所示设圆锥的底面半径为r，母线
4、为l，则rla，2rl，联立解得r，l2，所以OO1，所以圆锥的体积Vr2OO1.答案 5. 一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_cm3.解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径r2(cm)，所以V球r334(cm3)答案 4空间几何体的表面积学生用书P124典例引领(1)(2016高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17B18C20 D28(2)(2017安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A4
5、164 B5164C4162 D5162【解析】(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故r3，所以r2，表面积S4r2r217，选A.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为24216，两个底面面积之和为222；半圆柱的侧面积为44，两个底面面积之和为212，所以几何体的表面积为5162，故选D.【答案】(1)A(2)D空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特
6、征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体， 先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积 通关练习1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 B112C142 D15B解析 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3，所以该几何体的表面积为823112.2(2017长春调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A
7、2 B2C2(1) D2A解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即222.空间几何体的体积(高频考点)学生用书P125空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于容易题高考对空间几何体的体积的考查主要有以下三个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积典例引领(1)(2016高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()ABC D1
8、(2)(2016高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()ABC D1【解析】(1)由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A-BCD，将其放在长方体中如图所示，其中BDCD1，CDBD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为111.故选A.(2)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V1121.设半球的半径为R，则2R，即R，所以半球的体积V2R3.故该几何体的体积VV1V2.故选C.【答案】(1)A(2)C求空间几何体体积的方法策略(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱
9、锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 题点通关 角度一求简单几何体的体积1如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A BC DA解析 三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为. 角度二求组合体的体积2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2 BC DB解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥
10、组合而成的几何体，其体积为122121. 角度三求以三视图为背景的几何体的体积3(2017唐山第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A BC8 D8C解析 由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，所以VV正方体V圆锥222(12)28.球与空间几何体的接、切问题学生用书P126典例引领(2017沈阳模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()AB2C D3【解析】如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .【答案】C若将
11、本例中的直三棱柱改为“底面边长为2，高为4的正四棱锥”，如何求解？解 如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，因为正四棱锥PABCD中AB2，所以AO.因为PO4，所以在RtAOO中，AO2AO2OO2，所以R2()2(4R)2，解得R，即球的半径为.球与空间几何体接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4
12、R2a2b2c2求解 (2017太原一模)如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A3 BC4 DA解析 由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S43., 学生用书P126)巧用“割补法”求体积(2017唐山模拟)如图，ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_
13、【解析】法一：如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥所以V几何体V三棱柱V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372.四棱锥DMNEF的体积为V2S梯形MNEFDN(12)6824，则几何体的体积为VV1V2722496.法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.【答案】96本题给出两种求体积的方法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平
14、行六面体，将台体还原为锥体如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()ABCDA解析 法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG，取AD的中点M，则MG，所以SAGD1，所以V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥所以V122., 学生用书P271(独立成册)1
15、将一个边长分别为4，8的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是()A402B642C322或642 D3228或32232D解析 当以长度为4的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8；当以长度为8的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积322.故所求的面积是3228或32232.2(2016高考全国卷甲)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 BC8 D4A解析 由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2Ra(R为正方体外接球的半径)，所以R，故所求球的表面积S
16、4R212.3如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是()A BC DD解析 由题意得，此几何体为圆柱与球的组合体，其体积V23226.4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A BC DD解析 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8.故选D.5(2016高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81B解析 由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S2
17、362332335418，故选B.6在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 BC6 DB解析 易知AC10.设底面ABC的内切圆的半径为r，则68(6810)r，所以r2，因为2r43，所以最大球的直径2R3，即R.此时球的体积VR3.故选B.7(2017福州模拟)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则棱柱的高h_解析 因为底面周长为3，所以正六边形的边长为，则正六边形的面积为.又因为六棱柱的体积为，即h，所以h.答案 8. 如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别
18、是AB，AC，AA1的中点设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_. 解析 设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于h，于是三棱锥FADE的体积V1ShShV2，故V1V2124.答案 1249圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r_解析 由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2r2r24r22r25r24r2.由5r24r
19、21620，得r2.答案 210一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为_解析 由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，所以体积V.答案 11某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH，图、分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积解 (1)侧视图同正视图，如图所示(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH402604022032 00032 00064 000(cm3)12(2015高考全国卷)已知
20、A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D256C解析 如图，设球的半径为R，因为 AOB90，所以SAOBR2.因为 VO ABCVCAOB，而AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO ABC最大为R2R36，所以R6，所以球O的表面积为4R2462144.故选C.13. 如图，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥DABC的体积的最大值 解 由题意知，线段ABBD与线
21、段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直设d为AD到BC的距离则VDABCADBCd2d，当d最大时，VDABC体积最大，因为ABBDACCD10，所以当ABBDACCD5时，d有最大值.此时V2.14一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积解 (1)直观图如图所示(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则四边形AA1EB是正方形，AA1BE1，在RtBEB1中，BE1，EB11，所以BB1，所以几何体的表面积SS正方形ABCDS矩形A1B1C1D12S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形AA1D1D1212(12)111(7)(m2)几何体的体积V121(m3)所以该几何体的表面积为(7)m2，体积为 m3.
