1、4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断 位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个位置关系相交相切相离方 法几何法:设圆心到直线的距离d=dr代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式 0=0 022AaBbCAB222AxByC0 xaybr【思考】利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?提示:一般几何法较为简单.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.()(2)过圆内一点作一条直线,则该直线一定与圆相交.()(3)如果一条
2、直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,那么这条直线一定过圆心.()提示:(1).当点在圆上时,只能作圆的一条切线.(2).过圆内的一点作直线,一定与圆有两个交点,因此一定相交.(3).直径是圆的最长弦,因此直线一定过圆心.2.直线y=2x-6+2 与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系 为()A.相离 B.相切 C.相交且经过圆心 D.相交但不经过圆心 10【解析】选B.化圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=8,可得圆 心坐标为(2,-2),半径为r=2 .因为圆心到直线y=2x-6+2 的距离 所以直线y=2x-6+2 与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系 为相切.2102 22
3、62 10d2 2r5 103.直线x-y=0与圆(x-2)2+y2=4交于点A,B,则|AB|=_.【解析】圆心到直线的距离d=,半径r=2,所 以|AB|=答案:|20|22222 rd2 2.2 2类型一 直线与圆的位置关系的判断【典例】1.已知a,bR,a2+b20,则直线l:ax+by=0与圆C:x2+y2+ax+by=0的位置关系是()A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 2.(2019青岛高一检测)过点(0,4)的直线l与x2+y2=4相交,则直线l的倾斜角 的范围是_.【思维引】1.表示出圆的半径、圆心到直线的距离然后作出判断.2.首先验证斜率不存在时是否符合题意,然后设
4、出直线方程,利用直线与圆相切的条件求斜率及倾斜角的范围.【解析】1.选C.圆C的圆心C ,半径r=,因为圆心C到直线l的距离d=所以直线l与圆C的位置关系是相切.ab(,)2222ab422ab222ab|a()b()|22ab22abr2，2.当直线l的倾斜角为90时,显然满足题意;当直线 l的倾斜角不等于90时,存在斜率,设为k,则直线l:y=kx+4,即kx-y+4=0,依题意圆心(0,0)到直线l的距离小 于半径2,所以 或k-,所以倾 斜角所以倾斜角6090或90120，综上所述:倾斜角的取值范围是60120.24k133答案：600,则相交;若有两组相同的实数解,即=0,则相切;若
5、无实数解,即 0,则相离.(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当dr时,直线与圆相离.【习练破】(2019安庆高一检测)对于aR,直线l:(a-1)x-y+a+1=0和圆C:x2+y2-4x-12=0,则直线l与圆C的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种位置均有可能【解析】选A.直线l:(a-1)x-y+a+1=0恒过(-1,2),圆 C:x2+y2-4x-12=0化为(x-2)2+y2=16,则圆的圆心为(2,0),半径为4.因为(-1,2)与(2,0)的距离为 1,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方 程为y+3=k(
6、x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半 径,半径为1,所以 =1,即|k+4|=,所 以k2+8k+16=k2+1,解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),即15x+8y-36=0.2|3k 134k|k1 2k1158158(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.【加练固】已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值 是()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】选C.结合图形,可知直线x=a要与圆(x-1)2+y2=4相切,则a=
7、3或-1,因为a0,所以a=3.类型三 直线与圆的相交问题 角度1 求弦长【典例】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为_.世纪金榜导学号 【思维引】利用弦长、弦心距、半径的关系求弦长.【解析】方法一:圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径r=.点(0,1)到直线l的距离 为d=弦长=所以截 得的弦长为 .答案:522|3 0 16|10231 ，222 rd10，1010方法二:设直线l与圆C交于A,B两点.由 得交点A(1,3),B(2,0),所以弦AB的长为|AB|=答案:223xy60 xy2y40 ，2
8、2(2 1)(0 3)10.10方法三:设直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由 得x2-3x+2=0,则x1+x2=3,x1x2=2,所以|AB|=答案:223xy60,xy2y40,221212xxyy 222212121222221212xxk xx1kxx1kxx4x x1 33810.10【素养探】在与弦长有关的问题中,常常用到核心素养中的数学运算,通过圆的半径、弦心距、弦长的关系或利用方程解决相关的问题.本例中,若过点P(1,5)的直线与圆C相交,弦长为4,求直线l的方程.【解析】圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心 坐标为(0,1
9、),半径r=,因为弦长为4,所以圆心到直 线的距离为 =1,当直线的斜率不存在时,直线的方 程为x=1,令x=1,由1+y2-2y-4=0,即y2-2y-3=0,解得y=-1或3,弦长为4,符合题意;当直线的斜率存在时,设直 554线方程为y-5=k(x-1),即kx-y+5-k=0,则 =1,即|4-k|=,解得k=,直线方程为 x-y+5-=0,即15x-8y+25=0,所以所求的直线方程为x=1或 15x-8y+25=0.20 1 5kk1 2k1158158158角度2 综合性问题【典例】已知圆M与直线x=2相切,圆心在直线x+y=0上,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2 ,求圆
10、的方程.世纪金榜导学号 2【思维引】利用圆心在直线上设出圆心,利用圆与 x=2相切,弦长为2 构造方程组求解.2【解析】因为圆心在直线x+y=0上,所以设圆心M(a,-a),因为圆M与直线x=2相切,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦 长为2 ,所以 解得 所以圆的 方程为x2+y2=4.22ra2,2 a1r2,2a0,?r2,【类题通】1.求圆的弦长的两个方法 圆的性质利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长2()2l2.与弦长相关的问题 利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组
11、,解出其中的未知量.【习练破】1.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长 为()A.1 B.2 C.4 D.4 56【解析】选C.圆的方程可化为C:(x-1)2+(y-2)2=5,其 圆心为C(1,2),半径r=.取弦AB的中点P,连接CP,则 CPAB,圆心C到直线AB的距离d=|CP|=1,在RtACP中,|AP|=2,故直线被圆截得的弦长|AB|=4.522|1455|12 22rd2.(2019重庆高一检测)已知圆C过点(1,1),圆心在x轴正半轴上,且与直线y=x-4相切.(1)求圆C的标准方程.(2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A,B两点,且|AB|
12、=2,求直线l的方程.【解析】(1)由题意设圆心坐标为C(a,0)(a0),由题意,解得a=-6(舍)或a=2,所以圆 的半径为r=则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=2.22a4a10 12，242,2(2)若斜率不存在,则直线方程为x=1,弦心距d=1,半径 为 ,则|AB|=2 =2,符合题意.若斜率存在,设 直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.弦心距d=得|AB|=2,解得k=-,直线方程为y=-x+.综上所述,直线l的方程为x=1或y=-x+.222rd2k31 k，22k32 21k434313343133【加练固】已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线 y=x截得的弦长为2 ,求圆C的方程.7【解析】设圆心坐标为(3m,m).因为圆C和y轴相切,得 圆的半径为3|m|,所以圆心到直线y=x的距离为 所以9m2=7+2m2,所以m=1,所以所求圆C的方程 为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.2m22 m.
