1、11.4空间中的垂直关系114.1直线与平面垂直第1课时直线与直线所成角必备知识基础练进阶训练第一层知识点一异面直线所成的角1如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，GEF120，则BD与AC所成角的度数为_2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是_；(2)AC和D1C1所成的角是_；(3)AC和B1D1所成的角是_；(4)AC和A1B所成的角是_3如图所示，四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC2.求EF的长度知识点二直线与直线垂直4.垂直于同一条直线的两条直线一定()A平行B相交C异面D
2、以上都有可能5在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有_6在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，求证：ACBC1.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A有无数条B有两条C至多有两条D有一条2直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有()A1条B2条C3条D4条3空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ2，QR，PR3，那么异面直线AC和BD所成的角是()A90B60C45D304如图，点P，Q分别是正方体AB
3、CDA1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为()A30B45C60D905在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B.C.D.6(探究题)如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30B45C60D90二、填空题7如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN_.8(易错题)在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，A
4、D的中点，则EF与AB所成角的大小为_9一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论正确的为_(填序号)三、解答题10如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点证明：CD1EF.学科素养升级练进阶训练第三层1(多选)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列关系可能成立的是()Al与AD平行Bl与AB异面Cl与CD所成的角为30Dl与BD垂直2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为6
5、0，BAC90，且ABACAA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为_，直线A1B与AC1所成角的余弦值为_3(学科素养运算能力)在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，BD，AC，求AC与BD所成的角的大小114空间中的垂直关系114.1直线与平面垂直第1课时直线与直线所成角必备知识基础练1答案：60 解析：依题意知，EGBD，EFAC，所以GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又GEF120，所以异面直线BD与AC所成的角为60.2答案：(1)90(2)45(3)90(4)60解析：(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90.(2)D1C1DC，
6、所以ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得ACD45.(3)BDB1D1，BDAC，B1D1AC，即AC和B1D1所成的角是90.(4)A1BD1C，ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60.3解析：取BC的中点M，连接ME，MF，如图则MEAC，MFBD，ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60，EMF60或EMF120.当EMF60时，EFMEMFBD1；当EMF120时，取EF的中点N，则MNEF，EF2EN2EMsinEMN21.故EF的长度为1或.4答案：D解析：由空间直线的位置关系可知选D.5答案：AB，A1B1解析：
7、由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.6证明：如图，连接A1B，设A1C1a，B1C1b，AA1h，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以BB1C1A1AB90，所以BCb2h2，AB2a2b2，A1B2a2b2h2，所以A1B2A1CBC，则A1C1BC1，即A1C1B90.又因为ACA1C1，所以A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以ACBC1.关键能力综合练1答案：A解析：如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求2答案：B解析：和AC垂直且异面的直线有A1B1和B
8、B1，故选B.3答案：A解析：PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知PQR90.4答案：C解析：连接AC，D1C.由P，Q分别为AD1，BD的中点，得PQCD1.又BC1AD1，AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角ACD1为等边三角形，AD1C60.即异面直线PQ和BC1所成的角为60.5答案：C解析：如图，连接BE，ABCD，异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE，AC2，AE3.AB2BE2AE2，ABBE，tanEAB.6答案：B解析：如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别是
9、CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.EFG为EF与AC所成的角(或其补角)又ACBD，FGEG.又ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.7答案：5解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN即为异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5.8答案：15或75解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB且EGAB，GFCD且GFCD，由ABCD知EGFG，从而可知GEF为EF与AB所成角，EGF或其补角为AB与CD所成角AB与CD所成角为30，EGF30
10、或150，由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.9答案：解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确10证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.E是BD1的中点，EGBC，EGBC，F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，DGC
11、D1，D1GD90，异面直线CD1与EF所成的角为90，CD1EF.学科素养升级练1答案：BCD解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行由于ADB1C1，l必与直线AD不平行其他均可能成立故选BCD.2答案：90解析：连接AB1(图略)，由三棱柱的性质可得AC1AB1，又因为E是B1C1的中点，所以AEB1C1，又BCB1C1，所以AEBC，即直线AE与BC所成的角为90.如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1AC1，则A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角设ABa，AA1与
12、AC，AB所成的角均为60，且ABACAA1，A1Ba，BD1AC12AA1cos 30a.又BAC90，在矩形ABDC中，ADa，A1D1a，A1DA1B2BD，BA1D190，在RtBA1D1中，cosA1BD1.3.解析：如图，在空间四边形ABCD中，分别取AB，AD，CD，AC的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GE，EH，HG.由中位线的性质，得EF綉BD，FG綉AC，则EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，又EHBC，HGAD，且ADBC，所以EHHG，所以EG2EH2HG222()2121.在EFG中，EF2BD2，FG2AC2，EG2EF2FG21，所以EFG90，即AC与BD所成的角为90.
