1、第一章 集 合 1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 基础认知自主学习 1集合与元素的概念以及关系(1)集合与元素的概念 概念定义字母表示集合一般地，_某些对象的_称为集合常用大写字母A，B，C，D，标记元素集合中的_叫作这个集合的元素常用小写字母a，b，c，d，表示指定的 全体 每个对象【思考】集合中的“每个对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的研究对象所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等 (2)元素与集合的关系 关系概念记作读作属于若a在集合A中，就说a_集合A_a属于A不属于若a不在集合A中，就说a_集合A_a
2、不属于A 属于 不属于 aAaA2.元素的三大性质 性质说明确定性给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是_的互异性在给定的集合中，元素是_的也就是说，集合中的任何两 个元素都_因此，集合中的元素没有重复现象无序性集合中的元素没有_的先后顺序互异 不相同 固定 确定【思考】(1)某班所有的“大个子”能否构成一个集合？提示：不能构成一个集合，因为“大个子”无明确的标准(2)某班身高高于170 cm的所有学生能否构成一个集合？提示：能构成一个集合，因为标准确定 3常用数集及表示符号 【思考】自然数集与正整数集相同吗？提示：正整数是自然数，由于0是自然数，0不是正整数，所以自然数集与正整数集
3、不相同 名称自然数集_整数集_实数集符号_N或N*_Q_N ZR正整数集 有理数集【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)高一喜欢学习数学的同学能构成集合()提示：(1)因为集合中的元素必须是确定的，而喜欢学习数学以及不喜欢学习数 学没有严格的标准，具有不确定性，所以不能构成集合(2)中考数学超过80分的同学能构成集合()提示：因为中考数学超过80分的同学是确定的，所以能构成集合(3)若集合A表示偶数集，则2 019A，2 020A.()提示：因为集合A表示偶数集，2 019是奇数，2 020是偶数，所以2 019A，2020A.2(教材练习改编)所给下列关系中正确的个数是()0
4、N；Z；Q；2 R.A1 B2 C3 D4【解析】选 B.0 是最小的自然数，所以错误；因为 是无理数，而不是整数，所以正确；2 是实数，所以错误所以正确的只有.3给出下列关系：12 R；2 Q；|3|N；|3|Z；0N.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.12 R，正确；因为 2 是无理数，所以 2 Q，不正确；|3|3N，正确；|3|3 Z，不正确；因为 0 是自然数，所以 0N，故不正确综上可知，正确的个数为 2.能力形成合作探究类型一 元素与集合的概念与表示(数学抽象)1下列每组对象，能构成集合的是()中国最美的乡村；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于 3 的
5、自然数；援助湖北抗击新冠肺炎疫情的医护人员A B C D【解析】选 B.中“最美”标准不明确，不符合确定性，中的元素标准明确，均可构成集合2下列对象不能构成集合的是()A所有的平行四边形B某校高一年级所有高于 170 厘米的同学C数学必修 1 中所有的难题D方程 x240 在实数范围内的解【解析】选 C.“难题”是相对的，概念模糊不清，标准不明确3下列研究对象组成的总体：不超过 50 的正整数；中国的大城市；绝对值最小的实数；你班中考成绩在 500 分以上的学生；sin 30，sin 45，cos 60，1，其中为集合的是_【解析】不超过 50 的正整数的全体是确定的，能构成集合；中国的大城市
6、是不确定的，不能构成集合；绝对值最小的实数是 0，确定，能构成集合；你班中考成绩在 500 分以上的学生的全体是确定的，能构成集合；由于 sin 30cos 60，不满足互异性，不能构成集合答案：【补偿训练】1.下列四组对象，能构成集合的是()A某班所有聪明的学生B著名的艺术家C所有很大的书D倒数等于它自身的实数【解析】选 D.A：某班所有聪明的学生，因为聪明的学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除；B：著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性，排除；C：所有很大的书，因为很大的书不确定，所以不满足集合的确定性，排除；D：倒数等于它自身的实数为 1 与1，所以满足集合的定
7、义，故正确2现有以下说法，其中正确的是()接近于 0 的数的全体构成一个集合；正方体的全体构成一个集合；未来世界的高科技产品构成一个集合；不大于 3 的所有自然数构成一个集合A B C D【解析】选 D.在中，接近于 0 的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故错误；在中，正方体的全体能构成一个集合，故正确；在中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故错误；在中，不大于 3 的所有自然数能构成一个集合，故正确类型二 元素与集合的关系(数学抽象)【典例】1.下列元素与集合的表示正确的个数是()2R；0N；sin 30Z;cos
8、45Q.A1 B2 C3 D4【思路导引】明确常见数集的符号，利用元素与集合的关系进行判断【解析】选 B.因为 2 是实数，所以 2R，正确；因为 0 不是正整数，所以0N，正确；因为 sin 3012 Z，所以不正确；因为 cos 45 22Q，所以不正确2设集合 A 是偶数集，集合 B 是奇数集若 aA，bB，则 ab_(填“A”或“B”).【思路导引】明确集合的意义，利用元素与集合的关系判断【解析】因为集合 A 是偶数集，集合 B 是奇数集，且 aA，bB，所以 ab 是奇数，所以 abB.答案：B判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的；判断方法：判断
9、该元素在已知集合中是否出现即可，此时应首先明确集合是由哪些元素构成(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合；判断方法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件提醒：集合 N 与 N的区别：0N 但 0N.1由不超过 5 的实数组成集合 A，a 2 3，则()AaA Ba2AC1a ADa1A【解析】选 A.a 2 3 4 4 45，所以 aA.a15，所以 a2A，1a 12 3 3 2（2 3）（3 2）3 2 0 时，x|x|x2，x2 x，(x2)2x2，3 x3 x，此时集合 A 中最多
10、含有 4 个元素；当 x0 时，x|x|x2，x2 x，(x2)2x2，3 x3 x，此时集合 A 中最多含有 3 个元素；当 x0 时，集合 A 只含有 1 个元素综上可知，集合 A 中最多含有 4 个元素答案：42由 m，2m，4 组成一个集合 M，且集合 M 中含有 3 个元素，则实数 m 的取值范围是_.【解析】由于 M 中含有 3 个元素，因此有m2m，m4，2m4，解得m1，m4，m2，所以实数 m 的取值范围是 m1 且 m4 且 m2.答案：m1 且 m4 且 m2备选类型 集合元素的确定(数学抽象、逻辑推理)【典例】(多选题)已知 x，y，z 为非零实数，代数式 x|x y|
11、y z|z|xyzxyz 的值所组成的集合是 M，则下列判断正确的是()A0M B2MC4MD4M【思路导引】根据题意，分析可得代数式 x|x y|y z|z|xyzxyz 的值与 x，y，z 的符号有关；按其符号的不同分 4 种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得 M，分析选项可得答案【解析】选 CD.根据题意，分 4 种情况讨论；x，y，z 全部为负数时，xyz 也为负数，则 x|x y|y z|z|xyzxyz 4，x，y，z 中有一个为负数时，xyz 为负数，则 x|x y|y z|z|xyzxyz 0，x，y，z 中有两个为负数时，xyz 为正数，则 x|x y|y z|
12、z|xyzxyz 0，x，y，z 全部为正数时，xyz 也为正数，则 x|x y|y z|z|xyzxyz 4，则 M4，0，4；分析选项可得 CD 符合 已知集合 A 由 a1，2a25a1，a21 组成，且2A，则 a_【解题指南】根据题意，由2A 分 3 种情况进行讨论：2a1，22a25a1，2a21，求出 a 的值，进而利用集合元素的互异性进行分析，综合即可得答案【解析】根据题意，Aa1，2a25a1，a21，若2A，则分 3 种情况进行讨论：2a1，即 a1，此时集合 A 的元素为2，2，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，22a25a1，解得 a1 或 a32，当 a32 时
13、，集合 A 的元素为52，2，134，符合题意，由可得，a1 不符合题意；2a21，无解，综上可得：a32.答案：321下列各组对象中能构成集合的是()A充分接近 3 的实数的全体B数学成绩比较好的同学C小于 20 的所有自然数D未来世界的高科技产品学情诊断课堂测评【解析】选 C.选项 A，B，D 中集合的元素均不满足确定性，只有 C 中的元素是确定的，满足集合的定义2(教材练习改编)记方程 x29 的解构成的集合为 M，则下列关系不正确的是()A2M B3M C2M D3M【解析】选 D.A 项因为 2249，所以 2M；B 项，329，所以 3M，C 项，(2)249，所以2M，D 项(3)29，所以3M，故 A，B，C 正确，D 项不正确3函数 yx22x1 图像上的点组成的集合为 A，试用“”或“”填空(1)(0，1)_A.(2)(1，2)_A.(3)(1，0)_A.【解析】把各点分别代入函数式，可知(0，1)A，(1，2)A，(1，0)A.答案：(1)(2)(3)4已知集合 A 是由 a2，2a25a，12 三个元素组成的，且3A，求 a.【解析】由3A 可得3a2 或32a25a，所以 a1 或 a32.则当 a1 时，a23，2a25a3，不符合集合中元素的互异性，故 a1 应舍去当 a32 时，a272，2a25a3，所以 a32.
